高中数学设计曲线与方程教学设计

课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）

（人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节）

一、内容和内容解析

1.教学内容

《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线

的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程.本课时为第一小节内容.

2.地位与作用

本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了

解析几何这门课的基本思想一一数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意

义.其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数

与形互化的理论基础和操作依据.《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第

一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上

对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程

奠定了模型的基础.因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用.

二、目标和目标解析

本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应

关系，进一步理解数形结合的基本思想.具体目标如下：

1.通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与

方程的对应关系；

2.初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；

3.通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；

4.能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，

继续理解数形结合思想.

三、教学问题诊断分析

1.问题诊断

学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的

方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解.但是从直线与

方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞

跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这

些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的

抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：

（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）

的概念时不规范，不全面；

（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的

点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用.

2.重难点

重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念

难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解

3.突出重点、突破难点的策略

本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的

规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想.具

体表现在：

（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其

中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；

（2）让学生经历“作图一存异一质疑一寻因”的探究过程，感知方程的变

化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写一交流讨论

一互动修正”生成概念；

（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”.

四、教学支持条件分析

1.学情分析

本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维

较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上

还有待进一步提升.

2.教学策略与教法、学法

本课采取“探究一发现”教学模式.

教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般

进行探索发现，并归纳概括.

学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构.

教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔

学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔

五、教学过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下:

堂

检

课

渴

创设情境作图探究正反实例

伸

延一

课

外O

引入概念生成概念应用概念

I中X

I/I

（5分钟）（20分钟）（10分钟）/

教学内容师生活动（预设）设计说明

一、创设情景，引入概念师：不知大家有没有看过下面

这则广告？

生（齐）：（观看视频）

播放一段和笛卡尔的传师：其实，这则广告的创意源优美的画面和音乐吸引

说有关的广告视频.自于一位伟大数学家的爱情学生注意力，富于文化的广告

传说，大家知道他是谁吗？创意调动学生的积极性，暗藏

生（齐）：笛卡尔.其中的故事情节激发学生的

师：是的.那你了解笛卡尔思考和好奇心，情景创设为引

对数学的贡献吗？入概念铺垫了良好的氛围.

生1:他发明了直角坐标系，

通过层层设问，将学生从创立了解析几何.

视频逐步转移到对解析几何师：解析几何研究几何图形的

用代数方法研究直线、圆的回方法有何特点呢？你能结合

顾.所学知识谈一谈吗？

生2：我们在《必修2》中曾

经学习了直线、圆与方程，在通过“问题引导”将学生

直角坐标系中用方程表示直从视频，转到解析几何研究问

线、圆，然后使用代数的方法题的方法上来，再延伸到其他

对他们进行研究.曲线（如圆锥曲线）的研究方

师：大千世界，千奇百态！直法上来，形成认知冲突，让曲

线，圆都只是其中的一种曲线线与方程的学习满足合理性

（直线也可称之为特殊的曲和必要性.

线），生活中我们还会遇到很

多其他的曲线，比如下面动画

中的截口曲线.

（教师通过PPT展示截口曲线

生成动画）

师：在这个动画中，你观察到

哪些曲线？

问题1:诸如圆锥曲线这生（齐）：椭圆，抛物线，双

类曲线能否像直线、圆一样用曲线.通过情景创设浸润数学

代数的方法进行研究呢？师：是的，它们统称为圆锥曲文化教育，同时回顾了学生已

线.公元前，古希腊数学家有相关知识和方法，链接了本

阿波罗尼在他的《圆锥曲线》章章导言和章头图，形成了学

一书中便记载了他对圆锥曲生学习上的认知冲突，自然引

线的几何性质的研究，后来一出本课主题.

千多年里人类对其的认识止

步于此.当时，这些研究都

是用的纯几何的方法，那么诸

研究清楚曲线与方程之如圆锥曲线之类的曲线能否

间的关系，将为我们用代数方像直线、圆一样用代数的方法

法研究几何图形提供可能.来研究呢？

生（齐）：可以.

师：怎样展开对圆锥曲线的研

究呢？

生（齐）：在坐标系中找到圆

锥曲线的方程.

师：那就让我们先来研究曲线

与方程之间的关系吧！

二、作图探究，形成概念师：请大家按照要求作图.

才桀空8王云力•师：请你说说你的作图过程.探究活动的素材较好地

请分,作出以下列方程的

生3:先化简为y=2x,它表起到了“先行组织者”的作用.

解为坐标的点构成的图形：示直线，取出直线上两点

y-2

1.2----2=0；（0,0）,（1,2）,连线作出这

X-1条直线.

师：有不同意见吗？

生4：应该去掉直线上的点

（1,2）才对.

师：为什么呢？

问题2：两位同学作出的图生4：因为点（1,2）的坐标不满

形之间的差异是什么原因引

足方程士^-2=0.

