高中数学《立体几何》大题和答案及解析

中学数学《立体几何》大题及答案解析（理）

1.（2009全国卷I）如图，四棱锥S—中，底面A3CD为矩形，SDJ_底面ABC。，AD=4i,DC=SD=2,

点M在侧棱SC上，ZABM=60。

（D证明：M是侧棱SC的中点；

（II）求二面角S—AM—8的大小。

2.（2009全国卷H）如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中,AB_LAC,D、E分别为AAi、BQ的中点,DE_L平面BCCi（I）

证明：AB=AC（II）设二面角A-BD-C为60。,求BiC及平面BCD所成的角的大小

3.（2009浙江卷）如图，OCJ_平面AWC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,NAC8=120,P,。分别为

的中点.（I）证明：P。//平面ACO；（II）求A0及平面ABE所成角的正弦值.

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PD±底面A5CD，点E在棱PB上.（I）求证：平面

AEC1WPDB；（II）当=且E为PB的中点时，求AE及平面

PDB所成的角的大小.

5.(2009江西卷)如图，在四棱锥尸一4?8中，底面ABC。是矩形，PAJ_平面ABC。，PA=AD=4,AB=2.以

5。的中点。为球心、BO为直径的球面交PO于点M.

(1)求证：平面平面PCQ：P/V

(2)求直线PC及平面ABM所成的角；/\\

(3)求点O到平面A3A/的距离./\\M

6.(2009四川卷)如图，正方形ABC。所在平面及平面四边形43上万B所在平面

相互垂直，△ABE是等腰直角三角形，

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°(I)求证：平面3CE；

(II)设线段CO、AE的中点分别为P、M,求证：〃平面BCE

(III)求二面角/一的大小。

7.(2009湖北卷文)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SDJ_平面ABCD,SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=Aa(0<2

S1).

(I)求证：对随意的4e(0、1),都有AC_LBE:S

(II)若二面角C-AE-D的大小为60°C,求九的值。/：\\

8.(2009湖南卷)如图3,在正三棱柱ABC-4与6中,AB=4,例=4,点D

是BC的中点，点E在AC上，且DE_L^E.(I)证明：平面A1£)E_L平面

ACC.A；(II)求直线A。和平面4。七所成角的正弦值。

B

H3

9.(2009四川卷)如图，正方形A3CD所在平面及平面四边形ABER所在平面相互垂直，△ABE是等腰直角三角形,

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45"

(I)求证：EF，平面BCE；

(II)设线段8、AE的中点分别为P、M,

求证：PM//平面BCE

(III)求二面角尸一8Q—A的大小。

10.(2009重庆卷文)如题(18)图，在五面体A5C£史尸中，AB//DC,,CD=AD=2,四边形A5EE为平行四

边形，E4_L平面ABCD,FC=3,ED=y/l.求:

(I)直线AB到平面EFCD的距离；

(II)二面角尸一AD—E的平面角的正切值.

题(18)图

11.如图，四棱锥P-ABC。中，底面A8CD为平行四边形，ZDAB=60°,AB=2AD,PO_L底面A8CO.

(1)证明：PA1BD；

(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

12(本小题满分12分)如图，己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB|CD,AC±BD,垂足为H,

PH是四棱锥的高，E为AD中点

(1)证明：PE1BC

(2)若NAPB=/ADB=60°,求直线PA及平面PEH所成角的正弦值

参考答案

I、【解析】（I）解法一：作MN〃S。交CO于N,作交A8于E,

连ME、NB,则AfiVJ_fIiA8Cr）,MEA.AB,NE=AD=6

设MN=x,则NC=EB=x,

在RTAMEB中,NMBE=60°；.ME=6X.

在RT^MNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2

解得x=l,从而.•.M为侧棱SC的中点M.

解法二:过M作C。的平行线.

(ID分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线

定理的方法求作二面角。

过M作M/〃8交SD于，，作阳，A/交A/于”，作HKA.AM交AM于K,则JM〃CD,./M，面

SAD，面SAD1面J•面AMB2SKH即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABA1中过点8作BELA"交40于点F,则点口为AM的中点，

取SA的中点G,连GF,易证GF_LAM,则NGE6即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz,则

A(V2,0,0),B(V2,2,0),C(0,0,2),5(0,0,2)。

(I)设M(0,a,b)(a>0,6>0),则

BA=(0,-2,0),BM=(-42,a-2,b)JSM=(0,a,6-2),

SC=((),2,—2),由题得

,即

•2("2)]

•2•yl(a-2)2+b2+22解之个方程组得a=l,b=1即

—2。=2(b—2)

