沪教版九年级数学考试满分全攻略第07讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(4大考点)(原卷版+解析)

第07讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（4大考点）考点考向考点考向一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．三．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．四．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．考点精讲考点精讲一．圆的认识（共1小题）1．（2020秋•浦东新区月考）下列说法正确的是（）A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧二．圆心角、弧、弦的关系（共6小题）2．（2021•浦东新区模拟）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2020秋•浦东新区月考）下列关于圆的说法中，错误的是（）A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧 B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D．拱形不一定是弓形4．（2022春•浦东新区校级期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是．5．（2022春•徐汇区校级期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝度．6．（2022•宝山区模拟）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．7．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．三．点与圆的位置关系（共8小题）8．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．9．（2022•嘉定区校级模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内10．（2022•静安区二模）如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是．11．（2022•黄浦区二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cotB＝，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是．12．（2022•宝山区模拟）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是．13．（2021•浦东新区三模）已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是．14．（2021•上海模拟）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是．15．（2022春•长宁区校级期中）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足为点F，且DF＝CE，联结AE．（1）求证：菱形ABCD是正方形；（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的⊙A上．四．三角形的外接圆与外心（共6小题）16．（2022春•徐汇区校级期中）三角形的外心是（）A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点17．（2022•长宁区模拟）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面积为cm2．18．（2022春•虹口区期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为．19．（2022•松江区二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的长．20．（2022•静安区二模）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC＝AB．（1）求证：∠B＝2∠AEC；（2）当OA＝2，cos∠BAO＝时，求DE的长．21．（2022春•闵行区校级期中）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD．（1）求证：AD＝CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．巩固提升巩固提升1．（2021·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（）A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部3．（2018·上海宝山·九年级期末）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定4．（2019·上海上海·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题5．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是_____．6．（2018·上海金山·九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．7．（2020·上海松江·二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．（1）求证：；（2）联结EG，如果，求证：．9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．求证：BD=CD．10．（2019·上海长宁·一模）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．11．（2019·上海市南塘中学中考模拟）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，的延长线交⊙于点，连接，是⊙上一点，点与点位于两侧，且，连接．（1）求证：；（2）若，，求的长及的值．12．（2021·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作ADOC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；（2）如果，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．第07讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（4大考点）考点考向考点考向一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．三．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．四．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．考点精讲考点精讲一．圆的认识（共1小题）1．（2020秋•浦东新区月考）下列说法正确的是（）A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；C、弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；D、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意．故选：A．【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．二．圆心角、弧、弦的关系（共6小题）2．（2021•浦东新区模拟）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质，难度不大．3．（2020秋•浦东新区月考）下列关于圆的说法中，错误的是（）A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧 B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D．拱形不一定是弓形【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对B进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断．【解答】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称．4．（2022春•浦东新区校级期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是或﹣．【分析】分别讨论点M在劣弧AB上或点M在优弧AB上两种情况，再利用平面向量的定义即可得出答案．【解答】解：当点M在劣弧AB上时，过点A作AC∥OB且AC＝OB，连接BC，如图．∵OA，OB，OM均是⊙O的半径，∴OA＝OB＝OM，∵OA⊥OB，＝，∴点O，M，C三点在同一条直线上，+＝，设圆O的半径为x，∴＝x，，∴||＝，∴k＝．当点M在优弧AB上时，过点A作AC∥OB且AC＝OB，连接BC，如图．同理可得，点O，M，C三点在同一条直线上，设圆O的半径为x，则＝x，，∴||＝，∴，∴k＝﹣．故答案为：或﹣．【点评】本题考查圆的定义、平面向量的定义，熟练掌握圆的定义和平面向量的定义是解答本题的关键．5．（2022春•徐汇区校级期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝120度．【分析】连接OE，OF，根据AC＝3BC，得BC＝OC＝OA，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得∠OEF＝30°，进而得出∠EOF的度数．