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一.选择题（共21小题）

1.（2012•天津）下列函数中,既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）

A.y=cos2x,xGRB.y=log2lxl,x€R且xrO

C.X-_XD.y=x+l,xGR

ee(-„

y=---------,xtR

x2+l,

2.（2012•江西）若函数f（x）,贝Ijf(f(10))=()

Igx,X>1

A.IglOlB.2C.1D.0

3.(2012•浙江)设a>0,b>0()

A.若2。+2a=2。+31),贝ija>bB.若2，+2a=20+31),贝Ua〈b

C.若2'-2a=26-3b,贝ija>bD.2a-2a=2b-3b,则a<b

1

4.（2012•山东）函数f（x）二他-x2的定义域为（）

In(x+1)

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]

5.(2011•重庆)下列区间中，函数f（x）=llg（2-x）I,在其上为增函数的是（)

A.(-8,1]B,[-1.争C-[0,-|)D.(1,2)

o

2

6.(2012•西山区)设全集U=R,集合M={y€Rly=2x,x>0},N={xGRI2x-x>0},则MAN为()

A.(1,2)B.(1,4-oo)C.12,+8)D.(-8,0]U(1,+oo)

8.(2011•重庆)设b=log1—,c=log3—,则a,b,c的大小关系是()

-12433

32

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

log2x,x>0

9.(2010•天津)若函数f(x)=kg](-x),x<0，若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()

.2

A.(-1,0)U(0,1)B.(-8,-1)U(1,+oo)C.(-1,0)U(1,+oo)D.(-8,-1)u(0,1)

0,3

10.（2009•天津）设a=log[2,b=logl3,c=（1）,贝ij（）

32

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

11.（2012•江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和

走菜的产量、成本和售价如下表

飞产量/亩祚种植成本/亩每吨曾价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别

为（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

12.（2011•湖南）已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-X2+4X-3,若有f（a）=g（b）,则b的取值范围为（）

A.12-^2,2+721B.（2-V2-2+V2）C.[1,3]D.（1,3）

13.（2011•湖北）设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是（）

A.V|比V2大约多一半B.V]比V2大约多两倍半

C.V|比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半

14.（2010•北京）如图，正方体ABCD-AiBiJDi的棱长为2,动点E、F在棱A[B]上，动点P,Q分别在棱AD,

CD匕若EF=1,A|E=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积（）

A.与x,y,z都有关B.与x有关，与y,z无关

C.与y有关，与x,z无关D.与z有关，与x,y无关

15.（2009•陕西）若正方体的棱长为加，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

A.返B.返C.V3D.2

T~3~3~3

16.（2011•辽宁）己知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点.AB=2,ZASC=ZBSC=45°,则棱锥S-ABC

的体积为（）

A.V3B.273C.4^3D.5^3

~3~3~~3~

17.（2011•番禺区）正方体A，B'CDz-ABCD的棱长为a,EF在AB上滑动，且IEFI=b（b<a）,Q点在D'C

上滑动，则四面体A'-EFQ的体积为（）

A.与E、F位置有关B.与Q位置有关

C.与E、F、Q位置都有关D.与E、F、Q位置均无关，是定值

18.重复题目如图，正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上.并且期口=人（0<X<+-）,设a为

EBFD

异面直线EF与AC所成的角，p为异面直线EF与BD所成的角，则a+p的值是（）

A

C._KD.与人的值有关

~2

19.（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C”CA=CC]=2CB,则直线BCi与直线ABi

c.2V5D.3

"V5

20.（2011•浙江）下列命题中错误的是（）

A.如果平面a，平面0,那么平面a内一定存在直线平行于平面。

B.如果平面a不垂直于平面”那么平面a内一定不存在直线垂直于平面B

C.如果平面a_L平面v，平面B_L平面v，anp=l,那么1_L平面丫

D.如果平面a,平面0,那么平面a内所有直线都垂直于平面。

21.（2008•陕西）如图,a±p,anp=LAGa,BGp,A、B至ij1的距离分别是a和b.AB与a、B所成的角分别是

。和巾，AB在a、0内的射影分别是m和n.若a>b,则（）

B.9>(t>,m<nC.9<4),m<nD.9<4),m>n

二.解答题（共9小题）_

22.（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A'B'C,ZBAC=90°,AB=AC=&,AA'=1,点M,N分别为A'B

和B'C的中点.