所以M是侧棱SC的中点。

2A2—>[-

法2：设SM=；IMC,则M(0,T7I,T7I),MB=(7i,i+I,i+I)

又AB=（0,2,0）,<MB,AB>=60°

故丽•丽=|丽||布|cos60'，即

42+（小心儿

解得4=1,

1+几

所以M是侧棱SC的中点。

（1【）由（1）得疝=（行,一1,-1）,又说=（一痣,0,2）,AB=（0,2,0）,

设％=（巧，/,号）,〃2=（*2，丁2/2）分别是平面54历、的法向量，贝IJ

且，即且

分别令X]=*2=后得翁=1，『1=1，,2=°，=2，即

1=（衣1,1）,心（国,2）,

.-------2+0+2V6

..COS<>=-----1=—=——

二面角S-AA7-8的大小。

2、解法一：(I)取BC中点F,连接EF,则EF'/,AB,从而EF〃DA。

连接AF,则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE_L平面BCC-故AFJ_平面8CC；,从而AF_LBC,即AF为BC

的垂直平分线，所以AB=AC。

(II)作AG_LBD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG1BD,故/AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，ZAGC=60°'.

2

设AC=2,则AG=o又AB=2,BC=20,故AF=&。

耳

由=得2AD=,解得AD=JI。

故AD=AF。又ADJ_AF,所以四边形ADEF为正方形。

因为BC_LAF,BC1AD,AFCAD=A,故BC_L平面DEF,因此平面BCD_L平面DEF。

连接AE、DF,设AEDDF=H,则EH_LDF,EH_L平面BCD。

连接CH,则NECH为fi,C及平面BCD所成的角。

因ADEF为正方形，AD=V2,故EH=1,又EC==2,

所以NECH=30°,即4c及平面BCD所成的角为30°.

的直角坐标系

(r

DE±BC

(11)设平面BCD的法向量AN=(x,y,z),则AN-BC=0,AN-BD=0.

又BC=(-1,1,0),

BD=(-1,0,c)，故

1->1

令x=l,则y=l,z=-,AN=(l,l,-).

又平面43。的法向量AC=（0,1,0）

由二面角A—8。一。为60°知，（赤，衣］60°,

故A^V-AC-|A^-|AC|-COS60O,求得

于是丽=（1,1,扬,西=（1,一1,后）

回，西）=60°

所以30及平面BCD所成的角为30°

3,（I）证明：连接。P,C。，在A4BE中，P,Q分别是AE,AB的中点，所以，又，所以PQgDC,又PQ<z

平面ACD,DCu平面ACD,所以PQ〃平面ACD

（H）在A4BC中，AC=BC=2,AQ=BQ,所以CQ上AB

而DC_L平面ABC,EB//DC,所以EBJ•平面ABC

而E3u平面ABE,所以平面ABE_L平面ABC,所以CQL平面ABE

由（I）知四边形DCQP是平行四边形，所以。尸〃C。

所以DP，平面ABE,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,

所以直线AD及平面ABE所成角是NDAP

在RsMP。中，，八）北+/=正+仔=后,DP=CQ=2smZCAQ=\

所以sinND4P=丝=3=且

AD455

4、【解法1］（I）•..四边形ABCD是正方形，...ACLBD,

PD1•底面ABC。，

APD1AC,；.AC_L平面PDB,

平面AECL平面PDB.

（II）设ACCIBD=O,连接OE,

由（I）知AC_L平面PDB于O,

ZAEO为AE及平面PDB所的角，

：.O,E分别为DB、PB的中点，

二OE//PD,,又：P£>_L底面ABC。，

，OEJ_底面ABCD,OE1AO,

在RtZ\AOE中，OE=LpD=^AB=AO,

22

ZAOE=45°,即AE及平面PDB所成的角的大小为45°.

【解法2］如图，以D为原点建立空间直角坐标系。-孙z,

设AB=a,P£>=〃,

则A(a,(),0),3(a,a,0),C((),a,()),。(0,(),0),尸((),(),/?),

(I)VAC=(—a,a,0),DP=(0,0,=,

:ACDP^0,ACDB=0,

AACIDP,AC1DB,ACJ•平面PDB,

平面AEC,平面POB.

(II)当=且E为PB的中点时，P(0,0,V2«),E^a,|«,y-a

设ACnBD=O,连接OE,

由(I)知AC_L平面PDB于O,

ZAEO为AE及平面PDB所的角，

..CA_(11V21_(V2

・EA=-a,—a,----ci,EO—0,0,--------a,

2222

\7\7

.-EAEO_V2

••cosNA£O-,；~：T7一,

网.即2

ZAOE=45°,即AE及平面PDB所成的角的大小为45°.

