专题09分式的意义及基本性质（2个知识点4种题型1个易错点）（解析版）

专题09分式的意义及基本性质（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.分式的意义知识点2.分式的基本性质【方法二】实例探索法题型1.分式的概念题型2.求分式的值题型3.分式有无意义的条件题型4.分式值为零的条件题型5.分式的基本性质题型6.分式的约分题型7.最简分式【方法三】差异对比法易错点忽略分母不为0的条件【方法四】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.分式的意义定义示例剖析分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．例如分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．使有意义的条件是分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当且时，．使值为0的x值为1知识点2.分式的基本性质定义示例剖析分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.【方法二】实例探索法题型1.分式的概念1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式．故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．题型2.求分式的值3．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为．【分析】根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．【解答】解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴＝＝，∵分式的值是整数，a是整数，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合题意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．4．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于．【分析】将a＝﹣2代入分式求值．【解答】解：当a＝﹣2时，＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查求分式的值，熟练掌握求分式的值的方法是解决本题的关键．5．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【解答】解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点评】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．题型3.分式有无意义的条件6．（2022春•杨浦区校级月考）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式有意义的条件判断即可．【解答】解：A选项，当m＝﹣1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；B选项，m＝﹣3时，分式没有意义，故该选项不符合题意；C选项，m＝3时，分式没有意义，∵m＜2，∴分式一定有意义，故该选项符合题意；D选项，m＝1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．7．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式有意义，那么的取值范围是________．【答案】【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列不等式求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件“分母不为零”是解答本题的关键．8．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当x﹣2y≠0时，即x﹣2≠0分式有意义，解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．题型4.分式值为零的条件9．（2022·上海普陀·七年级期末）当x＝3时，下列各式值为0的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【详解】解：A.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B.当时，，，原分式的值为，故此选项符合题意；C.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D.当时，，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．10．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．11．（2022·上海·七年级期末）若分式的值为零，则x＝_______．【答案】-3【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2-9=0，x-3≠0，解出x即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．题型5.分式的基本性质12．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式的值为，如果把分式中的同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用分式的基本性质进而化简得出答案．【详解】解：把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是正确化简分式．13．（2022·上海·七年级期末）把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值…

（

）A．不变 B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的【答案】A【详解】解：把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，可得，由此可得分式的值不变，故选A.14．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式 B．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变 C．单项式23ab是5次单项式 D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出答案．【解答】解：A、若A、B表示两个不同的整式，则不一定是分式，故A不符合题意．B、如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B不符合题意．C、单项式23ab是2次单项式，故C不符合题意．D、若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n＝，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本题属于基础题型．题型6.分式的约分15．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．【解答】解：A.＝x4，故此选项不符合题意；B.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；C.的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D.＝＝﹣，正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式________．【答案】【分析】先分母提取公因式b，再进行约分即可．【详解】解：原式