（I）证明：MN〃平面A'ACC'；

（II）求三棱锥A'-MNC的体积.

（椎体体积公式V」Sh,其中S为地面面积，h为高）

3

23.(2005•天津)如图，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中,ZAiAB=ZAiAC,AB=AC,AiA=A1B=a,侧面B1BCC1

与底面ABC所成的二面角为120。，E、F分别是桂BiCi、A|A的中点

(I)求AiA与底面ABC所成的角：

(II)证明AiE〃平面B|FC；

24.(2012・广东)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB_L平面PAD,AB〃CD,PD=AD,E是PB的中点，F是

CD上的点且DF,AB，PH为APAD中AD边上的高.

(1)证明：PHJ_平面ABCD；

(2)若PH=1,AD/巧，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积；

(3)证明：EFJ_平面PAB.

25.(2012•江苏)如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD,E是AB的中点，求证:

(1)ABL平面CDE；

(2)平面CDE_L平面ABC；

(3)若G为AADC的重心，试在线段AE上确定一点E使得GF〃平面CDE.

E

26.（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC-AIBICI中，A]B|=A|Ci，D,E分别是棱BC,CJ上的点（点D不同

于点C）,KAD1DE,F为BiCi的中点.

求证：（1）平面ADE_L平面BCC|B|；

（2）直线AiF〃平面ADE.

27.（2012・广东）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAL平面ABCD,点E在线段PC±,

PC_L平面BDE.

（1）证明：BD_L平面PAC；

（2）若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.

28.（2012•北京）如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点,

将4ADE沿DE折起到AAiDE的位置，使AiF_LCD,如图2.

（1）求证：DE〃平面A|CB；

（2）求证：AiFIBE；

（3）线段A|B上是否存在点Q,使AC，平面DEQ?说明理由.

29.(2012•安徽)平面图形ABB2A2c3c如图4所示，其中BBiQC是矩形，BC=2,BB|=4,AB=AC=/^,

AiBi=AiCi=V5.现将该平面图形分别沿BC和B1C,折叠，使aABC与△A[B]J所在平面都与平面BB|CQ垂直,

再分别连接A2A,A2B,A2C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.

(I)证明：AA1±BC；

(n)求AA)的长；

(III)求二面角A-BC-A]的余弦值.

30.(2011•天津)如图，在三棱柱ABC-A]BC中，H是正方形AA,B]B的中心，卜卜广2近，GH,平面AARB,

且力心遥・

(I)求异面直线AC与A]Bi所成角的余弦值；

(II)求二面角A-AiCi-Bi的正弦值；

(HI)设N为棱BCi的中点，点M在平面AA]BiB内，且MN_L平面AiBiQ,求线段BM的长.

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参考答案

—.选择题(共21小题)

1.(2012•天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()

A.y=cos2x,xGRB.y=log2lxl,x6R且x#0

a

C.x一xD.y=x+1,xGR

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明.

专题：计算题.

分析：利用函数奇偶性的定义可排除C,D,再由“在区间(1,2)内是增函数"可排除A,从而可得答案.

解答：解：对于A,令y=f(x)=cosx,KlJf(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),为偶函数，

而f(x)=cosx在[0,n]上单调递减，(1,2)c[0,n],

故f(x)=cosx在区间(1,2)内是减函数，故排除A：

对于B,令y=f(x)=log2lxl,xGR且XHO,同理可证f(x)为偶函数，当x€(1,2)时，y=f(x)=log2lxl=log2X.

为增函数，故B满足题意；

x-_x

对于C,令y=f(x)=?~5—，xER，f(-x)=-f(x),为奇函数，故可排除C;

而D,为非奇非偶函数，可排除D；

故选B.

