2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第九章第5讲含答案

2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第九章第5讲含答案第5讲椭圆(一)[课程标准]1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.2.掌握椭圆的简单应用．1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做eq\x(\s\up1(01))椭圆．这两个定点叫做椭圆的eq\x(\s\up1(02))焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的eq\x(\s\up1(03))焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若eq\x(\s\up1(04))a>c，则集合P表示椭圆；(2)若eq\x(\s\up1(05))a＝c，则集合P表示线段；(3)若eq\x(\s\up1(06))a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围eq\x(\s\up1(07))－a≤x≤eq\x(\s\up1(08))aeq\x(\s\up1(09))－b≤y≤eq\x(\s\up1(10))beq\x(\s\up1(11))－b≤x≤eq\x(\s\up1(12))beq\x(\s\up1(13))－a≤y≤eq\x(\s\up1(14))a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为eq\x(\s\up1(15))2a；短轴B1B2的长为eq\x(\s\up1(16))2b焦距|F1F2|＝eq\x(\s\up1(17))2c焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)离心率e＝eq\x(\s\up1(18))eq\f(c,a)∈eq\x(\s\up1(19))(0，1)a，b，c的关系c2＝eq\x(\s\up1(20))a2－b2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2 B．3C．4 D．9答案B解析4＝eq\r(25－m2)(m>0)⇒m＝3.故选B.2．(人教A选择性必修第一册习题3.1T1改编)方程eq\r(（x－4）2＋y2)＋eq\r(（x＋4）2＋y2)＝10的化简结果是()A.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1答案C解析由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.3．(人教A选择性必修第一册3.1.2例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为eq\f(1,2) B．焦距为eq\f(\r(3),4)C．短轴长为eq\f(1,4) D．离心率为eq\f(\r(3),2)答案D解析把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,16))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(3),4)，则长轴长2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(3),2)，短轴长2b＝eq\f(1,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).故选D.4．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．答案(3，4)∪(4，5)解析由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3，))解得3＜k＜5且k≠4.5．(人教B选择性必修第一册习题2－5BT2改编)已知点P(x1，y1)是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，F1，F2分别是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是________．答案12解析∵椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，∴F1(－3，0)，F2(3，0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×2×3×4＝12.考向一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆．(2)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,49)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．24 B．26C．22eq\r(2) D．24eq\r(2)答案A解析由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，则c2＝a2－b2＝49－24＝25，所以a＝7，c＝5，由3|PF1|＝4|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积等于eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×8×6＝24.故选A.1．椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．(2)解决与焦点有关的距离问题．2．焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．1.(多选)已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则()A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5)D.eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝2答案BCD解析由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq\f(2,3)|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)d＝2eq\r(2)，所以d＝eq\f(2\r(10),5)，故C正确；eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|cos∠F1PF2＝6×eq\f(1,3)＝2，故D正确．故选BCD.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．答案5解析∵椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5.考向二椭圆的标准方程例2(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(y≠0)答案A解析∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴顶点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠0)．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，则该椭圆的方程为________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a，2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：1.已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A(0，b)，点B在椭圆C上，eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，D，E分别是AF2，BF2的中点，且△DEF2的周长为4，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,8)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1 D．x2＋eq\f(3y2,2)＝1答案B解析因为eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以A，F1，B三点共线，且|AF1|＝2|F1B|，因为D，E分别为AF2，BF2的中点，所以4a＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2(|DE|＋|DF2|＋|EF2|)＝8，所以a＝2.设B(x0，y0)，F1(－c，0)，A(0，b)，由eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，可得(－c，－b)＝2(x0＋c，y0)，求得x0＝－eq\f(3c,2)，y0＝－eq\f(b,2)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3c,2)，－\f(b,2)))，因为点B在椭圆C上，所以eq\f(9c2,16)＋eq\f(1,4)＝1，求得c2＝eq\f(4,3)，b2＝eq\f(8,3)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,8)＝1.故选B.2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.多角度探究突破考向三椭圆的几何性质角度椭圆的长轴、短轴、焦距例3(多选)某月球探测器在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列说法正确的是()A．焦距约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150，0)D．离心率约为eq\f(75,994)答案AD解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.依题意可得月球半径约为eq\f(1,2)×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，2c＝300，椭圆的离心率约为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)＝eq\f(75,994)，所以A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，所以焦点坐标不确定，C错误．角度离心率问题例4(1)(2023·深圳模拟)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(21),6)C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(2,3)答案C解析在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝eq\f(a,2)，|PF1|＝eq\f(3a,2)，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即4c2＝eq\f(9a2,4)＋eq\f(a2,4)－eq\f(3a2,4)＝eq\f(7a2,4)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(7,16)，所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4).故选C.(2)已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq\f(1,2)，又e<1，所以e的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).