沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训03一次函数与四边形压轴题(原卷版+解析)

特训03一次函数与四边形压轴题含存在性问题、最值问题、动态问题一、解答题1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．(1)求直线的解析式；(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2（1）求直线的解析式；（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．4．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．(1)当点的坐标为时，求的值．(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．点的坐标为_____．当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．5．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．(1)如图1，已知点，．①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是，最大值是；②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是；(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；(3)已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．6．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若，直接写出的长．7．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．(1)当时，①点C的坐标是；②在三个点中，是正方形的“3倍距离点”；(2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围；(3)点．当时，线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，（4，1），以，为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．(1)点B的坐标为．(2)求用含k的代数式表示b．(3)当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，求k的值．(4)直接写出一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点时k的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．(1)求点B的坐标．(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．(1)①求的值；②判断的形状，并说明理由；(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．(1)求直线的解析式；(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．12．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．(1)求点A的坐标；(2)求过点P的反比例函数解析式；(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．(1)如图（1），当时，求的坐标；(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．①此时与是否相等，说明理由；②求点的坐标；(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）14．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．(1)如图1，当时，求点D的坐标；(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．15．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为．(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．求线段所在直线的函数表达式；在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．(1)当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；(2)当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；(3)在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．17．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么把点（其中）称为点P的“位置点”．已知点．(1)若点分别是点A，B的“位置点”，则线段；(2)点M是线段上一点，点N是点M的一个“位置点”．①当M在线段上运动时，若点M，N之间的距离的最小值为5，求k的值；②如图，点，如果在线段上能找到至少一个点M，使点N在正方形的内部或边上，直接写出k的取值范围．18．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将向下平移5个单位得线段．其中点的对应点为点，连接，．(1)填空：点的坐标为，四边形的面积为．(2)若点是轴上的动点，连接．①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点．用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；②当将四边形的面积分成两部分时，直接写出点的坐标．19．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，(1)求B、C两点的坐标；(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.20．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．(1)如图，当时，求的度数．(2)如图，当时，求证：．(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．24．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．(1)求点的坐标；(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．25．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．(1)求出点的坐标；(2)在轴上有一点，连接，若，求的面积；(3)在正方形的边上有一点，连接，将四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上时，求此时的长度．26．如图，点为长方形的中心，轴，轴，，．(1)直接写出、的坐标；(2)如图，若点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，连接、，在点、移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．(3)如图，若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即连接，，点为的中点，当的面积为时，请直接写出的值及对应的点坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴；给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．