点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查"排除法”在解题中

的作用，属于基础题.

2.（2012•江西）若函数f（x）=.x'l，X<1,则f行（io））=（）

Igx,X〉1

A.IglOlB.2C.ID.0

考点：函数的值.

专题：计算题.

分析：通过分段函数，直接求出f(10),然后求出f(f(10)的值.

解答

廿+1,X41

解：因为函数f(x)

Igx,X>1

所以f(10)=lgio=l；

f(f(10)=f(1)=2.

故选B.

点评：本题考查分段函数的值的求法，考查计算能力.

3.（2012•浙江）设a>0,b>0（）

A.若2a+2a=2b+3b,贝ija>bB.若？a+2a=2。+31）,贝ija<b

C.若2a-2a=2忆31）,贝ija>bD.2a-2a=2b-3b,则a<b

考点：指数函数综合题.

专题：计算题.

分析：对于2,2a=2b+3b,若asb成立，经分析可排除B；对于2,-2a=2b-3b,若a2b成立，经分析可排除C,D,

从而可得答案.

解答：解：时，2a+2a<2b+2b<2b+3b,

...若2a+2a=2b+3b,则a>b,故A正确，B错误；

对于2'-2a=2。-3b,若*b成立，则必有2%2，故必有2a23b,即有aWb,而不是a>b排除C,也不是

2

a<b,排除D.

故选A.

点评：本题考查指数函数综合题，对于2a+2a=2b+3b与2a-2a=2b-3b,根据选项中的条件逆向分析而排除不适合

的选项是关键，也是难点，属于难题

4.(2012•山东)函数f(x)=—.1.-H/4-X2的定义域为()

In(x+1)v

A.[-2,0)U(0,2]B.(-I,0)U(0,2]C.{-2,2]D.(-1,2]

考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法.

专题：计算题.

分析：分式的分母不为0,对数的真数大于0,被开方数非负，解出函数的定义域.

解答：解：要使函数有意义，

4-x2>0

必须：<x+l〉0，所以xG(-110)U(0,2].

.x+1卉1

所以函数的定义域为：(-1,0)U(0,2].

故选B.

点评：本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力.

5.(2011•重庆)下列区间中，函数f(x)=llg(2-x)I,在其上为增函数的是()

A.B.I_],争C.0金D.(1,2)

考点：对数函数的单调性与特殊点.

分析：根据零点分段法，我们易将函数f(x)=llg(2-x)I的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数"同增

异减"的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论.

解答：解：Vf(x)=llg(2-x)I,

,、fig(2-x),x4l

根据复合函数的单调性我们易得

在区间(-8,1]上单调递减

在区间(1,2)上单调递增

故选D

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据"同增异减"的原则确定每一段函数的单调性是解

答本题的关键.

6.(2012•西山区)设全集U=R,集合M={y€Rly=2x,x>0},N={xGRI2x-x2>0},则MCN为()

A.(1,2)B.(1,+8)C.[2,+8)D.(-8,o]U(1,+oo)

考点：交集及其运算.

分析：求函数y=2*的值域y的范围即可求出集合M,解不等式2x-x?〉。即能求出集合N,而后求MAN.

解答：解：•.•函数y=2x,(x>0)的值域为y>l,

.•.集合M={y€Rly=2x,x>O}={yly>1},

即：所有大于1的实数构成集合M,也可写成乂=仄k>1},

X***N={xGRI2x-x2>0}={xeRlx(x-2)<0}={xl0<x<2},

...MCN={xll<x<2},用区间表示为(1,2).

故选A.

点评：解决本题的关键在于要明确集合中元素指的是谁，明确了这一点，本题变得就简单了.

8.(2011•重庆)设a=logj,b=log,—，c=log3—,则a,b,c的大小关系是()

42433

32

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

考点：对数值大小的比较.

专题：计算题.

分析：可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小,

用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可.

解答：解：由对数的运算法则，a=log32>c;排除A和C.

log4o

因为b=log23-1,c=logj4-1=-----9--1=-------1,

10§23log23

因为(log23)2>2,所以b>c,排除D

故选B.

