10.2 超静定结构内力计算方法-位移法讲解

第九章超静定结构内力计算

内容提要超静定结构是工程中广泛采用的结构型式。本章介绍超静定结构的概念和超静定次数的确定方法；重点介绍计算超静定结构内力的常用方法，即力法、位移法和力矩分配法的基本概念、解题思路和计算方法；最后分析总结超静定结构的特性。9.3位移法

本节内容9.3位移法力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较麻烦。而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。9.3.1位移法的基本概念位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题。。

为了说明位移法的基本概念，我们来研究图（a）所示的等截面连续梁。此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所示。由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各杆在该端将发生相同的转角

。在分析上述连续梁时，我们可以这样考虑：把杆AB看作是两端固定的梁在B端发生了转角；把杆BC看作是B端固定C端铰支的梁，在梁上受均布荷载作用，并在B端发生转角

，如图（b）所示。因此，如把结点B的转角作为支座移动看待，则上述连续梁可转化为两个单跨超静定梁。只要能够计算出转角的大小，就可以用力法计算出这两个单跨超静定梁的全部反力和内力。下面分为四步讨论如何计算转角的问题。第一步，增加约束，将结点B锁住。假设在结点B处加入一附加刚臂[图(a)]，附加刚臂的作用是约束B点的转动，而不能约束移动，即相当于固定端。A(a)基本结构BC于是图（a）所示的等截面连续梁变成了由AB和BC两个单跨超静定梁组成的组合体。我们把加入附加刚臂后的结构称为位移法计算的基本结构。在基本结构上受外荷载作用，并使B点附加刚臂转过与实际变形相同的转角Z1=

，使基本结构的受力和变形与原结构取得一致[图(a)]，进而用基本结构代替原结构的计算。第二步，在基本结构中，只有荷载q的作用，无转角Z1影响，如图(b)所示。其弯矩图可由力法计算如图(b)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R1F。(b)第三步，施加力偶，使基本结构的结点B产生角位移Z1如图(c)所示。在B端发生转角Z1的支座移动，其弯矩图可由力法计算得到，如图(c)所示，在附加刚臂上产生的约束力矩为R11

。（c）第四步，把基本结构的两种情况叠加，计算转角Z1。由叠加原理可得基本结构在两种情况下引起的约束力矩为R11+R1F。由于基本结构的受力和变形与原结构相同，在原结构上没有附加刚臂，故基本结构中附加刚臂上的约束力矩应为零。即R11+R1F=0。如在图(c)中令r11表示当Z1=1时附加刚臂上的约束力矩，即R11=r11·Z1

，则上式改写为

r11·Z1+R1F=0上式称为位移法方程。式中的r11称为系数；R1F称为自由项。它们的方向规定与Z1方向相同为正，反之为负。

为了由位移法方程求解Z1，可由图(b)中取结点B为隔离体，由力矩平衡条件得出；由图(c)中取结点B为隔离体，并令Z1=1，由力矩平衡条件得出

。代入位移法方程，得（c）（b）求出Z1后，将图(b，c)两种情况叠加，即得原结构的弯矩图如图(d)所示。ABC(d)总结以上分析过程，可以把位移法计算的解题思路归纳如下：（1）以独立的结点位移作为位移法的基本未知量。（2）以增加附加约束后的一系列单跨超静定梁的组合体作为位移法的基本结构。（3）以基本结构在附加约束处的受力与原结构一致的平衡条件建立位移法方程。（4）原结构的内力是荷载和结点位移共同下，在基本结构中产生的内力。在位移法计算中，要用力法对每个单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力进行计算。为了使用方便，对各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯矩和杆端剪力数值均列于表9.1中，以备查用。在表9.1中，i=EI/l，称为杆件的线刚度。表9.1中杆端弯矩的正、负号规定为：对杆端而言弯矩以顺时针转向为正（对支座或结点而言，则以逆时针转向为正），反之为负[如图所示]。至于剪力的正、负号仍与以前规定相同。转角以顺时针转动为正，反之为负。表9.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表9.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表9.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表9.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表9.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

续表9.1等截面直杆的杆端弯矩和剪力

9.3.2位移法基本未知量与基本体系1．位移法的基本未知量在力法计算中，是以超静定结构的多余未知力为基本未知量，而在位移法计算中，则是以结构中刚结点的角位移（铰结点的角位移可由杆件另一端的位移求出，故不作为基本位知量）和独立的结点线位移作为基本未知量。在结构中，一般情况下刚结点的角位移数目和刚结点的数目相同，但结构独立的结点线位移的数目则需要分析判断后才能确定。下面举例说明如何确定位移法的基本未知量。图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两个角位移和以及一个线位移Δ。

(b)同理，图（b）所示排架有三个铰结点，其水平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位移Δ。