(1)已知，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是__________________；(2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的的二次反射点是点，求线段的长；(3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点关于轴和直线的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围．28．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．(1)填空：菱形的边长______；(2)求直线的解析式；(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，①当时，求S与t之间的函数关系式；②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．29．如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？30．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．(1)求直线AM的解析式．(2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标．(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．特训03一次函数与四边形压轴题含存在性问题、最值问题、动态问题一、解答题1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．(1)求直线的解析式；(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)(2)(3)点N的坐标为或或【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答；（3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时．【解析】（1）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，∴，∵绕点O顺时针旋转得，∴，∴，设直线的函数解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为．（2）∵，∴，∵点E在线段上，∴设，∵轴，轴，∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为，把代入得：；把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵，∴，解得：．∴．（3）①当为矩形的边时，过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点，根据作图可得：四边形和四边形都是矩形，∵，∴，∵，∴，∵绕点O顺时针旋转得，∴，在和中，，∴，∴，∵点M为线段的中点，，∴，，即点N为中点，∵，∴，设直线的解析式为，把点代入得：，∴直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立直线和直线的解析式为：，解得：，∴，②当为矩形的对角线时，过点M作轴于点P，过点M作轴于点N，∵，，∴轴，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴点C和点N重合，∴，综上：点N的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2（1）求直线的解析式；（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x-1；（2）-4≤b≤2；（3）存在，（-2，0）或（-8，0）【分析】（1）因为直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，直接将的坐标代入到已知直线中，求出的纵坐标，再将代入到直线中，即可求解；（2）由题意可得平移后的直线为，由于交点始终落在线段上，找到两个临界位置，即直线经过点和点，求出对应的的值，根据图象，得到的取值范围；（3）根据题意，画出草图，即当和，当时，由直线的解析式，得到直线的比例系数，再由点坐标，写出直线的解析式，令，求出直线与轴交点坐标，同理可求当AC∥PB时的点坐标．【解析】解：（1）直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，当时，，的坐标为，将的坐标代入到直线得，，直线的解析式为；（2）令，则，令，则，，直线分别与轴、轴交于点、，的坐标为，的坐标为，设直线经过平移后的解析式为，如图1，当直线经过点时，，当直线经过点时，，由图可得，当交点始终落在线段上时，；（3）直线的图象与轴交于点，时，，的坐标为，①如图2，当时，四边形为梯形，直线的解析式为，令，则，，②如图3，当时，四边形为梯形，设直线的解析式为，代入点得，直线的解析式为，，直线的解析式为，令，则，，所以存在这样的点，使点与点、、构成的四边形为梯形，坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了梯形的存在性问题，特别要注意数形结合思想的应用．3．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的面积的最大值为【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解；（3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解．【解析】（1）解：∵四边形．点，)，，，，矩形是由矩形旋转得到，，在中，，;故答案为：．（2）如图，过点作于，过点作于，连接，，，四边形是矩形，，，，，()，，又，()，，，又，点与点重合，，，，点，点，点三点共线，

，，，设在中，，，，，，，，；（3）解：依题意，，，，，当边上的高最大时，面积最大，如图，当轴于点时，则，此时面积最大，连接，，的面积的最大值为．【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．(1)当点的坐标为时，求的值．(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．点的坐标为_____．当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．【答案】(1)2(2)点的坐标为(3)；；【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据题意可得，解方程组即可得到点的坐标；（3）根据平行四边形的性质，对角线的性质，利用中点公式求解即可；由题意可知，再分别求出直线与直线的交点，两交点之间的部分即为的取值范围；由题意可得，再分别求出直线经过点和点时的值，即可求出的取值范围．【解析】（1）解：点坐标为，，；（2）解：点的特征数是5，点的特征数是6，，解得，点的坐标为；（3）解：，，的中点为，设，，解得：，，故答案为：；，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，联立方程组，解得，直线与直线的交点为，同理可求得直线的解析式为，联立方程组，解得，直线与直线的交点为，在内部（不包含边界）时，的取值范围为；，，当直线经过点时，，当直线经过点时，，当，点在内部（不包含边界）．【点睛】本题考查一次函数的性质和图象，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，直线交点的求法是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．(1)如图1，已知点，．①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是，最大值是；②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是；(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；(3)已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．