【解答】解：连接OE，∵EF⊥AB，AC＝3BC，∴BC＝OC＝OA，∴∠OEF＝30°，∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF＝120°．故答案为：120．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握定理的内容是解题的关键．6．（2022•宝山区模拟）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．【分析】如图，连接AC，延长AO交BC于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线．在直角△AEC中根据勾股定理求得线段CE的长度，进而根据垂径定理来求线段CD的长度．【解答】解：如图，连接AD，延长AO交BC于点E．∵，∴AD＝AC，∵点O是等腰△ACD的外心，∴AE⊥CD，且CD＝2CE．∴在直角△ABE中，∠B＝45°，AB＝，则AE＝4．∵tanC＝2，∴＝2，即AE＝2CE，∴CD＝AE＝4，即线段CD的长度是4．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形以及圆心角、弧、弦间的关系．注意解题过程中要证明一下AE是线段CD的中垂线．7．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA．交BC于H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，∵sinC＝＝，AC＝9，∴AH＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+（r﹣3）2＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三．点与圆的位置关系（共8小题）8．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．【分析】由点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内知|a﹣1|＜2，据此可得答案．【解答】解：∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，∴|a﹣1|＜2，则﹣2＜a﹣1＜2，解得﹣1＜a＜3，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．9．（2022•嘉定区校级模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD＝7，在Rt△PBC中计算出PC＝9，则PC＞PD＞PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝3，∵AB＝8，BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6，在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3，∴PD＝＝7，在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3，∴PC＝＝9，∴PC＞PD＞PB，∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．10．（2022•静安区二模）如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是6＜r＜10．【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．【解答】解：如图，连结AC，BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∵以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，∴r＞6，∵至少有一点在圆外，∴r＜10，∴⊙A半径r的取值范围是：6＜r＜10．故答案为：6＜r＜10．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．11．（2022•黄浦区二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cotB＝，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是10＜r＜13．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝CD＝BC＝5，根据cotB＝求出AD的长，根据勾股定理求出AB的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC，BC＝10，∴BD＝CD＝BC＝5，∵cotB＝＝＝，∴AD＝12，∴AB＝＝＝13，∵顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，∴10＜r＜13．故答案为：10＜r＜13．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．12．（2022•宝山区模拟）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是d＞5．【分析】根据点在圆外，d＞r，可得结论．【解答】解：∵点A在圆外，∴d＞5，故答案为：d＞5．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r．13．（2021•浦东新区三模）已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是点B在⊙C外．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：如图，∵点C在线段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴点B在⊙C外，故答案为：点B在⊙C外．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键．14．（2021•上海模拟）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是x＞5．【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，∴OP＞5，即x＞5．故答案为x＞5．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．15．（2022春•长宁区校级期中）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足为点F，且DF＝CE，联结AE．（1）求证：菱形ABCD是正方形；（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的⊙A上．【分析】（1）先利用HL证明Rt△BCE≌Rt△CDF，可证得∠BCD＝90°，进而可证明结论；（2）连接AF，ED，利用SAS证明△ABE≌△AFE可得AF＝AB，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF+∠FCD＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠CFD，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，在Rt△BCE和Rt△CDF中，，∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），∴∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE+∠FCD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴菱形ABCD为正方形；（2）连接AF，ED，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵F为CE的中点，DF⊥CE，∴DF是CE的垂直平分线，∴DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，∴∠AED＝，∠DEC＝，∴∠AEF＝∠AED+∠DE＝180°﹣（∠ADE+∠CDE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠AEF＝∠AEB，∵△BCE≌△CDF，∴BE＝CF＝FE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴AB＝AF，∴点F在以AB为半径的⊙A上．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，菱形的性质，正方形的判定与性质，证明相关三角形全等是解题的关键．四．三角形的外接圆与外心（共6小题）16．（2022春•徐汇区校级期中）三角形的外心是（）A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是指三角形三边的垂直平分线的交点）即可得出答案．【解答】解：∵三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点，∴选项A错误；选项B错误；选项C正确；选项D错误；故选：C．【点评】本题考查了对三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生的理解能力和记忆能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，学生容易把三角形的外心和三角形的内心相混淆．17．（2022•长宁区模拟）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面积为108cm2．