起的？X—1

师：好！你关注到了点的坐标，

那么点（1,2）的坐标和方程

y=2x是什么关系？这个坐

标和方程匕^-2=0是什么

x-l

关系呢？

生4：点（1,2）的坐标是方程

y=2x的解；不是方程学生已具有识别直线方

程、圆的方程的知识基础.在

匕2—2=0的行箪.

此认知基础上，通过引导学生

X-1

作图、观察、分析已有两个事

（学生回答，教师板书）

师：刚才两位同学的图形不一例，感受和体会从特殊到一

般，数形结合的思想方法.

样是什么原因造成的？

生（齐）：方程.

师：方程的区别在哪里？

生（齐）：方程的解.

问题3：改变图形，图形上师：那么如果我将这支曲线擦

点的坐标满足的关系会发生

除部分，新得到的曲线上的点

变化吗？

又满足怎样的关系式呢？

请你对刚才的曲线与方程之

（教师在黑板上将点（1,2）

间的关系做一个总结.

左下方下方抹去）

生（齐）：y-2x（x>1）通过教师的引导让学生

感知方程的不同导致曲线的

师：改变图形，方程发生了怎

不同，教师再适时地改编曲

样的变化.

线，导致方程的不同.让学

生（齐）：范围改变.

师：你根据刚才的探究进行总生多角度体验曲线与方程之

间的关系.

结.

生5:方程改变，曲线也在改

变.

师：大家做得非常好！接下来

请完成第二个方程.

请分而作出以下列方程的

（学生独立完成，时间2分钟

解为坐标的点构成的图形：左右）

y-2师：请看这位同学的图形，正圆的方程的学习使得学

1.2----2=0；

x-1确吗？为什么？生在独立完成作图有了基础，

生6：不正确，因为圆的左半但是对于方程的变化没有保

2.x—^i—y2=0.

部分不符合要求证同解导致的曲线差异这一

师：什么原因导致产生了两个现象的本质，学生上不太明

不同的图形呢？白，教师引导学生继续感知曲

生6：x的取值范围，方程的线与方程之间的关系.

问题4：为什么你作出来的解.

图形是一个半圆？引起作出师：方程的解的不同直接导致

图形有差异的原因是什么？曲线的不同.

师：（指着黑板说）如果曲线

与方程满足类似的对应关系，概念属性的归纳一一在

我们就称曲线是方程的曲线，两则事例的基础上进行属性

教师适当小结，请学生根据这个方程就是曲线的方的分析、比较、综合，归纳不

自己感受书写曲线与方程（方程.你能归纳出曲线的方程同例证的共同特征.引导学

程与曲线）的概念.（方程的曲线）这一概念的要生通过刚才对具体事例观察、

点吗？请把它写在草稿本上.分析，抽象概括共同的本质属

生：（先独立书写，再小组讨性，归纳得出数学概念.

论归纳2-3分钟.）

曲线的方程（方程的曲线）师：请说一说你对曲线的方程

的概念：（方程的曲线）下的定义.

一般地，在直角坐标系中，生7：我认为要满足曲线的方用代数、几何的语言刻画

如果某曲线C上的点与一个程（方程的曲线），必须满足和表达一种数学现象，是数学

以下两条：1.曲线上的点的学习的基本任务.

二元方程/（x,y）=O的实数解

坐标都是方程的解；2.以方概念的明确与表示一一

建立了如下的关系：程的解为坐标的点都在曲线下定义，给出准确的数学语言

（1）曲线上的点的坐标都上.描述；

是这个方程的解；师：很准确！

（2）以这个方程的解为坐（板书学生所述内容，并作适

标的点都是曲线上的点，当规范）对概念的辨析，通过学生

那么，这个方程叫做曲线的师：你能举例说明为什么要用举反例来达成对概念的深入

方程；这条曲线叫做方程的曲两个限制条件呢？可以缺某理解.

线（图形）一个吗？

生8：（预设学生会在刚刚的例

子中选择）

问题5：结合今天所学知师：能举一个不满足第二个限

识，你是如何认识直线的方制条件的例子吗？

程，圆的方程这两个已学概生9：（预设学生会在刚刚的例

念？子中选择）概念的“结构化”，对概

念生成并做了适当辨析和理

师：直线的方程，圆的方程这解后，需要将概念与以前的学

些概念用今天所学知识该如习进行联系.

何理解？

生10:我认为直线的方程，圆

的方程的概念和曲线的方程

这一概念是一致的，直线也算

特殊的曲线，圆也算曲线的一

种.

师：是的.你能举例说明吗？

生10:比如说“直线

x-2y+l=0”表示方程

x-2y+l=0的直线.