多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=2J5

5、解：方法（一）：

（1）证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM_LPD.

因为PA_L平面ABCD,则PAJLAB,又AB_LAD,

所以ABJ_平面PAD,则ABJ.PD,因此有PDJ_平面ABM,所以平面ABM_L平面PCD.

（2）设平面ABM及PC交于点N,因为AB〃CD,所以AB

PCD,则AB〃MN〃CD,

由（1）知，PD_L平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射

所以NPM0就是PC及平面A8W所成的角，

且NPNM=NPCD

tanNPNM=tanZPCD=—=20

DC

所求角为arctan2J5

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，PD_L平面

ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在Rt^PAD中，PA=AD=4,PD1AM,所以M为P。中点，DM=2近,则。点到平面ABM的距离等

于正。

方法二:

(1)同方法一；

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,4),8(2,0,0),C(2,4,0),£>(0,4,0),M(0,2,2),

设平面A3M的一个法向量〃=(x,y,z),由〃，AM可得：，令z=—1,则y=l,即〃=(0,1,-1).设所求角

为a,则，

所求角的大小为.

(3)设所求距离为6由0(1,2,0),40=(1,2,0),得：

6、【解析】解法一：

因为平面ABEF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,BC1AB,平面ABEFC平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC_LEF.

因为ZABE为等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因为ZAEF=45,

所以NFEB=90°,即EFJ_BE.

因为BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCnBE=B

所以平面3CE

...............................6分

(11)取BE的中点N,连结CN,MN,则MN幺-AB^PC

2

PMNC为平行四边形，所以PM//CN.

*/CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内，

/.PM〃平面BCE................................8分

(III)由EA±AB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EA_L平面ABCD.

作FG±AB,交BA的延长线于G,则FG〃EA.从而FG_L平面ABCD,

作GH±BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD1FH.

ZFHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,

ZAEF=90°,ZFAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=^，贝iJFG=AF-sinFAG=-

22

13

在Rt/BGH中，ZGBH=45°,BG=AB+AG=1+—=—,

22

o/o逑

GH=BG-sinGBH=--—

22~T~

在Rt/FGH中，，

二面角尸一8D-A的大小为

...............................12分

解法二：因A48E等腰直角三角形，AB=AE,所以

又因为平面ABEfc平面48co=A8,所以AE_L平面43cD,

所以AELAD

即A。、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系，

(I)设AB=1,则AE=1,B(0,l,0),0(1,0,0),E(0,0,l),C(l,l,0)

,/FA=FE,ZAEF=45°,/.ZAFE=90°,

从而

,BE=(0-1,1),(1,0,0)

------11--,—―

于是E尸8^=0+±一±=0,EFBC=U

22

：.EF±BE,EF±BC

「BEU平面5CE,8Cu平面BCE,BCcBE=B

：.EF±平面3CE

(II),从而

-----1111]i

于是尸=(一1,一一,-)-(0,一一,一一)=0+-----=0

222244

APMA.EF,又平面BCE,直线不在平面BCE内,

故PM〃平面BCE

(III)设平面的一个法向量为4,并设/=(x,y,z)

—--"31

fi£>=(l,-l,0),BF=(0-p-)

即

取y=l,则x=l,z=3,从而〃]=(1,1,3)

取平面A8OD的一个法向量为%=(0,0,1)

“「4_33vH

COS<〃]、〃2

口同加11

故二面角尸―BO—A的大小为

7、(I)证发1：连接BD,由底面是正方形可得ACJ.BD。

：SD_L平面ABCD,;.BD是BE在平面ABCD上的射影,

由三垂线定理得AC1BE.

(II)解法1：:SD，平面ABCD,CDu平面ABCD,SD1CD.

又底面ABCD是正方形，，CD1AD,又SDp|AD=D,，CD_L平面SAD。

过点D在平面SAD内做DF_LAE于F,连接CF,则CF1AE,

故NCFD是二面角C-AE-D的平面角，即NCFD=60°

在RtAADE中，：AD=a,DE=Aa,AE=aV/l2+1«

于是，DF=

在RtZkCDF中，由cot600

得，即，3才+3=32

/le(O,l],解得力=苗

8、解：(I)如图所示，由正三棱柱ABC—AqG的性质知AA_L平面A5C.

又。Eu平面ABC,所以OEJ_4A.而DEJ.A|E,AA,\E=\,

所以。平面ACGA•又OEu平面AQE,

故平面AOEJ■平面ACGA.