角度与椭圆有关的最值(范围问题)例5(1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A.eq\f(5,2) B.eq\r(6)C.eq\r(5) D．2答案A解析由P在C上，设P(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2，由eq\f(xeq\o\al(2,0),5)＋yeq\o\al(2,0)＝1，得xeq\o\al(2,0)＝5－5yeq\o\al(2,0)，y0∈[－1，1]，代入上式，得|PB|2＝5－5yeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，y0∈[－1，1]．因此当且仅当y0＝－eq\f(1,4)时，|PB|取得最大值eq\f(5,2).故选A.(2)设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)答案A解析由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m<3时，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(m)，tanα＝eq\f(\r(3),\r(m))≥tan60°＝eq\r(3)，∴0<m≤1.②如图2，当焦点在y轴，即m>3时，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(3)，tanα＝eq\f(\r(m),\r(3))≥tan60°＝eq\r(3)，∴m≥9.综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)．故选A.1．求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式．1.(2022·全国甲卷)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq\f(1,4)，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)答案A解析A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝eq\f(y1,x1＋a)，kAQ＝eq\f(y1,－x1＋a)，故kAP·kAQ＝eq\f(y1,x1＋a)·eq\f(y1,－x1＋a)＝eq\f(yeq\o\al(2,1),－xeq\o\al(2,1)＋a2)＝eq\f(1,4)，又eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，则yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b2（a2－xeq\o\al(2,1)）,a2)，所以eq\f(\f(b2（a2－xeq\o\al(2,1)）,a2),－xeq\o\al(2,1)＋a2)＝eq\f(1,4)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故选A.2．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))D．若eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))，则椭圆C的长轴长为eq\r(5)＋eq\r(17)答案ACD解析由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以2a－1≤|QF1|＋|QP|≤2a＋1，所以A正确；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以b＞1，2b＞2，所以B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＜1，即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化简可得a4－3a2＋1＞0，解得a2＞eq\f(3＋\r(5),2)或a2＜eq\f(3－\r(5),2)(舍去)，则椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＜eq\f(1,\r(\f(3＋\r(5),2)))＝eq\f(1,\f(\r(5)＋1,2))＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以C正确；由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))可得，F1为PQ的中点，而P(1，1)，F1(－1，0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝eq\r(（－3＋1）2＋（－1－0）2)＋eq\r(（－3－1）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5)＋eq\r(17)＝2a，所以D正确．故选ACD.课时作业一、单项选择题1．已知椭圆eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝()A．5 B．6C．9 D．10答案C解析由椭圆eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，可得eq\r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C.2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，则a＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(6)答案A解析由e2＝eq\r(3)e1，得eeq\o\al(2,2)＝3eeq\o\al(2,1)，因此eq\f(4－1,4)＝3×eq\f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq\f(2\r(3),3).故选A.3．(2023·湖南模拟)曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等答案C解析曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为eq\f(4,5)，焦距为8的椭圆．曲线eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2eq\r(25－k)，短轴长为2eq\r(9－k)，焦距为2eq\r(（25－k）－（9－k）)＝8，离心率为eq\f(4,\r(25－k))的椭圆．故选C.4．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝()A．1 B．2C．4 D．5答案B解析解法一：因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B.解法二：因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5)，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B.5．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝1答案B解析因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(8,9)，b2＝eq\f(8,9)a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为C的上顶点，所以B(0，b)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)．因为eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝eq\f(8,9)a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.故选B.6．已知点M在椭圆eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为()A．1＋eq\r(19) B．1＋2eq\r(5)C．5 D．6答案B解析设圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)，则|MN|≤|MC|＋r＝|MC|＋1，设M(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),18)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1⇒xeq\o\al(2,0)＝18－2yeq\o\al(2,0)，所以|MC|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋（y0－1）2)＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2y0＋1)＝eq\r(18－2yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2y0＋1)＝eq\r(－yeq\o\al(2,0)－2y0＋19)＝eq\r(－（y0＋1）2＋20)≤2eq\r(5)，当且仅当y0＝－1时取等号，所以|MN|≤|MC|＋1≤2eq\r(5)＋1.故选B.7．(2023·全国甲卷)已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，则|PO|＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(\r(30),2)C.eq\f(3,5) D.eq\f(\r(35),2)答案B解析解法一：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜eq\f(π,2)，所以S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,5)，解得tanθ＝eq\f(1,2).由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|yP|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×|yP|＝6×eq\f(1,2)，解得yeq\o\al(2,P)＝3，所以xeq\o\al(2,P)＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝eq\f(9,2)，因此|PO|＝eq\r(xeq\o\al(2,P)＋yeq\o\al(2,P))＝eq\r(3＋\f(9,2))＝eq\f(\r(30),2).故选B.解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))，所以|PO|＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|，即|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,2)eq\r(21＋2×\f(3,5)×\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2).故选B.解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq\r(3)，解得|PO|＝eq\f(\r(30),2).故选B.8．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案C解析依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)，则|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq\f(c2,b2)yeq\o\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－eq\f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故选C.二、多项选择题9.2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2eq\r(（m＋r）（n＋r）)D．