点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力.

log2x,x>0

9.(2010•天津)若函数f(x)=]og[(_x),X<Q,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()

.2

A.(-1,0)U(0,1)B.(-8,-1)U(1,+oo)C.(-1,0)U(1,+8)D.(-8,-Du(0,1)

考对数值大小的比较.

点：

专分类讨论.

题：

分由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论.

析:

解解：由题意

答:'a>0'a<0

-

f(a)>f(-a)="log2a>logja或“logl(a)>log2(-a)

-22

'a>0'a<0

=,或1=a>l或

a>2一

(a

故选C.

点本题主:要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题.

评：分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0,

也要注意底数在（0,1）上时，不等号的方向不要写错.

0,3

10.（2009•天津）设a=log[2,b=log&c=（1）（则（）

32

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

考点：对数值大小的比较：分数指数幕.

专题：转化思想.

分析：依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项.

解答：10.3

解：c=.）>0.a=log[2<0,b=log[3<0

Z——

32

并且log[2>log[3,,log[3>log[3

3332

所以c>a>b

故选D.

点评：本题考查对数值大小的比较，分数指数暴的运算，是基础题.

11.（2012•江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和

韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量庙年种植成本/亩每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植血积（单位：亩一）分别

为（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

考点：函数最值的应用.

专题：计算题.

分析：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束

条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可.

解答：解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩，种植总利润为z万元

x+yC50

由题意可知，1.2x+0.9y<54

x>0,y>0

•年的种植总利润为z=0.55x4x+0.3x6y-1.2x-0.9x=x+0.9y

作出约束条件如下图阴影部分

平移直线x+0.9y=0,当过点A(30,20)时，一年的种植总利润为z取最大值

故选B

点评：本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于基础题.

12.(2011•湖南)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-X2+4X-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为()

A.[2-V2>2+V21B.(2-V2)2+V2)C.[1,3]D.(1,3)

考点：函数的零点与方程根的关系.

专题：计算题.

分析：利用f(a)=g(b),整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可.

解答：解：(a)=g(b),

.*.ea-1=-b2+4b-3

二-b2+4b-2=ea>0

即b2-4b+2<0,求得2-V2<b<2+V2

故选B

点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系.

13.(2011•湖北)设球的体积为V”它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是()

A.V]比V2大约多一半B.Vi比V2大约多两倍半

C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半

考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积.

专题：计算题.

分析：设出球的半径，求出球的体积，内接正方体的体积，然后比较即可得到正确选项.

解答：解：设球的半径为r,所以球的体积为：”「3；球的内接正方体的对角线就是球的直径，所以正方体的棱

3

长为:正方体的体枳为:

4兀3

3一遥兀

2734兀

---■----P3-T~

3兀3

故选D

点评：本题是基础题，考查球的体积，球的内接正方体的体积，考查计算能力，常考题型.

14.（2010•北京）如图，正方体ABCD-AiBiJDi的棱长为2,动点E、F在棱AiBi上，动点P,Q分别在棱AD,

CD上，若EF=1,A|E=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积（）

A.与x,y,z都有关B.与x有关，与y,z无关

C.与y有关，与x,z无关D.与z有关，与x,y无关

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题：动点型；运动思想.

分析：四面体PEFQ的体积，找出三角形aEFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项.

解答：解：从图中可以分析出，4EFQ的面积永远不变，为面AiBiCD面积的工，

4

而当P点变化时，它到面AiBiCD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化.

故选D.

点评：本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题.

15.（2009•陕西）若正方体的棱长为加，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

A.V2B.V2C.如D.2

TTT3

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题：计算题.

分析“由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为b高为返的四棱锥，求出棱锥的体积，

2

即可求出八面体的体积.

解答：解：所求八面体体积是两个底面边长为1,高为退的四棱锥的体积和，

2

一个四棱锥体积V1=1x1返,

326

故八面体体积v=w、巫.

3

故选B.