【答案】(1)①3，；②(2)(3)【分析】（1）①观察图象的最小值是长，最大值是长，由勾股定理即可得出结果；②过作于，可得出，根据平衡点的定义，即可得出点与点是线段的一对平衡点；（2）如图2，可得，，由平衡点的定义可求出的范围；（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，根据平衡点的定义，可得，，即可求出的范围．【解析】（1）解：①由题意知：，，则的最小值是3，最大值是；②如图1，过作于，，根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；故答案为：3，，；（2）如图2中，，，且，均在正方形上，符合平衡点的定义，；（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，则，，，，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．6．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若，直接写出的长．【答案】(1)8(2)，证明见解析(3)或【分析】（1）在线段的延长线上取一点D，使，连接．由题意知四边形是边长为4的正方形，先证，再证，通过等量代换可得；（2）在线段上取一点E，使，连接．同（1）可证，，通过等量代换可得；（3）分点在线段上和在线段的延长线上两种情况，利用（1）（2）结论，通过勾股定理解即可．【解析】（1）解：如图，在线段的延长线上取一点D，使，连接．点的坐标是，直线轴于，直线轴于，，，四边形是边长为4的正方形，，在和中，，，，．，，

，，在和中，，，．，即的周长是8；（2）解：，理由如下：如图，在线段上取一点E，使，连接．在和中，，，，．，，，，在和中，，，．；（3）解：当点在线段上时，如图：

，，由（1）知的周长是8，，在中，，，解得，；当点在线段的延长线上时，如图：同（2）可证，，，，在中，，，解得，，综上，的长为或．【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．7．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．(1)当时，①点C的坐标是；②在三个点中，是正方形的“3倍距离点”；(2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围；(3)点．当时，线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．【答案】(1)①（0，4）；②，(2)或(3)或【分析】（1）①当时，可得点A（4，0），B（4，4）．根据四边形是正方形，可得，所以点C的坐标是（0，4）；②根据点关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1，可得点是正方形的“3倍距离点”，同理即可解决问题；（2）当时，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），结合（1）即可解决问题；（3）根据点关于y轴的对称点坐标为，得直线的解析式为，设线段上一点P（m，m），则，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题．【解析】（1）解：①当时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．∵四边形是正方形，∴，点C的坐标是（0，4），故答案为：（0，4）；②∵点关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1，∴点是正方形的“3倍距离点”；同理可得点是正方形的“1倍距离点”；同理可得点是正方形OABC的“3倍距离点”；∴是正方形的“3倍距离点”，故答案为：；（2）当时，如图2，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），∵点关于y轴的对称点坐标为（2，n），，当时，到的距离倍的到的距离，当时，到的距离倍的到的距离，当时，到的距离倍的到的距离，当时，到的距离倍的到的距离，∴，∴，综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或；（3）解：∵点关于y轴的对称点坐标为，设直线的解析式为，代入得，，解得：，∴直线的解析式为，设线段上一点P（m，m），则，当P在正方形内时，①，∴，∴（舍去）；②，∴，∴；当P在正方形外时，，∴，∴；此时不存在的情况，∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或．【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．8．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，（4，1），以，为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．(1)点B的坐标为．(2)求用含k的代数式表示b．(3)当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，求k的值．(4)直接写出一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点时k的取值范围．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）利用平行四边形的性质，和平移思想，求出点坐标即可；（2）将点坐标代入解析式，进行求解即可；（3）根据一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分，得到一次函数过原点，进行求解即可；（4）求出一次函数图象经过点的值，和一次函数经过点的值，再根据一次函数的性质，求出k的取值范围即可．【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴可由平移得到，∵点，点，，∴，即，故答案为：；（2）解：将代入，得：，∴；（3）解：一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B，∴当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，图象必过点，由（2）知：，∴，∴；（4）当直线经过点时，得，解得：，当直线经过点时，得，解得：，∵一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点，∴或．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合的思想进行解题．9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．(1)求点B的坐标．(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题；（2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可；（3）由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），则，根据，，，可证，则，，则，根据直线解析式为：，结合，可知直线的解析式为：，则，当点再点上方时，设，则，根据，则，进而可知，故，根据对称性可知，也满足条件，由此可得到结果．【解析】（1）解：由题意知，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴直线，当时，，∴，∴．（2）解：如图所示，∵，F（m，4），∴，∴；（3）解：如图2所示：由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵直线解析式为：，∵，∴直线的解析式为：，∴，当点再点上方时，设，则，∵，∴，∴，∴，根据对称性可知，也满足条件，∴或．【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．10．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．(1)①求的值；②判断的形状，并说明理由；(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)①②等边三角形，理由见解析(2)(3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点坐标为或或或【分析】（1）求出与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状；（2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，与联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标；（3）分3种情况求解即可．