(II)解法1:过点A作AF垂直AE于点尸，

连接。尸.由(1)知，平面4£>E_L平面AC£4,

所以AF_L平面A^DE，故NAD/7是直线AD和

平面ADE所成的角。因为。E_LACGA，

所以。E_LAC.而AABC是边长为4的正三角形，

于是AD=26AE=4-CE=4-=3.

又因为AA=a，所以AE=\E=7M2+A£2=V（^7）2+32=4,

sin/A〃=辿=叵

AD8

即直线4。和平面4OE所成角的正弦值为巨

8

解法2:如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),A|(2,0,、/7),D(-l,G,0),E(-1,0,0).

易知4力=(-3,石，-币),DE=(0>-A/3,0),AD=(-3,石,0).

设3=(x,y,z)是平面ROE的一个法向量，则

（TUUWL

n-DE=73y=0,

<rULUWj-「

n,A^D=—3x+J3y—J7z=0.

解得.

故可取Ji=（77,0,—3）.于是

由此即知，直线A。和平面ADE所成角的正弦值为粤

所以ME及BN不共面，它们是异面直线。……..12分

9、【解析】解法一：

因为平面ABEF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,BC1AB,平面ABEFCI平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC1EF.

因为ZABE为等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因为NAEF=45,

所以NFEB=90°,即EF_LBE.

因为BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCnBE=B

所以政，平面8CE...........6分

(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNX-A5幺PC

2

PMNC为平行四边形,所以PM//CN.

CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

PM〃平面BCE................................8分

(III)由EA_LAB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EA_L平面ABCD.

作FG1AB,交BA的延长线于G,则FG〃EA.从而FG_L平面ABCD,

作GH1BD于H,连结F1I,则由三垂线定理知BD1FIL

ZFHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,ZAEF=90°,ZFAG=45".

设AB=1,则AE=1,AF=^-,则FG=AF-sinFAG=—

22

*4。13

在Rt/BGH中，ZGBH=45",BG=AB+AG=l+—=—

22

runr•PnU3收3收

GH=BG-sinGBH=—•——----,

224

在Rt/FGH中，，

二面角尸一8D-A的大小为.......12分

解法二：因A4BE等腰直角三角形，AB=AE,所以

又因为平面ABEfc平面48c£>=A8,所以AE_L平面A3CD,所以

即A。、AB.AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系，

(I)设45=1,则AE=1,B(0,l,0),D(l,0,0),E(0,0,l),C(l,l,0)

FA=FE,ZAEF=

从而

,BE=(0-1,1),BC=(1,0,0)

--*.11--------

于是EF-8E=0+-----=0,EFBC=0

22

:.EF±BE,EF1BC

•••3Eu平面BCE,BCu平面BCE,BCcBE=B

：.EF±平面3CE

(II),从而

——■—■111111

于是PM-EF=(-1,--)-(0,--)=0+---=0

222244

:.PM工EF,又EF,平面BCE,直线PM不在平面BCE内,

故PM〃平面BCE

(III)设平面8。尸的一个法向量为并设［=(x,y,z)

—BD="(l,-l,0),-fi-F=(0-311)

即

取y=l,则x=l,z=3,从而々=(1,1,3)

取平面A8DD的一个法向量为%=(0,0,1)

3VH

n}-n2_3

COS<几］、〃2>=

丽511

故二面角尸一3。一A的大小为

10、解法一：(I)•ABOC,OCu平面EfCD,;.AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCO的距离，过点A

作AGLED于G,因AB〃OC,故CD,AO；又-E4J_平面ABC。，由三垂线定理可知，CDLFD,故

CD1ffiFAD,知C£>J_AG,所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离。

在MZXA3C中，FDAFC—CD?=希二=#)

由E4J_平面ABCD,得E4LAD,从而在RrAFAD中，FA=yjFD2-AD2=75^4=1

AG=FAAD=义=汉1。即直线AB到平面EECD的距离为拽.

FDJ555

(II)由己知，E4J_平面A8CQ,得E4LAD,又由，知ADLA3,故49,平面ABFE

DALAE,所以，NE4E为二面角产一AD—E的平面角，记为夕

在吊△AED中，AE=NED2_AD?=77^=6,由LABC。得,FEBA,从而

在Hr^A所中，FE=dAE2-AF°=4^1=无，故

所以二面角/一A£>—E的平面角的正切值为3.

解法二：

(I)如图以A点为坐标原点,AB,ARAP的方向为

直角坐标系数，则

A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设厂(0,0,z。)(z0>0)可得收=(2,2,—z。),由IFC1=3.即12?+2之+z：=3,解

得尸(0,0,1)AB//DC,

。。u面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在平面EFCD上的射影

点为G(%,y”zJ,则4G=(%,y,Z1)因AG-£)