点评：本题是基础题，开心棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的

体积，考查计算能力.

16.（2011・辽宁）己知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点.AB=2,ZASC=ZBSC=45°,则棱锥S-ABC

的体积为（）

A.V3B.2V3c.45/3D.2/3

~3~3~~3~

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体.

专题：计算题._

分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=2&,ZSAC=ZSBC=90°,说明球心。与AB的平面与SC垂直，求出OAB

的面积，即可求出棱锥s-ABC的体积._

解答：解：如图：由题意求出SA=AC=SB=BC=2加,

ZSAC=ZSBC=90°,所以平面ABO与SC垂直，贝的△烟二百

进而可得：Vs-ABC=Vc-AOB+Vs-AOB»

所以棱锥S-ABC的体积为：工X纤丸叵.

33

点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心。与AB的平面与SC

垂直是本题的解题关键，常考题型.

17.（2011•番禺区）正方体A'B'CD'-ABCD的棱长为a,EF在AB上滑动，且IEFI=b（b<a）,Q点在D'C

上滑动，则四面体A'-EFQ的体积为（）

A.与E、F位置有关B.与Q位置有关

C.与E、F、Q位置都有关D.与E、F、Q位置均无关，是定值

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征.

专题：计算题.

分析：由于IEFI=b,正方体A'B'CD'-ABCD的棱长为a,可得SAAEF，为定值，点Q到面A'EF的距离为

定值a,故得答案.

解答：解：,.」EFI=b,正方体A'B'CD'-ABCD的棱长为a,

,,S/\AEf=iib,

2

又点Q到面A'EF的距离为定值a,

-EFQ=VQ-A，EF.•&b・a=ifb（定值）.

326

故选D.

点评：本题考查棱锥的体积，关键在于理解与应用轮换顶点的体积公式，属于中档题.

18.重复题目如图，正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上.并且期0=人(0<X<+°°),设a为

EBFD

异面直线EF与AC所成的角，P为异面直线EF与BD所成的角，则a+p的值是()

C.JID.与人的值有关

~2

考点：异面直线及其所成的角.

专题：计算题.

分析：先证明正三棱锥的对棱AC与BD垂直，此结论山线面垂直得来，再由异面直线所成的角的定义，在同一平

面内找到a与d最后在三角形中发现a+B卷，从而做出正确选择.

解答：解：如图，取线段BC上一点H,使型=入，取BD中点O,连接AO,CO

HB

•••正三棱锥A-BCD中每个侧面均为等腰三角形，底面4BCD为正三角形，，BDJ_AO,BD1CO,

VAOnCO=O,AOC,：ACu平面AOC；.BD_LAC

(X>0),壁=入，；.EH〃AC,♦.•竺='(X>o),型=入，；.HF〃BD

EBHBFDHB

.♦./HEF就是异面直线EF与AC所成的角，/HFE就是异面直线EF与BD所成的角，，NEHF就是异面

直线BD与AC所成的角，

，a=NHEF,p=ZHFE,ZEHF=90°

.*.a+P=2L,

2

故选C

点评：本题考察了异面直线所成的角的作法和算法，正三棱锥的性质，解题时要认真体会将空间问题转化为平面

问题的过程

19.(2012•陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-AiBiG，CA=CJ=2CB,则直线BC］与直线ABi

夹角的余弦值为()

A.VsB.VsC.2V5D.3

~5~3-V5

考点：异面直线及其所成的角.

专题：计算题.

分析：根据题意可设CB=1,CA=CCi=2,分别以CA、CCi、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、

Bi、©四个点的坐标，从而得到向量跖与其的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向

量数量积的坐标公式，可以算出直线BCi与直线AB|夹角的余弦值.

解答：解：分别以CA、CC|、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，

VCA=CC|=2CB,二可设CB=1,CA=CCi=2

AA(2,0,0),B(0,0,1),Bi(0,2,1),Ci(0,2,0)

BC]=(°，2,-1)»研]二(-2,2,1)

可得AB；=°x(-2)+2x2+(-1)xi=-3,且麻1|AB1卜3,

向量两■与其所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线ABI夹角，

BC,•AB1瓜

设直线BQ与直线AB|夹角为6,则cosB=I---

IBCJ-IABJ15

故选A

点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐

标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题.

