高三数学一轮复习 2.5 指数与指数函数随堂练习 新人教A版

第5讲

指数与指数函数一、选择题1．设a＝20.3，b＝0.32，c＝logx(x2＋0.3)(x>1)，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．b<c<a解析：1<20.3<2,0<0.32<1，logx(x2＋0.3)>logxx2＝2.∴b<a<c.答案：B2．(·原创题)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x<2，,\f(2x,x＋3)，x≥2.))若f(x0)>1，则x0的取值范围是()A．(0,2)∪(3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(0,1)∪(2，＋∞)D．(0,2)解析：当x0≥2时，eq\f(2x0,x0＋3)>1，解得x0>3；当x0<2时，2x0>1，解得0<x0<2.综上可知x0的取值范围是(0,2)∪(3，＋∞)．答案：A3．(·创新题)定义x⊙y＝3x－y，则a⊙(a⊙a)等于()A．－aB．3aC．aD．－解析：由题意知：a⊙a＝3a－a，则a⊙(a⊙a)＝3a－(a⊙a)＝3a－(3a－答案：C4．(·模拟精选)若函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()解析：依题意得，对于任意的x∈R有，f(－x)＋f(x)＝0，即ka－x－ax＋kax－a－x＝0，(k－1)(a－x＋ax)＝0，∵a－x＋ax≠0，∴k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，g(x)＝loga(x＋1)，∵f(x)＝ax－a－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故a>1，∴g(x)＝loga(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．答案：C二、填空题5．(·北京)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1,－xx>1))，若f(x)＝2，则x＝________.解析：当x≤1时，3x＝2，∴x＝log32，当x>1时，－x＝2，∴x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log326．函数f(x)＝ax(0<a<1)，x∈[1,2]的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为________． 解析：由已知可得eq\f(a,2)＝a－a2(0<a<1)，解得a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．(·杭州调研)若f(x)＝a－x与g(x)＝ax－a(a>0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.解析：函数f(x)＝a－x上任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点为(2－x0，y0)，即有g(2－x0)＝＝f(x0)＝，故a＝2.答案：2三、解答题8．判断函数f(x)＝eq\f(1,ax＋1)－eq\f(1,2)(a>0，a≠1)的奇偶性．解：f(x)的定义域为R.∵f(x)＝eq\f(1,ax＋1)－eq\f(1,2)＝eq\f(1－ax,2(ax＋1))，f(－x)＝eq\f(1－a－x,2(a－x＋1))＝eq\f(ax－1,2(1＋ax))＝－eq\f(1－ax,2(ax＋1))，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝eq\f(1,ax＋1)－eq\f(1,2)是奇函数．9．已知f(x)＝eq\f(10x－10－x,10x＋10－x).(1)判断函数奇偶性；(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域．解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝eq\f(10－x－10x,10－x＋10x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)证明：方法一：f(x)＝eq\f(10x－10－x,10x＋10－x)＝eq\f(102x－1,102x＋1)＝1－eq\f(2,102x＋1).令x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝＝故当x2>x1时，f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．方法二：考虑复合函数的增减性．由f(x)＝eq\f(10x－10－x,10x＋10－x)＝1－eq\f(2,102x＋1).∵y1＝10x为增函数，∴y2＝102x＋1为增函数，y3＝eq\f(2,102x＋1)为减函数，y4＝－eq\f(2,102x＋1)为增函数，f(x)＝1－eq\f(2,102x＋1)为增函数．∴f(x)＝eq\f(10x－10－x,10x＋10－x)在定义域内是增函数．(3)解：令y＝f(x)，由y＝eq\f(102x－1,102x＋1)，解得102x＝eq\f(1＋y,1－y).∵102x>0，∴－1<y<1.即f(x)的值域为(－1,1)．10．(·北京东城模拟)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．解：设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，或a当0<a<1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝(a－1)2＋2a－1解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,5)(舍)．故所求a的值为3或eq\f(1,3).1．(·创新题)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析：由题意易知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x(0≤x<2),x＋2(2≤x<4),10－x(x≥4)))，画出f(x)的图象，易知f(x)的最大值为6.答案：C2．(★★★★★)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x，x≤0,f(x－1)，x>0))，方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．解析：由题意画出函数的图象，从图象观察可知：当