当结构的独立结点线位移的数目由直观的方法难以判断时，则可以采用“铰化结点、增加链杆”的方法判断。即在确定结构独立的结点线位移时，先把所有的结点和支座都换成铰结点和铰支座，得到一个铰结体系。若此体系是几何不变体系，则由此知道结构的所有结点均无独立结点线位移。如果此体系是几何可变体系或瞬变体系，则可以通过增加链杆使其变为几何不变体系，所增加的最少链杆的数目，就是原结构的独立结点线位移的数目。例如图(a)所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不变体系[图(b)]，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构的基本未知量为两个角位移和一个独立结点线位移。2.位移法基本结构由前述可知，用位移法计算超静定结构时，是以一系列单跨超静定梁的组合体作为基本结构的。因此，在确定了基本未知量后，就要增加附加约束以限制所有结点的位移，把原结构转化为一系列相互独立的单跨超静定梁的组合体。即在产生角位移的刚结点处附加刚臂约束转动；在产生线位移的结点处附加支座链杆约束其线位移。图(a)所示刚架有两个刚结点D和E，在忽略各杆件自身轴向变形的情况下，两结点有相同的线位移，所以只要在结点D和E处附加两个刚臂，以阻止两个刚结点的转动，在结点E处附加支座链杆以限制其线位移。(b)基本结构(a)原结构这样就使得原结构变成为无结点线位移及角位移的一系列单跨超静定梁的组合体，即位移法的基本结构[图(b)]。(b)基本结构(a)原结构

根据支座情况的不同，常见的单跨超静定梁可分为如图所示的三种。

需要强调说明：力法中的基本结构是从原结构中拆除多余约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构是在原结构上增加约束构成若干个单跨超静定梁的组合体。虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形与原结构是一致的。9.3.3位移法典型方程及计算举例

1.位移法典型方程在前面我们以只有一个基本未知量的结构介绍了位移法的基本概念，对于具有多个基本未知量的结构，仍然应用上述思路，建立位移法方程的典型形式。图(a)所示刚架有两个基本未知量，即结点B的转角Z1和结点C的水平位移Z2。在结点B处施加限制转动的约束——附加刚臂，在结点C加一控制水平线位移的约束——附加支座链杆，得到的基本结构如图(b)所示。(b)基本结构(a)原结构下面利用叠加原理建立位移法方程。(1)计算基本结构在荷载单独作用时各附加约束上的约束力。先求出各杆的杆端力，然后求约束中存在的约束力R1F、R2F[图(a)]。

图(a)FR1FR2FF（2）计算基本结构在结点B发生转角Z1时各附加约束上的约束力。使基本结构在结点B发生单位转角Z1=1，但结点C仍被锁住。这时，可求出基本结构在杆件AB、BC和CD的杆端力，以及在两个约束中分别存在的约束力r11和r21[图(b)]。于是我们把图(b)扩大Z1倍，即乘以Z1

。(b)(c)（3）计算基本结构在结点C发生水平位移Z2时各附加约束上的约束力。使基本结构在结点C发生单位水平位移Z2=1，但结点B仍被锁住。这时，可求出基本结构在杆件AB、BC和CD的杆端力，以及在两个约束中分别存在的约束力r12和r22[图(c)]。于是我们把图(c)扩大Z2倍，即乘以Z2。叠加以上三种情况，得基本结构在荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下的结果。根据以上各种因素引起的附加约束上的约束力叠加后应与原结构一致，即各附加约束上的总约束力应等于零的条件。可列出两个位移法方程

r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0

r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0式中的系数和自由项，是由荷载和结点位移Z1、Z2共同作用下，在附加约束上引起的约束力。可由结点隔离体和杆件隔离体的平衡条件确定，得到各系数及自由项后，代入位移法方程中，即可解出各结点位移Z1、Z2的值。最后可按下式叠加绘出最后弯矩图：式中：、和MF——结点位移Z1=1、Z2=1和荷载单独作用于下，基本结构的弯矩。对于具有n个基本未知量的结构，则附加约束（附加刚臂或附加链杆）也有n个，由n个附加约束上的受力与原结构一致的平衡条件，可建立n个位移法方程:r11Z1+r12Z2+…+r1nZn+R1F=0r21Z1+r22Z2+…+r2nZn+R2F=0…rn1Z1+rn2Z2+…+rnnZn+RnF=0上式称为位移法的典型方程。式中的rii>0称为主系数，其物理意义为Zi=1时，基本结构中附加约束i上的反力，它恒为正值；rij称为副系数，其物理意义为Zj=1时，基本结构中附加约束i上的反力，副系数可为正、可为负或为零；由反力互等定理且有rij=rji；RiF为自由项，其物理意义为荷载作用于基本结构上时，附加约束i上的反力，自由项可为正、为负或为零。

2．位移法计算举例上面讨论了用位移法典型方程解算超静定结构的解题思路和方法，根据前面所述，用位移法解超静定结构的步骤可归纳如下：（1）首先确定基本未知量，增加阻止刚结点转动和结点移动的附加约束，从而形成基本结构；（2）使基本结构承受原荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，根据附加约束上的反力矩或反力等于零的条件，建立位移法的典型方程；（3）绘出