20.(2011•浙江)下列命题中错误的是()

A.如果平面a，平面0,那么平面a内一定存在直线平行于平面。

B.如果平面a不垂直于平面3那么平面a内定不存在直线垂直于平面B

C.如果平面a_L平面v，平面BJ-平面V，aCgl,那么1_L平面v

D.如果平面a,平面0,那么平面a内所有直线都垂直于平面0

考点：平面与平面垂直的性质.

专题：常规题型.

分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B

反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个血内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理

即可获得解答；D结合实物举反例即可.

解答：解：由题意可知：

A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；

B、假若平面a内存在直线垂直于平面仇根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立；

C、结合面面垂直的性质可以分别在a、B内作异于1的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所

作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与1平行，又•••两条平行线中的一条

垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；

D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题错误.

故选D.

点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行

的定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思.

21.(2008・陕西)如图，a±p,anp=LAGa,Bep,A、B至U1的距离分别是a和b.AB与a、B所成的角分别是

。和巾，AB在a、0内的射影分别是m和n.若a>b,贝ij()

A.0>4),m>nB.0>4),m<nC.0<4),m<nD.m>n

考点:平面与平面垂直的性质；三垂线定理.

专题:计算题.

分析:在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可.

解答:

AB2=a2+n2=b2+in2

a〉b

解：由题意可得］tan(t)=~

n

ab

tan9=—

m

'm>n

即有，

e<(p

故选D.

点评:本题考查对直二面角的认识程度，以及正确识图的能力、借且图象进行推理的能力.

二.解答题（共9小题）_

22.（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A'B'C,ZBAC=90°,AB=AC=&,AA'=1,点M,N分别为A'B

和B'C的中点.

（I）证明：MN〃平面A'ACC'；

（II）求三棱锥A'-MNC的体积.

（椎体体积公式V」Sh,其中S为地面面积，h为高）

3

考点：直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱分的体积.

专题：综合题.

分析：（I）证法一，连接AB',AC',通过证明MN〃AC'证明MN〃平面A'ACC'.

证法二，通过证出MP〃AA',PN〃A'C'.证出MP〃平面A'ACC',PN〃平面A'ACC',即能证

明平面MPN〃平面A'ACC'后证明MN〃平面A'ACC'.

(II)解法一■,连接BN,贝IJVA，-MNC=VN-A1MC—VN-A'BC—VA'-NBC—•

226

解法：：，VA，-MNC=VA'-NBC-VM-NBC」VA'-NBC」.

26

解答：（I）（证法一）

连接AB',AC',由已知/BAC=90。，AB-AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,

B'

B

所以M为AB'的中点，又因为N为B'C'中点，所以MN〃AC',

又MNU平面A'ACC',AC'u平面A'ACC',所以MN〃平面A'ACC'；

（证法二）

取A'B'中点，连接MP,NP.而M,N分别为AB',B'C'中点，所以MP〃AA',PN〃A'C.所

以MP〃平面A'ACC',PN〃平面A'ACCZ；又MPCPN=P,

所以平面MPN〃平面A'ACC',而MNu平面MPN,所以MN〃平面A'ACC'；

（11）（解法一）连接BN,由题意A'NJ_B'C',平面A'B'C。平面B'BCC'=B'C',所以A'N±

平面NBC,又A'N」B'C'=1,故

2

VA'-MNC=VN-A'MC—VN-A'BC—VA'-NBC—•

226

（解法二）

vA'-MNC=VA'-NBC-VM-NBcjvA'-NBCw

26

点评：本题考查线面关系，体积求解，考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转化、计算等能力.

23.（2005•天津）如图，在斜三棱柱ABC-AiBQi中，NA]AB=/A|AC,AB=AC,A（A=A）B=a,侧面BiBCCi

与底面ABC所成的二面角为120。，E、F