北师大版八年级数学下册常考题专练专题16平行四边形的性质与判定(原卷版+解析)

专题16平行四边形的性质与判定题型一平行四边形的性质1．如图，在周长为的中，，对角线、相交于点，交于，则的周长为A． B． C． D．2．如图，在平行四边形中，，，将平行四边形沿翻折后，点恰好与点重合，则折痕的长为．3．如图，在中，，，，，，则的面积是A． B． C． D．4．如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为．5．如图，在中，垂足为，，垂足为，若，的周长为40，则的长为．8 ．9 ．12 ．156．如图，点是平行四边形的边的中点，、的延长线相交于点，，，则平行四边形的周长为．7．如图，在中，，分别延长、到点，，使得和都是正三角形．（1）求证：；（2）求的度数．8．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为A． B． C． D．9．如图，四边形是平行四边形，点是边上的一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的有．（填序号）10．如图，中，于点，于点，若，，，则的周长为A．20 B．24 C．26 D．2811．如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点逆时针旋转得到，线段交边于点，连接．若，，，则线段的长为．12．如图1，在中，，，为边上一点，，连接，，且．（1）求证：平分；（2）当时，在上找一点，使的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点作交于点，求的值．题型二平行四边形的判定13．下列四个命题中，正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形14．如图，在四边形纸片中，，现将纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点．（1）若是以为底边的等腰三角形，求证：四边形是平行四边形；（2）在（1）的基础上，若恰为等边三角形，且，求的面积．15．如图，在平行四边形中，点、分别是、上的两点，点、在对角线上，且，．求证：四边形是平行四边形．16．如图，已知平行四边形，过作于，交于，过作于，交于，连接、．（1）求证：；（2）求证：四边形为平行四边形．17．在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，，④，，⑤，，能够判定四边形是平行四边形的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个18．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边三角形及等边三角形，已知，于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．19．如图，在等腰三角形中，，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、和．（1）求证：．（2）求的长．（3）求四边形的面积．20．如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④；⑤，．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为A．2 B．3 C．4 D．521．如图，，是四边形对角线上的两点，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．22．如图，为等边三角形，、分别为、上的点，且．（1）求证：；（2）以为边作等边三角形，点在线段上的何处时，四边形是平行四边形．23．如图，以为底边的等腰，点，，分别在，，上，且，，延长至点，使得．求证：四边形为平行四边形．24．如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．25．如图，为等边三角形，、分别为、上的点，且，以为边作等边．（1）求证：；（2）点在线段上何处时，四边形是平行四边形且．专题16平行四边形的性质与判定题型一平行四边形的性质1．如图，在周长为的中，，对角线、相交于点，交于，则的周长为A． B． C． D．【解答】解：根据平行四边形的性质得：，，为的垂直平分线，根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：，的周长．故选：．2．如图，在平行四边形中，，，将平行四边形沿翻折后，点恰好与点重合，则折痕的长为．【解答】解：四边形是平行四边形，，将平行四边形沿翻折后，点恰好与点重合，，，在中，根据勾股定理，得．故答案为：．3．如图，在中，，，，，，则的面积是A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，的面积是．故选：．4．如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为1．【解答】解：四边形是平行四边形，，，平分，，则，，同理可证：，则．故答案为：1．5．如图，在中，垂足为，，垂足为，若，的周长为40，则的长为．8 ．9 ．12 ．15【解答】解：四边形是平行四边形，，，，根据平行四边形的面积公式，得．，，，故选：．6．如图，点是平行四边形的边的中点，、的延长线相交于点，，，则平行四边形的周长为14．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，是的中点，，，在和中，，，，平行四边形的周长；故答案为：14．7．如图，在中，，分别延长、到点，，使得和都是正三角形．（1）求证：；（2）求的度数．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，和都是正三角形，，，，，，，在和中，，，；（2）解：，，，，，．8．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为A． B． C． D．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，，，，为直角三角形，且，，，，解得．故选：．9．如图，四边形是平行四边形，点是边上的一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的有①②③④．（填序号）【解答】解：证明：，，四边形是平行四边形，，，，①平分，正确；，，，②平分，正确；，，，，，③正确；，，点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，，故④正确．