第七章　必刷小题13　立体几何-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

必刷小题13立体几何一、单项选择题1．(2024·洛阳模拟)如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是()A．正三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能答案C解析因为∠x′O′y′＝45°，则线段A′B′与y′轴必相交，令交点为C′，如图(1)所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A在x轴上，可得OA＝O′A′，点C在y轴上，可得OC＝2O′C′，如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上，所以∠BOA>∠COA＝90°，所以△OAB是钝角三角形．2．下列四个命题中，正确的是()A．各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱B．对角面是全等矩形的六面体一定是长方体C．有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱D．长方体一定是直四棱柱答案D解析对于A，底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；对于B，底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；C显然错误；长方体一定是直四棱柱，D正确．3．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线可能有()A．0条或1条 B．0条或无数条C．1条或2条 D．0条或1条或无数条答案D解析当点P到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线；当点P到平面的距离等于1时，满足条件的直线只有1条；当点P到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条．4．(2023·徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为()A.eq\f(20,3)cm B．15cmC．10eq\r(3)cm D．20cm答案B解析根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水的体积减去原来水的体积．设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯内壁的底面半径为r，则玻璃球的体积为eq\f(4,3)πr3，圆柱的底面面积为πr2，若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，则此时水面的高度为2r，所以eq\f(4,3)πr3＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm)．5．(2024·泉州模拟)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则α⊥β的充分条件是()A．m∥α，n∥β，m⊥nB．m⊥α，n∥β，m⊥nC．m⊥α，n⊥β，m⊥nD．m⊂α，n⊂β，m⊥n答案C解析对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故A错误；对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故B错误；对于C，如图(3)，m⊥α，n⊥β，m⊥n，在直线m，n上取两个向量eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))分别为平面α，β的法向量，且eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，则α⊥β，故C正确；对于D，如图(4)，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，n∥l，则m⊥n，平面α与β不一定垂直，故D错误．6.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)．若该同学所画的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，则“切面”所在平面与底面所成的角为()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)答案B解析设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E，则∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ.设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，则椭圆的长轴长2a＝CD＝eq\f(2r,cosθ)，即a＝eq\f(r,cosθ)，所以椭圆的离心率为e＝eq\f(1,2)＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(r2,\f(r2,cos2θ)))＝sinθ，所以θ＝eq\f(π,6).7．(2023·朝阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1>r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的可能取值为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)答案A解析如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F，由题意知圆O与梯形ABCD相切，则DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，又DC＝eq\r(DF2＋FC2)＝eq\r(4R2＋r1－r22)，故eq\r(4R2＋r1－r22)＝r1＋r2，化简可得R2＝r1r2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＋πr1＋r2r1＋r2,4πR2)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＋r1r2,2r1r2)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2),2r1r2)＋eq\f(1,2)>eq\f(2r1r2,2r1r2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)(r1>r2，故取不到等号)，由于eq\f(3,2)，eq\f(π,3)，eq\f(4,3)都不大于eq\f(3,2)，故eq\f(S1,S2)的可能取值为eq\f(π,2).8．(2023·北京模拟)在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是()A.eq\f(1,4)dm2 B.eq\f(\r(2),4)dm2C.eq\f(\r(3),4)dm2 D.eq\f(3,4)dm2答案B解析根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，因为EF∥AC，所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，则eq\f(VF,VA)＝eq\f(VE,VC)＝eq\f(EF,AC)＝k,0<k<1，因为VA＝VB＝VC＝1，且两两垂直，所以AC＝eq\r(2)，即EF＝eq\r(2)k，因为FD∥VB，所以△AFD∽△AVB，即eq\f(AF,VA)＝eq\f(AD,BA)＝eq\f(FD,VB)，因为eq\f(AF,VA)＝eq\f(VA－VF,VA)＝1－k，所以eq\f(FD,VB)＝eq\f(AF,VA)＝1－k，即FD＝1－k，同理△CEQ∽△CVB，即eq\f(CE,VC)＝eq\f(CQ,BC)＝eq\f(EQ,VB)＝1－k，即EQ＝1－k，所以FD∥EQ，且FD＝EQ，所以四边形FEQD为平行四边形，因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，所以VB⊥平面VAC，因为FD∥VB，所以FD⊥平面VAC，因为EF⊂平面VAC，所以FD⊥EF，所以四边形FEQD是矩形，即S矩形FEQD＝FD·EF＝(1－k)·eq\r(2)k＝－eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,2)))2＋eq\f(\r(2),4)，所以当k＝eq\f(1,2)时，S矩形FEQD有最大值eq\f(\r(2),4).