云南省昆明市2024-2025学年高二数学上学期期中试卷

Page1云南省昆明市2024-2025学年高二数学上学期期中试卷考试时间：120分钟满分：150分单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若向量，，且，则实数的值是（）。A．0 B．1 C． D．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）。A．B．C．D．已知直线平分圆的面积，则的值为（）。A．B．C． D．4．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）。A．或 B．或C．或 D．或5．直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是（）。A．4 B．3 C．2 D．16．圆：关于直线：对称的圆的方程为（）。A．B．C．D．7．圆与圆的公共弦长等于（）。A． B． C． D．8.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，则它们之间的距离是()。A．4B．C. D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。9．（多选）下列利用方向向量、法向量推断线、面位置关系的结论中，正确的是（）。A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则10．（多选）已知圆心为的圆与点，则（）。A．圆的半径为2B．点在圆外C．点与圆上任一点距离的最大值为D．点与圆上任一点距离的最小值为11．(多选)如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是（）。A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°z12．（多选）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，z平面，.则下列说法正确的是（）。A．B．平面的法向量C．平面D．点到平面的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。由原点向圆：引切线，切点为，则切线长________。14．过与交点，且与垂直的直线的一般方程为。15．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的一般方程为。设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，，则点到直线的距离为_________.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知向量＝(x，4，1)，＝(－2，y，－1)，＝(3，－2，z)，且∥，⊥.（1）求向量，，；（2）求向量＋与向量＋所成角的余弦值．18.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．19．已知圆C的圆心在直线l：x-2y-1=0上，并且经过A（2，1）､B（1，2）两点（1）求圆C的标准方程;（2）求点P（4，-2）与圆C上任一点连线的中点的轨迹方程.20．已知圆，直线．（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．21．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（1）求证：平面；（2）求平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，Q为中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．试卷第=page1212页，总=sectionpages99页试卷第=page1111页，总=sectionpages99页数学答案一、单选题1.若向量，，且，则实数的值是（）A．0 B．1 C． D．【答案】C【详解】解：因为，，所以，因为，所以，解得．故选：C．2．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，又因为，所以.故选：A已知直线平分圆的面积，则的值为（）A．B．C． D．【答案】D【详解】解：因为圆，所以圆C的圆心坐标为，又因为圆上存在两点，关于直线对称，所以直线过圆心，则，解得.故选：D.4．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】圆心为，半径为2，斜率不存在时，直线满意题意，斜率存在时，设直线方程为，即，由，得，直线方程为，即．故选：B．5．直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】由x2+y2-2x-4y=0得，∴，由得，所以△ABC的面积为.故选：C.6．圆：关于直线：对称的圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题设，圆的圆心为，半径为2，则对称圆的半径为2，若对称圆的圆心为，则在上，即，由对称性，知：圆心连线与直线垂直，则，即，综上，得：，∴对称的圆的方程为.故选：A7．圆与圆的公共弦长等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：联立，解得或，故公共弦长等于.故选：B8.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，则它们之间的距离是()A．4B．eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26) D．eq\f(7\r(13),26)【解析】选D.∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，∴3∶2＝6∶m，∴m＝4.直线3x＋2y－3＝0可以化为6x＋4y－6＝0，由两条平行直线间的距离公式可得：d＝eq\f(|1－（－6）|,\r(62＋42))＝eq\f(7,\r(52))＝eq\f(7\r(13),26).二、多选题9．（多选）下列利用方向向量、法向量推断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AB【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项B正确；对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，C选项错误；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.故选：AB10．（多选）已知圆心为的圆与点，则（）A．圆的半径为2B．点在圆外C．点与圆上任一点距离的最大值为D．点与圆上任一点距离的最小值为【答案】BCD依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD11．(多选)如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【答案】ABC【详解】以D为坐标原点，分别以所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由在面、面、面的射影、、，即，，，又，则AC1⊥面CB1D1，∴B、C正确；设正方体棱长为1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，∴，即BD∥面CB1D1，故A正确；∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，∴，∴AD与CB1所成的角为45°，故D错，故选：ABC．12．（多选）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.则下列说法正确的是（）zA．zB．平面的法向量C．平面D．点到平面的距离为【答案】BCD【详解】依题意，是正方形，，AC与BD的交点O为原点，，在给定的空间直角坐标系中，，而，则点，，A不正确；，，设平面的法向量，则，令，得，B正确；，即平面，C正确；因，则点A到平面的距离，D正确.故选：BCD填空题：由原点向圆：引切线，切点为，则切线长________.【答案】【详解】因为圆：的圆心为，半径为1，所以,，因此，故答案为：.14．过与交点，且与垂直的直线的一般方程为.【答案】【详解】设交点坐标为联立方程又直线的斜率为1，故与垂直的直线的斜率为-1，故所求直线方程为化为一般式方程为,故答案为：15．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是________．【答案】【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，则两圆圆心所在直线方程为：，即，因为两圆圆心所在直线垂直平分线段AB，所以线段AB的垂直平分线的方程是.故答案为：.16.设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，，则点到直线的距离为___________.【答案】【详解】因为，所以，，，，所以，，因为，所以在上的射影长为，所以点到直线的距离.故答案为：.四、解答题17.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．解：(1)∵a∥b，a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，∴eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，∴x＝2，y＝－4，∴a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，c＝(3，－2，z)，∴b·c＝0，即－2×3＋(－4)×(－2)＋(－1)×z＝0，∴z＝2，∴c＝(3，－2，2)．(2)由(1)知，a＋c＝(2，4，1)＋(3，－2，2)＝(5，2，3)，b＋c＝(－2，－4，－1)＋(3，－2，2)＝(1，－6，1)．设a＋c与b＋c的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(（a＋c）·（b＋c）,|a＋c|·|b＋c|)＝eq\f(（5，2，3）·（1，－6，1）,\r(52＋22＋32)·\r(12＋（－6）2＋12))＝eq\f(5×1＋2×（－6）＋3×1,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).即a＋c与b＋c夹角的余弦值为－eq\f(2,19).18.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，由两点式得BC的方程为x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝eq\f(2－2,2)＝0，y＝eq\f(1＋3,2)＝2，则D(0，2)．BC边的中线AD经过A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.19．已知圆C的圆心在直线l：x-2y-1=0上，并且经过A（2，1）､B（1，2）两点（1）求圆C的标准方程.（2）求点P（4，-2）与圆C上任一点连线的中点的轨迹方程【答案】（1）；（2）【详解】设圆的标准方程为，由题可知解得所以圆C的标准方程为（2）设中点，圆C上任一点，因为P（4，-2），所以整理得，代入圆的方程得：整理得所以，中点的轨迹方程为20．已知圆，直线．（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径为若直线与圆相切，则有，解得（2）设圆心到直线的距离为，则有即，即，由，解得或所以直线的方程为或21．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,,,,