故答案为①②③④．10．如图，中，于点，于点，若，，，则的周长为A．20 B．24 C．26 D．28【解答】解：，，，，四边形是平行四边形，，，，在中，，，设，则，，，，在中，，，，，解得：，，，平行四边形周长．故选：．11．如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点逆时针旋转得到，线段交边于点，连接．若，，，则线段的长为．【解答】解：过作于，过作于，四边形是平行四边形，，，将边绕点逆时针旋转得到，，，，，，，，，，，在中，，，设，，则，，，，，，，，，，，方法二：连接，过作于，四边形是平行四边形，，，将边绕点逆时针旋转得到，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，．故答案为：．12．如图1，在中，，，为边上一点，，连接，，且．（1）求证：平分；（2）当时，在上找一点，使的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点作交于点，求的值．【解答】（1）证明：如图1中，四边形是平行四边形，，，，，，平分．（2）解：如图1中，作点关于的对称点，直线交于，交的延长线于，连接，．四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为．（3）解：如图2中，过点作于，过点作于，于．，，，，，，，，，，可以假设，，则，，，，，，，在中，则有，解得或4，当时，，，，，，，当，同法可得．综上所述，或．题型二平行四边形的判定13．下列四个命题中，正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形【解答】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可以是等腰梯形，故本选项错误；、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故本选项正确；、一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；、一组对边平行，一组邻角互补的四边形有可能是梯形或平行四边形，故本选项错误；故选：．14．如图，在四边形纸片中，，现将纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点．（1）若是以为底边的等腰三角形，求证：四边形是平行四边形；（2）在（1）的基础上，若恰为等边三角形，且，求的面积．【解答】解：（1）是以为底边的等腰三角形折叠，四边形是平行四边形（2）四边形是平行四边形是等边三角形，在中，，，．15．如图，在平行四边形中，点、分别是、上的两点，点、在对角线上，且，．求证：四边形是平行四边形．【解答】证明：在平行四边形中，，．在和中，，．，．．四边形是平行四边形．16．如图，已知平行四边形，过作于，交于，过作于，交于，连接、．（1）求证：；（2）求证：四边形为平行四边形．【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，，，，，，四边形为平行四边形，，，即；（2），，，，，在和中，，，，四边形为平行四边形，，，，又，四边形为平行四边形．17．在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，，④，，⑤，，能够判定四边形是平行四边形的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；②，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；③，，不能判定四边形为平行四边形；④，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；⑤，，，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；故选：．18．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边三角形及等边三角形，已知，于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．【解答】证明：（1）是等边三角形，，，，，，，，，在和中，；（2）是等边三角形，，，由（1）的结论得，，，，，，，四边形是平行四边形．19．如图，在等腰三角形中，，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、和．（1）求证：．（2）求的长．（3）求四边形的面积．【解答】（1）证明：、分别是、的中点，是的中位线．．又；（2）解：．理由如下：在等腰三角形中，，，点是的中点，，，在中，，，由勾股定理可得，，由（1）可知，是的中位线．，又，四边形是平行四边形．；（3）解：四边形的面积为6，理由如下：过点作，垂足为点．，，，．20．如图，在平行四边形中，点，在对角线上，连接，，，，点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④；⑤，．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①如图，连接交于点，四边形是平行四边形，，，，，，，即，四边形是平行四边形；故①正确；②，不能判定，不能判定四边形是平行四边形；③，不能判定，不能判定四边形是平行四边形；④，，在和中，，，，，，，四边形是平行四边形，故④正确；⑤，，，，在和中，，，，，，，四边形是平行四边形；故⑤正确；一定能判定四边形是平行四边形的是①④⑤，共3个，故选：．21．如图，，是四边形对角线上的两点，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．【解答】证明：（1）如图，，，，．又，，即．在与中，，；（2）由（1）知，，则．又，四边形是平行四边形．22．如图，为等边三角形，、分别为、上的点，且．（1）求证：；（2）以为边作等边三角形，点在线段上的何处时，四边形是平行四边形．【解答】（1）证明：为等边三角形，，，在和中，；（2）解：在线段上任意位置（但，不重合），四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，四边形的形状是平行四边形．23．如图，以为底边的等腰，点，，分别在，，上，且，，延长至点，使得．求证：四边形为平行四边形．【解答】证明：是等腰三角形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形为平行四边形；24．如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．【解答】（1）证明