【解析】（1）解：①令，则，，直线经过点，；②是等边三角形，理由如下：令，则，解得，，点关于轴的对称点是点，，，，，是等边三角形；（2）解：，直线，令，则，，设点关于直线的对称点为，，，，，，连接，则与直线的交点为点，，的周长，当、、三点共线时，的周长最小，设直线的解析式为，，解得，，联立方程组，解得，，轴，，，四边形是正方形，；（3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：设，，，，当时，，解得或，或；当时，，解得，；当时，，解得或舍，；综上所述：点坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，正方形的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．11．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．(1)求直线的解析式；(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)，(3)，，，【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式；（2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标；（3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标．【解析】（1）解：在中，令，得，，令，得，，，，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为；（2）解：由可得，，，设点是轴上一点，且满足，，，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，记直线的解析式为，将代入可得，直线的解析式为，联立，解得，则，显然点为的中点，如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：，过点作于点，交轴于点，点即为所求，易得直线的解析式为：，则；（3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时，时，如图所示，过点作轴于点，根据题意可得，，则，则，易得，则，由，可得，在Rt中，，，，，同理可得，；时，如图所示，根据题意可得，，轴，；Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时，根据题意可得，，轴，又，可得；综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．12．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．(1)求点A的坐标；(2)求过点P的反比例函数解析式；(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在．，，【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；（2）根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．【解析】（1），，，．∵，∴．∴．（2）∵，∴．∴点P的坐标为．设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得．∴过点P的反比例函数解析式为．（3）存在．如图1，当为正方形的对角线时，过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F．∵四边形是正方形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．，∴．设，则，∴．∵，∴，∴，∴，（舍去），∴，∴．∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；如图2，当为正方形的边时，过点N作于点H，∵四边形是正方形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；如图3，当为正方形的边时，由图2可知，，∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得；综上可知，点N的坐标为：，，．【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．13．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．(1)如图（1），当时，求的坐标；(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．①此时与是否相等，说明理由；②求点的坐标；(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）【答案】(1)(2)①；②(3)14【分析】（1）如图①中，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论；（2）①此时与相等，证明即可；②设，再利用勾股定理构建方程求出即可；（3）如图③中，当点值的延长线上时，的面积最大．【解析】（1）如图①中，过点作于点．四边形是矩形，，，，在中，，，，，，∴；（2）①结论：．理由：，，，，，，；②，，，设，在中，，，，，．（3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大．的面积的最大值．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．14．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．(1)如图1，当时，求点D的坐标；(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．【解析】（1）解：过点作轴于，如图所示：∵点，点，∴，，∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴点的坐标为；（2）过点作轴于，，于，如图所示：则，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴点的坐标为；（3）连接，作轴于，如图所示：由旋转的性质得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴点的坐标为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．15．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为．(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．求线段所在直线的函数表达式；在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；存在，或【分析】（1）设，分别求出，，再由题意得到或，求出的值即可求点的坐标；（2）过点作轴交于点，由折叠可知，则，在Rt中，，求出，可知点与点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；设，分别求出，，，，根据题意可得或，求出的值即可求点坐标．【解析】（1）解：，，，点在上，设，，直线将长方形的面积分成1:3两部分，或，解得或（舍），，故答案为：；（2）解：，，过点作轴交于点，由折叠可知，，，，，，在Rt中，，解得，点与点重合，，设直线的解析式为，，解得，；存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3，理由如下：设，，，，，，或，解得或，或．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．