【分析】连接AO并延长交BC于D，连接OB，根据勾股定理的推论得到AD⊥BC，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，进而求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AO并延长交BC于D，连接OB，∵AB＝AC，∴＝，∴AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝6cm，在Rt△OBD中，OD＝＝8（cm），∴AD＝18cm，∴S△ABC＝×12×18＝108（cm2），故答案为：108．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键．18．（2022春•虹口区期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为4．【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC＝2BD，从而求正三角形的边长．【解答】解：如图所示：∵半径为4的圆的内接正三角形，∴∠ADB＝90°，OB＝4，∠OBD＝30°，∴BD＝cos30°×OB＝×4＝2，∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝4，即它的内接正三角形的边长为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出∠OBD＝30°是解题关键，此题难度一般，是一道比较不错的试题．19．（2022•松江区二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的长．【分析】（1）延长AO交BC于点D，连接OB，过O点作OE⊥AB，利用垂径定理可求解AE的长，由勾股定理可求解OE的长，再根据正弦的定义可求解；（2）由圆的基本概念可得AD⊥BC，BC＝2BD，利用（1）的结论可求解BD的长，进而可求解．【解答】解：（1）延长AO交BC于点D，连接OB，过O点作OE⊥AB，∵AB＝AC＝8，∴AE＝AB＝4，∵AO＝5，∴OE＝，∴sin∠BAO＝；（2）∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BC＝2BD，∴sin∠BAO＝，解得BD＝，∴BC＝．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，作合适的辅助线是解题的关键．20．（2022•静安区二模）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC＝AB．（1）求证：∠B＝2∠AEC；（2）当OA＝2，cos∠BAO＝时，求DE的长．【分析】（1）由三角形的外接圆的性质可判定AD⊥BC，BD＝CD，即可得AB＝AC，利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠CAE＝∠AEC，再结合三角形外角的性质可证明结论；（2）连接OB，由特殊角的三角函数值可得∠BAO＝30°，由直角三角形的性质可求解∠OBC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的而性质可求解AD，CD，进而可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC外接圆的圆心O在高AD上，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵EC＝AB，∴AC＝EC，∴∠CAE＝∠AEC，∵∠ACB＝∠AEC+∠CAE＝2∠AEC，∴∠ABC＝2∠AEC；（2）解：连接OB，∵cos∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵AD⊥BC，∴∠ABC＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠OBC＝30°，∵OA＝OB＝2，∴OD＝1，CD＝BD＝，∴CE＝AB＝2BD＝，∴DE＝CD+CE＝．【点评】本题主要考查圆的概念及性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握圆的概念及性质是解题的关键．21．（2022春•闵行区校级期中）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD．（1）求证：AD＝CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B＝∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD＝CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH＝CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD＝CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵＝，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．巩固提升巩固提升1．（2021·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．2．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（）A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部【答案】B【分析】根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解．【详解】解：∵点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，∴点可以在圆的内部，故A错误，B正确；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故C错误；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故D错误．故选B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.3．（2018·上海宝山·九年级期末）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定【答案】A【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP==4＜5，∴点P在⊙A内，故选A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．4．（2019·上海上海·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】已知等腰三角形ABC中tanB＝2，根据题意可求得△ABC中过顶点A的高AF的长度，进而求得AB的长度，以及得到BD=，；因为AF和CD均为中线，故交点为重心，通过重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可求出CD的长度为，所以要满足B点在⊙D内，即满足r大于BD长度；要满足点C在⊙D外即r小于CD长度.【详解】如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tanB＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D为AB的中点，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，∴＜r＜，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数求线段长度，三角形重心，点与圆的位置关系；解答本题的关键是发现BC边上的高和CD的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求出CD的长度.二、填空题5．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是_____．【答案】点B在⊙C外【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：如图，∵点C在线段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴点B在⊙C外，故答案为：点B在⊙C外．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键．6．（2018·上海金山·九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．【答案】18【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案为18.7．（2020·上海松江·二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．，．，，∴AB＝AC；（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．（1）求证：；（2）联结EG，如果，求证：．【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圆B中，BE=BD，则∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；（2）联结EG，EG∥AB，又AD∥BC，四边形ABGE是平行四边形，则AE=BG=BD，由（1）得△BDE∽△ADB，得到，即BD2=AD•DE，则可得出结论．【详解】解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圆B中，BE=BD，∴∠BDE=∠BED，∴∠ADB=∠ABD=∠BED，∴△BDE∽△ADB；（2）如图，∵EG∥AB，又AD∥BC，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AE=BG，∵BG=BD，∴AE=BD，又由（1）得△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD•DE，又在菱形ABCD中，AD=BC，∴AE2=