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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()A.9 B.27 C.81 D.2.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()A.40 B.60 C.80 D.1003.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.“且”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是()A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一6.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.07.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()A. B. C. D.8.已知是等差数列的前项和,若,设,则数列的前项和取最大值时的值为()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20179.函数在的图象大致为A. B.C. D.10.已知函数,则不等式的解集是()A. B. C. D.11.复数满足,则()A. B. C. D.12.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在长方体中,,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面EFG,则线段长度的最小值是________________.14.已知点是双曲线渐近线上的一点,则双曲线的离心率为_______15.已知,则展开式的系数为__________.16.已知,是互相垂直的单位向量,若与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.(Ⅰ)求X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),直线的参数方程(为参数),若直线的交点为,当变化时,点的轨迹是曲线(1)求曲线的普通方程;(2)以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,设射线的极坐标方程为,,点为射线与曲线的交点,求点的极径.19.(12分)已知函数.(1)若函数不存在单调递减区间,求实数的取值范围;(2)若函数的两个极值点为,,求的最小值.20.(12分)如图在棱锥中,为矩形,面,(1)在上是否存在一点,使面,若存在确定点位置,若不存在,请说明理由;(2)当为中点时,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.22.(10分)设函数.(1)时,求的单调区间;(2)当时,设的最小值为,若恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项,即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由,得,解得或.因为.且数列递增,所以.又,解得,故.故选:A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、D【解析】
由正态分布的性质,根据题意,得到,求出概率,再由题中数据,即可求出结果.【详解】由题意,成绩X近似服从正态分布,则正态分布曲线的对称轴为,根据正态分布曲线的对称性,求得,所以该市某校有500人中,估计该校数学成绩不低于110分的人数为人,故选:.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.3、B【解析】
由题可知,,再结合双曲线第一定义,可得,对有,即,解得,再对,由勾股定理可得,化简即可求解【详解】如图,因为,所以.因为所以.在中,,即,得,则.在中,由得.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法,几何性质的应用,属于中档题4、A【解析】
画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图,“且”表示的区域是如图所示的正方形,记为集合P,“”表示的区域是单位圆及其内部,记为集合Q,显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件,故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.5、C【解析】
通过图表所给数据,逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析,题目较为简单.6、C【解析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图,其中,,为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选:C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.7、C【解析】
设出点的坐标,以为底结合的面积计算出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于的方程,求出方程的解,即可得出结论.【详解】设点的坐标为,直线的方程为,即,设点到直线的距离为,则,解得,另一方面,由点到直线的距离公式得,整理得或,,解得或或.综上,满足条件的点共有三个.故选:C.【点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.8、B【解析】
根据题意计算,,,计算,,,得到答案.【详解】是等差数列的前项和,若,故,,,,故,当时,,,,,当时,,故前项和最大.故选:.【点睛】本题考查了数列和的最值问题,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.9、A【解析】
因为,所以排除C、D.当从负方向趋近于0时,,可得.故选A.10、B【解析】
由导数确定函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数,可得,时,,单调递增,∵,故不等式的解集等价于不等式的解集..∴.故选:B.【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性,根据单调性解不等式,属于中档题.11、C【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解:,故选:C【点睛】本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
如图,连接,证明平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.当时.线段的长度最小,再求此时的得解.【详解】如图,连接,因为E,F,G分别为AB,BC,的中点,所以,平面,则平面.因为,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.在中,,故当时.线段的长度最小,最小值为.故答案为:【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明,考查立体几何中的轨迹问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、【解析】
先表示出渐近线,再代入点,求出,则离心率易求.【详解】解:的渐近线是因为在渐近线上,所以,故答案为:【点睛】考查双曲线的离心率的求法,是基础题.15、【解析】
先根据定积分求出的值,再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为所以的通项公式为当时,当时,故展开式中的系数为故答案为:【点睛】此题考查定积分公式,二项展开式公式等知识点,属于简单题目.16、【解析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.【详解】解:由题意,设(1,0),(0,1),则(,﹣1),λ(1,λ);又夹角为60°,∴()•(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)分布列见解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值为9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前两问的结果,判断至少增加2人.【详解】(Ⅰ)X的取值为:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列为:X912151824P故X的数学期望;(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,a,b的值可能为:,或,或.经计算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值为.(Ⅲ)至少增加2人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差,属于中等题.18、(1);(2)【解析】
(1)将两直线化为普通方程,消去参数,即可求出曲线的普通方程;(2)设Q点的直角坐标系坐标为,求出,代入曲线C可求解.【详解】(1)直线的普通方程为,直线的普通方程为联立直线,方程消去参数k,得曲线C的普通方程为整理得.(2)设Q点的直角坐标系坐标为,由可得代入曲线C的方程可得,解得(舍),所以点的极径为.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,极径的求法,属于中档题.19、(1)(2)【解析】分析:(1)先求导,再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到,再求得,再构造函数再利用导数求其最小值.详解:(1)由函数有意义,则由且不存在单调递减区间,则在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有两个极值点故为方程的两根,,,则由由,则上单调递减,即由知综上所述,的最小值为.点睛:(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个,其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)要证明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需满足即可,从而得到点E为中点;(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空间向量的数量积,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【详解】(1)法一:要证明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在点E为PC中点.法二:建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,由题意知PD=CD=1,,设,,,由,得,即存在点E为PC中点.(2)由(1)知,,,,,,设面ADE的法向量为,面PAE的法向量为由的法向量为得,得,同理求得所以,故所求二面角P-AE-D的余弦值为.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法,考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.21、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求得的导函数,对分成两种情况,讨论的单调性.(2)由(1)判断出
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