故该截面面积的最大值是eq\f(\r(2),4)dm2.二、多项选择题9．(2023·潍坊模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则()A．R＝3r B．R＝6rC．V2＝9V1 D．2V2＝27V1答案AD解析由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，V1＝eq\f(4πr3,3)，V2＝πR2h＝18πr3，则有2V2＝27V1.10．(2023·昌吉模拟)正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，则下列说法正确的是()A．该正六棱台的上底面积是6eq\r(3)cm2B．该正六棱台的侧面积是15cm2C．该正六棱台的表面积是(60eq\r(3)＋24eq\r(21))cm2D．该正六棱台的高是3cm答案ACD解析如图，在正六棱台ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，因为A1B1＝2cm，AB＝6cm，AA1＝5cm，所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－2,2)))2)＝eq\r(21)(cm)，所以梯形ABB1A1的面积为S＝eq\f(1,2)×(2＋6)×eq\r(21)＝4eq\r(21)(cm2)，故正六棱台的侧面积为6S＝6×4eq\r(21)＝24eq\r(21)(cm2)，故B错误；由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台的上底面积为S1＝6×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝6eq\r(3)(cm2)，故A正确；同理下底面积为S2＝6×eq\f(1,2)×6×6×sin60°＝54eq\r(3)(cm2)，所以该正六棱台的表面积是6S＋S1＋S2＝(60eq\r(3)＋24eq\r(21))cm2，故C正确；正六棱台的高为OO1＝eq\r(52－6－22)＝3(cm)，故D正确．11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是()A．MN＝eq\f(1,2)EFB．MN≠eq\f(1,2)EFC．MN与EF异面D．MN与EF平行答案BC解析设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，则MN＝eq\r(MC\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2)＝eq\r(2)a，作点E在平面ABCD内的射影点G，连接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2＋\r(2)a2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故选项B正确，A错误；连接DE，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C，又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN与EF异面，故选项C正确，D错误．12．(2024·舟山模拟)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，D为AC的中点，则下列判断正确的是()A．C1D与BB1是异面直线B．BD⊥A1C1C．平面BDC1⊥平面ACC1A1D．A1B1∥平面BDC1答案ABC解析对于A，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1∥CC1，CC1⊂平面ACC1A1，BB1⊄平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1，又CC1∩C1D＝C1，所以C1D与BB1是异面直线，故A正确；对于B，因为AA1垂直于底面ABC，BD⊂平面ABC，所以AA1⊥BD，又因为△ABC为正三角形，且D为AC的中点，所以BD⊥AC，又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，又A1C1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C1，故B正确；对于C，因为BD⊥平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面ACC1A1，故C正确；对于D，因为AB∩平面BDC1＝B，所以AB与平面BDC1不平行，又AB∥A1B1，所以A1B1与平面BDC1不平行，故D错误．三、填空题13．(2023·榆林模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝eq\r(3)AB，则tan∠APC＝________.答案2解析∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PA⊥AC，设AB＝1，则PA＝1，AD＝eq\r(3)，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝2，∴tan∠APC＝eq\f(AC,PA)＝2.14.如图，已知PA⊥PB，PA⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝eq\r(2)BC，D是BC的中点，则AD与平面PBC所成角的余弦值为______．答案eq\f(\r(217),31)解析∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC，连接PD，如图所示，则PD是AD在平面PBC内的射影，∴∠PDA就是AD与平面PBC所成的角．又∵∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝eq\r(2)BC，D是BC的中点，∴PD＝eq\f(\r(7),2)BC，PA＝eq\r(6)BC，∴AD＝eq\f(\r(31),2)BC，∴cos∠PDA＝eq\f(PD,AD)＝eq\f(\r(217),31)，∴AD与平面PBC所成角的余弦值为eq\f(\r(217),31).15.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，则四棱锥B1－BED1F的体积为________，截面四边形BED1F的周长的最小值为________.答案202eq\r(74)解析由题意可得D1F∥BE，则＝＋＝＋＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BB1·BC·AB＋\f(1,2)BB1·AB·D1A1))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×5×4×3＋\f(1,2)×5×3×4))＝20.将长方体展开，如图所示，当点E为BD1与CC1的交点，F为BD1与AA1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，最小值为2BD1＝2eq\r(52＋3＋42)＝2eq\r(74).16．青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器，还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器——方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖．图②是与主体结构相似的几何体，其中AB＝4，MN＝NF＝2，K为BC上一点，且eq\f(CK,BC)＝eq\f(1,3)，Z为PQ上一点．若DK⊥MZ，则eq\f(QZ,ZP)＝________；若几何体EFGH－MNPQ的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．答案eq\f(1,2)40π解析由题意可知，平面ABCD∥平面EFGH∥平面MNPQ，设平面EMZ交平面ABCD于AJ，因为平面EMZ交平面MNPQ＝MZ，所以MZ∥AJ，设DK∩AJ＝L，因为DK⊥MZ，所以DK⊥AJ，因为∠DK