故答案为：．【点睛】本题主要考查分式的约分．根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．题型7.最简分式17．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义计算判断．【解答】解：A、＝，所以A选项不符合；B、＝，所以B选项不符合；C、＝＝，所以C选项不符合；D、为最简分式，所以D选项符合．故选：D．【点评】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．【方法三】差异对比法易错点忽略分母不为0的条件18.当x取何值时，分式的值为0？【答案】x=－1；【解析】依题得，解得，所以.求解此类题目，最易忽略分母不能为零的情况！19.当为何值时，下列分式的值为零：⑴ ⑵⑴；⑵；易错点：忽略分母不为零的条件【方法三】成果评定法一．选择题（共6小题）1．（2022秋•闵行区校级期末）分式中x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C． D．【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2x﹣1≠0，∴x≠．故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．（2023秋•普陀区校级期中）如果分式的值为零，那么x、y应满足的条件是（）A．x＝1，y≠2 B．x≠1，y＝﹣2 C．x＝1，y≠﹣2 D．x≠1，y＝2【分析】根据分子为0，分母不为0时，分式的值为0，得方程求解即可．【解答】解：由于分式的值为0，所以解得，x＝1，y≠﹣2故选：C．【点评】本题考查了分式值为0的条件．解决此类问题，容易只考虑分子为0，而忽略分母不等于0的条件．3．（2022秋•上海期末）如果分式的值为零，那么x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．4．（2022秋•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是（）A．+3 B． C．﹣+5 D．【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；D．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，分母中含有字母的代数式，叫分式．5．（2022秋•上海期末）分式中，当x和y分别扩大3倍时，分式的值（）A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大3倍 D．不变【分析】根据分式的基本性质化简即可．【解答】解：＝＝＝4，∴分式的值扩大3倍，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．【解答】解：A、原式＝＝x+2，不符合题意；B、原式＝＝，不符合题意；C、原式＝＝x+y，不符合题意；D、原式为最简分式，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．二．填空题（共19小题）7．（2022秋•上海期末）要使分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣2．【分析】分式有意义时，分母不等于零．【解答】解：当分母x+2≠0，即x≠﹣2时，分式有意义．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．8．（2022秋•青浦区校级期末）如果分式的值为零，那么x＝﹣2．【分析】根据分式值为零的条件可得2﹣x≠0，且x2﹣4＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0且x2﹣4＝0，解得：x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．9．（2021秋•黄浦区期末）当x＝0时，分式的值为零．【分析】令2x＝0，且x+3≠0即可解出结果．【解答】解：由题意可得：，解得：x＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟知分式的值为零时要满足的条件是解题的关键．10．（2021秋•金山区期末）分式中字母x的取值范围是x≠．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0即可算出答案．【解答】解：∵2x﹣3≠0，∴x≠；故答案为：x≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，解题关键：分式有意义的条件为分母不为0．11．（2022秋•浦东新区校级期末）对于分式，如果x＝1，那么y的取值范围是y≠﹣4．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当4x+y≠0时，即4+y≠0分式有意义，解得y≠﹣4，∴y的取值范围是y≠﹣4，故答案为：y≠﹣4．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．12．（2022秋•宝山区校级期末）当x＝1时，分式的值为零．【分析】直接利用分式的值为零可得分子为零进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴x﹣1＝0，2﹣x≠0，解得：x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．13．（2022秋•宝山区校级期末）当x＝﹣1时，分式的值为0．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0且（x﹣1）（3x+4）≠0，解得：x＝±1且x≠1，，∴x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．14．（2022秋•宝山区期末）如果分式有意义，则x的取值范围是x≠±1．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：|x|﹣1≠0，解得：x≠±1，故答案为：x≠±1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．15．（2022秋•宝山区期末）化简：＝．【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了约分，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．16．（2021秋•宝山区期末）化简：＝a+3．【分析】先将原式分子部分进行因式分解，再进行约分即可解答．【解答】解：＝＝a+3．故答案为：a+3．【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握用十字相乘法进行因式分解是解题关键．17．（2022秋•宝山区校级期中）正整数a与b满足正整数，则b＝18或2．【分析】根据题意可求出b﹣1的值，从而可求出b的值．【解答】解：由题意可知：a与b是正整数，∴b﹣1＝17或1，∴b＝18或2，故答案为：18或2．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确求出b﹣1的值，本题属于基础题型．18．（2022秋•奉贤区期中）当a＝2时，代数式的值为2．【分析】将a＝2代入代数式求解即可．【解答】解：将a＝2代入，得原式＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了求分式的值，熟练掌握求代数式值的方法是解题的关键．19．（2022秋•徐汇区期末）x＝1时，分式无意义，则a＝2．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得当x＝1时，分母x2+x﹣a＝0，∴1+1﹣a＝0，解得，a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．20．（2022秋•静安区期中）如果＝，那么＝5．【分析】根据已知条件求得x＝3y，然后代入求值．【解答】解：∵，∴x＝3y，原式＝，故答案为：5．【点评】本题考查分式的求值，利用等式的性质求得x＝3y是解题关键．21．（2022秋•静安区校级期中）已知2x+3y＝0，代数式＝﹣．【分析】将x＝﹣y代入，再化简运算即可．【解答】解：∵2x+3y＝0，∴x＝﹣y，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查分式的值，熟练掌握分式的化简运算，将x＝﹣y整体代入所求的代数式进行化简是解题的关键．22．（2022秋•虹口区校级期中）如果分式无意义，那么分式的值为7．【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，列出x的