(1)当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；(2)当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；(3)在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)，(2)见解析(3)或【分析】（1）由是的中点求出时间，然后确定，即可求出点的坐标；（2）连接，根据平行四边形的性质可得：，，在由线段的数量关系可得：，依据平行四边形的判定定理即可证明；（3）的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是，设的解析式是，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得的解析式，然后分两种情况讨论：当在上时，的坐标是；当在上时，的坐标是；将、两点坐标分别代入求解即可．【解析】（1）解：，则，，则，则的坐标是；（2）解：连接，如图所示：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，即：∴四边形是平行四边形；（3）解：的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是．设的解析式是，则，解得：，则的解析式是，同理的解析式是，当在上时，的坐标是，,则，解得：；当在上时，的坐标是，则，解得：，综合可得：，．【点睛】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．17．在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么把点（其中）称为点P的“位置点”．已知点．(1)若点分别是点A，B的“位置点”，则线段；(2)点M是线段上一点，点N是点M的一个“位置点”．①当M在线段上运动时，若点M，N之间的距离的最小值为5，求k的值；②如图，点，如果在线段上能找到至少一个点M，使点N在正方形的内部或边上，直接写出k的取值范围．【答案】(1)8(2)①3.5；②【分析】（1）求出的坐标，可得结论；（2）①当点M，N之间的距离的最小时，点M，N在y轴上，此时，由此即可解答；②如图，当点M与A重合时，连接，延长交于点N，交于点．求出两种特殊位置k的值即可论．【解析】（1）解：由题意，∴故答案为：8（2）解：①点M，N之间的距离的最小时，点M，N在y轴上，此时，∴；②如图，当点M与A重合时，连接，延长交于点N，交于点．观察图像可知，当N是M的K位置时，，当是M的K位置时，，观察图像可知．【点睛】本题属于四边形综合题，主要正方形的性质点P的“位置点”的新定义、画图像等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将向下平移5个单位得线段．其中点的对应点为点，连接，．(1)填空：点的坐标为，四边形的面积为．(2)若点是轴上的动点，连接．①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点．用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；②当将四边形的面积分成两部分时，直接写出点的坐标．【答案】(1)，20(2)①，理由见解析；②点坐标为或理由见解析【分析】（1）由平移的性质得出C点坐标，，再求，即可得出结论．（2）①先求出，再利用三角形的面积公式得出，，即可得出结论；②分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论．【解析】（1）点，将向下平移5个单位得线段，，即，由平移得，，四边形是矩形，，，，．故答案为：，20；（2）①，理由如下：如图1，过点作于，由平移知，轴，，，由平移知，，，，，即；②如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交轴于点，则，，连接，则，将四边形的面积分成两部分，，由①知，，，，，，．（Ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交轴于点，则，．连接，则，将四边形的面积分成两部分，，，．过点作交的延长线于点，，，，，，，，，即：点坐标为或．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形变化—平移，矩形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．19．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，(1)求B、C两点的坐标；(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，；(2)(3)，，【分析】（1）含角直角三角形的性质及勾股定理得、的长度，则可得、的坐标；（2）由折叠性质得，，可证明，则，由矩形可知，四边形是平行四边形；设，则，在中，由勾股定理建立方程可求得的值，从而可求得结果；（3）分三种情况考虑：以为边；为边，为对角线；若为边，为对角线；分别利用菱形的性质及相关知识即可求得点的坐标．【解析】（1），，由勾股定理得：∴，；（2）由折叠的性质得：，四边形是矩形四边形是平行四边形设，则∵在中，∴解得：（3）若以为边，如图∵F是中点由（1）知，∴设直线的解析式为把点与点的坐标分别代入得：解得：∴直线解析式∵四边形是菱形∴∴的解析式设∴解得：∴若为边，为对角线，如图∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形∴∴∴∴∴∴∴是的垂直平分线∵四边形是菱形∴是的垂直平分线∴M与D重合，即设∵与互相平分∴∴，∴若为边，为对角线如图∵直线解析式∴直线与y轴的交点为∵，∴∵四边形是菱形，∴∴M是直线与y轴的交点∵四边形是菱形，∴，且

∴综上所述，，【点睛】本题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．(1)如图，当时，求的度数．(2)如图，当时，求证：．(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．【答案】(1)；(2)见解析；(3)；；【分析】（1）连接，证明是等边三角形，推出，求出即可解决问题；（2）如图，作于，交于，设，，在和中，利用勾股定理构建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出结论；（3）如图3，在的延长线上截取，连接，，，，通过证明求解的长，进而可得的长，当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），证明，可得，求出，可得，进而可得答案．【解析】（1）解：如图，连接，由翻折的性质可知：，，，是等边三角形，，，四边形是正方形，，，，，，，∴；（2）证明：如图，作于，交于，由翻折的性质可知：，，设，．，四边形是矩形，，，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，解得，，，，，，即；（3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，，，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），此时，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)，，【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．【解析】（1）解：直线与直线相交于点，，解得，，将，代入，得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：，，，，，．沿直线翻折得到，，，；（3）解：如图，过C作于M，，，，．由折叠的性质可知，，，．过点作，，过点作，，连接，，，与交于，则四边形是正方形，，，均为等腰直角三角形．作轴于N，，，，，又，，，，，，；四边形是正方形，是的中点，也是的中点，，，的横坐标为，纵坐标为，，，的横坐标为，纵坐标为，，综上，点P的坐标为：，，．【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析，(3)或或【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可；（2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长；（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标．