三、正反实例，应用概念师：请你说一下第1题的结果

例1曲线C:到工轴距离等是什么？要求学生根据简单的曲

于1的点形成的轨迹，写出C线写出方程.应用概念并巩

生11：y=1

的方程.固对其的理解.

生12:不对.应该是|y|=l

师：能说说理由吗？能用今天

所学加以说明吗？

生12:纵坐标y=-l的点是曲

线上的点，但这种点的坐标不

例2下列说法是否正确？是方程的解.例2的设计让学生学会

并说明理由：师：请看练习2,独立完成分别从曲线和方程出发，判断

(1)点A(0,l),8(-l,0),(学生作图，应用定义分析)曲线与方程之间的关系，初步

C(l,0)分别为AABC的三个顶师：请你来分析(1)是否正学会应用概念.

点，边A3的中线的方程是确.

x=0;生13:中线是线段，而方程表

(2)曲线C:过点(4,1)的示的是直线，所以不正确.

师：判断很快捷准确.能否

反比例函数图象，方程F:

进一步分析它是不满足定义

丁=二，那么曲线是方程厂

C的那一条？

生13:应该是不满足“以方程

的曲线.

的解为坐标的点都是曲线上

的点”这一条.

师：请你来分析(2),请到讲

台上给大家讲解.

生14：错误.两条都不满足.

师：进一步分析不符合要求的

点或者是方程的解，请你举例

说明.

生14：通过图象我们发现曲线

是分布在第一■、三象限，而方

程的曲线在第一、二象限.

师：能否用定义加以说明？

生14:如点（-4,7）在曲线

上，但不是方程F的解；（-4,1）

的坐标是方程的解，以它为坐

标的点不在曲线上.通过对概念的应用，将学

师：其实，要解决曲线与方程生对曲线的方程（方程的曲

的关系的判断，除了教材上定线）这一概念的多角度理解进

【阶段小结】教师引导下，学义之外，还有其他的一些表行梳理，引导学生在说出自己

生交流自己对定义的认识.述，请你在学习定义的基础上对曲线与方程关系的理解的

谈谈自己对曲线与方程关系基础上对概念再认识.

的判断方法.

生15:（预设）检查曲线上的

点和方程的解之间的关系.

师：不错，但注意准确性.应

该是曲线上的每一个点和方

程的每一个解的关系.

生16:（预设）看曲线上是否

有不是方程的解为坐标的点，

看曲线是否包括了方程的所

有解为坐标的点.

师：很好，这种判断方法相当

于是看曲线是否纯粹地列出

了方程的解为坐标的点，无多

余的点，而方程的解是否完备

她通过曲线体现了，没有漏掉

解.

四、课堂检测，课外延伸师：接下来请看课堂检测.请

【课堂检测】将以下四个方程和四个曲线

请将以下四个方程和右边配对，并简要说明理由.

的图形用连段连接起来：生17：观察方程中解的正负和

曲线上点的坐标的正负，可以

筛选答案.课堂检测的作用是检测

3-》=0

师：不错.如果我们要用概学生在对定义的理解是否深

念检验曲线和方程之间的关入，应用是否灵活.

系，该如何分析呢？比如第一

个方程和第一幅图.

*一|y|=0-------生17：第一支曲线上的部分点

的坐标不是第一个方程的解，学生根据范围直接进行配

所以方程不是曲线的方程.对，体现了其对曲线与方程关

系掌握的灵活性.

《曲线与方程》衔接了直

线、圆与圆锥曲线，了解圆锥

师：大家想知道本课之初视频曲线的发展历史，更有利于激

【课外延伸】背后的故事吗？发学生使用方程研究圆锥曲

1.查阅资料了解数学家对圆生(齐)：想.线的兴趣，更加积极地学习解

锥曲线的研究历史，并了解笛(播放视频)析几何一眼就问题的方法.

卡尔在其中所做出的贡献.师：广告创意使用到的笛卡尔对于笛卡尔的爱情传说，

2.广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于学生一定是很有兴趣的，其中

的爱情传说中，关于涉及到的极坐标系作为本课

r=«(l-sinO')与心形曲线的

最后的一个说明即拓展了学

r=a(l-sin6)与心形曲线的

关系涉及到了极坐标系，我们生视野，也将高中解析几何的

关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习.直线与方程、圆与方程、圆锥

将会在《选修4-4》中学习.曲线与方程、坐标系与参数方

程四个部分都出现在了本课

中.

附：板书设计

§2.1.1曲线与方程(第1课时)

一、情景创设

1.曲线上的点的坐标满足方程；

二、作图探究

2.以方程的解为坐标的点在曲线

.^^-2=0y-2=2(x-l)y=2x(x>1)上.

x-1

三、正反实例

PPT展示区

例1

例2(1)

(2)

曲线的方程(方程的曲线)

方程的解<>曲线上的点