【解析】（1）解：把点代入，得：，∴，∴，设直线的解析式为∶，把，代入得：∴，解得：，∴直线的解析式为；（2）解∶如图，设点D的坐标为，∵轴，∴点，∵，∴，解得：，∴，，作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶，∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，∴直线与坐标的夹角都为，∴，∴，∵轴，∴点的横坐标为，∴点的坐标为，∴，∴的周长最小值为∶；（3）如图，∵点，∴点M和点N旋转后的对应点，∴直线的解析式为∶，当时，，∴，当时，∵，∴，当时，∵，∴，当时，∵，，∴，综上所述∶点或或．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置．23．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)2或【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；（3）根据E点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．【解析】（1）解：∵正方形的边长为4，，交于点E，∴，将E点坐标代入双曲线，得，解得，∴双曲线的解析式为，故答案为：，；（2）∵双曲线与，分别交于点M，N，∴设，∴，∴，∴，由正方形可知，，∴，∴，∴；（3）解：∵正方形边长为4，由（1）知，∴，∵AE为腰，分两种情况：①当时，∵，，点P、E在反比例数图象上，，∴，②当时，点P与点B重合，∵，点P、E在反比例数图象上，∴，∴；综上所述，满足条件的m的值为2或．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．(1)求点的坐标；(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可求得的长度，即可求出C点坐标；（2）先证明是斜边的中线，过点D作轴交直线于点H，再证明，根据全等三角形对应边相等可知，根据,分情况讨论即可；（3）先判断为等腰直角三角形，利用面积公式表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍建立方程，解出即可．【解析】（1）解：∵，，∴，∵，，∴．∵，∴，∵点C在y的正半轴上，∴；（2）解：如图，连接，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即是斜边的中线，过点D作轴交直线于点H，∵轴，，．∴，,，∴，在和中，，∴，∴，∴D，G两点速度相同，当时，如图1，∵，∴，∴，当时，D点与O点重合，此时，如图2，当时，∵，∴；故.（3）解：如图3，连接、、，过点F作于点E，过点P作交x轴于点I，∴为等腰直角三角形，且，∴点，．过点F作交于点M，则四边形为正方形，由（2）可得，∴，∴，∵四边形为正方形，∴当时，，∴，解得，当时，，∴，解得．∴存在t，使的面积等于面积的2倍，或．【点睛】本题考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定．（1）能根据题意得出为等腰直角三角形是解题关键；（2）中能作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质得出D，G两点速度相同是解题关键；（3）中能作辅助线求出P点的坐标是解题关键．25．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．(1)求出点的坐标；(2)在轴上有一点，连接，若，求的面积；(3)在正方形的边上有一点，连接，将四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上时，求此时的长度．【答案】(1)点坐标为，点坐标为(2)的面积为(3)的长为【分析】（1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标；（2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，从而即可求得答案；（3）要使四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上，则轴，画出图如图所示，设，再结合勾股定理和三角形的等面积法即可求出的长．【解析】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，轴，，，在和中，，，，点坐标为，，点坐标为，同理可得，，，，四边形为矩形，，，点坐标为，点坐标为，点坐标为；（2）解：设点的坐标为，由（1）得，点坐标为，点坐标为，，，解得，点的坐标为，作轴交轴于点，轴交轴于点，点坐标为，点坐标为，点的坐标为，则，，的面积为；（3）解：要使四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上，则轴，画出图如图所示，与轴的交点为点，与轴的交点为点，，，，在和中，，（AAS），，设，则，，，解得，为的长，，的长为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的等面积法的运用，勾股定理解三角形，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键．26．如图，点为长方形的中心，轴，轴，，．(1)直接写出、的坐标；(2)如图，若点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，连接、，在点、移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．(3)如图，若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即连接，，点为的中点，当的面积为时，请直接写出的值及对应的点坐标．【答案】(1)，(2)四边形的面积不发生变化，详见解析(3)点坐标为或【分析】（1）根据矩形的性质直接求解即可；（2）分别求出，，再求即可；（3）当时，在轴的左侧，当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得；当时，在轴的右侧，当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得；求出后再分别求出、点坐标，即可求点坐标．【解析】（1）解：，，，；（2）四边形的面积不发生变化，理由如下：由题可知，，，，，，，，四边形的面积不发生变化；（3），△的面积为12，点到的距离是6，，，，当时，在轴的左侧，当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得；，，，，是的中点，，；当时，在轴的右侧，当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得（舍）；当点在上时，，解得；，，，，是的中点，，；综上所述：点坐标为，或，．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，根据点的运动情况分类讨论是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴；给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．(1)已知，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是__________________；(2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的的二次反射点是点，求线段的长；(3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点关于轴和直线的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)、、；(2)；(3)或．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案；（3）)根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案【解析】（1）解：∵∴点关于轴对称点的坐标为，∵关于直线对称的点∴关于轴和直线的二次反射点的坐标∵∴点关于轴对称点的坐标为，∵关于直线对称的点∴关于轴