a2c1<a1c2答案BC解析由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误；|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长为2b2＝2eq\r(aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2))＝2eq\r(（a2－c2）（a2＋c2）)＝2eq\r(（m＋r）（n＋r）)，故C正确；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，两边平方得aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由于b1>b2>0，故beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，∴a1c2<a2c1，故D错误．故选BC.10．(2024·重庆开学考试)已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是()A．|PF1|＋|PF2|＝4B．若△F1PF2的面积为2eq\r(7)，则点P的横坐标为±eq\f(4\r(5),3)C．存在点P满足∠F1PF2＝90°D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－eq\f(9,16)答案BD解析依题意，得a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；设P(x0，y0)，|F1F2|＝2eq\r(7)，eq\f(1,2)×2eq\r(7)×|y0|＝2eq\r(7)，|y0|＝2，xeq\o\al(2,0)＝eq\f(144－16yeq\o\al(2,0),9)＝eq\f(144－64,9)＝eq\f(80,9)，x0＝±eq\f(4\r(5),3)，B正确；cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)≥eq\f(\f(（|PF1|＋|PF2|）2,2)－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(2a2－4c2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(32－28,2|PF1||PF2|)＝eq\f(2,|PF1||PF2|)>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在点P满足∠F1PF2＝90°，C错误；设P(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9,16)(16－xeq\o\al(2,0))，又A1(－4，0)，A2(4，0)，所以kPA1·kPA2＝eq\f(y0－0,x0＋4)·eq\f(y0－0,x0－4)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－16)＝eq\f(\f(9,16)（16－xeq\o\al(2,0)）,xeq\o\al(2,0)－16)＝－eq\f(9,16)，D正确．故选BD.11．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(eq\r(2)，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是()A．离心率e的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B．存在点Q，使得eq\o(QF1,\s\up6(→))＋eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0C．当e＝eq\f(\r(2),4)时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋eq\f(\r(6),2)D.eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值为1答案ACD解析对于A，∵点P(eq\r(2)，1)在椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的内部，∴eq\f(2,4)＋eq\f(1,b2)<1，∴b2>2，又椭圆焦点在x轴上，∴b2<4，∴2<b2<4，又a2＝4，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,4)，又b2∈(2，4)，∴e2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，∴A正确；对于B，若存在点Q，使得eq\o(QF1,\s\up6(→))＋eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0，则Q只能为原点O，显然不成立，∴B错误；对于C，当e＝eq\f(\r(2),4)时，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,4)＝eq\f(1,8)，∴c＝eq\f(\r(2),2)，∴F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，又P(eq\r(2)，1)，∴|PF2|＝eq\f(\r(6),2)，∵点Q在椭圆上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴|QF1|＋|QP|＝4－|QF2|＋|QP|≤4＋|PF2|＝4＋eq\f(\r(6),2)，当且仅当Q为PF2的延长线与椭圆交点时取等号，∴|QF1|＋|QP|的最大值为4＋eq\f(\r(6),2)，∴C正确；对于D，∵点Q在椭圆上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝4，∴eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|QF1|)＋\f(1,|QF2|)))(|QF1|＋|QF2|)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(|QF2|,|QF1|)＋\f(|QF1|,|QF2|)))≥eq\f(1,4)×(2＋2)＝1，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时取等号，∴eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值为1，∴D正确．故选ACD.三、填空题12．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为eq\r(3)，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．答案eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1eq\f(1,2)解析焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝eq\r(3)，又a＝2c，∴c＝eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，b＝3，∴椭圆的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,9)＝1，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).13．(2023·邵阳二模)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则椭圆离心率的取值范围是________．答案(eq\r(2)－1，1)解析由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，得eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|PF1|,2a－|PF1|)，得|PF1|＝eq\f(2ac,a＋c)，又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c<eq\f(2ac,a＋c)<a＋c，∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0，又e∈(0，1)，∴e∈(eq\r(2)－1，1)．14．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．答案8解析由|PQ|＝|F1F2|，得|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1⊥PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.四、解答题15．(2023·德州期中)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)若点A是曲线C上的动点，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值(其中O为坐标原点)．解(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径r＝2eq\r(2)，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2eq\r(2)，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，则|QN|＋|QM|＝2eq\r(2)>2，由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝eq\r(2)，c＝1，b＝1，则点Q的轨迹C的方程为eq\f(y2,2)＋x2＝1.(2)设A(x，y)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(－x，－1－y)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，①又eq\f(y2,2)＋x2＝1，所以x2＝1－eq\f(1,2)y2，将其代入①得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)y2－y－1＝－eq\f(1,2)(y＋1)2－eq\f(1,2)，由椭圆的有界性可知－eq\r(2)≤y≤eq\r(2)，所以当y＝－1时，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))取得最大值－eq\f(1,2).16．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).当b＝4，a≥4eq\r(2)时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞)．第6讲椭圆(二)[课程标准]1.理解直线与椭圆的位置关系，掌握直线被椭圆所截的弦长公式.2.体会数形结合的思想．1．点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq\x(\s\up1(01))eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq\x(\s\up1(02))eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq\x(\s\up1(03))eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1．2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y＝kx＋m，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与椭圆有eq\x(\s\up1(04))两个交点⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆有eq\x(\s\up1(05))一个交点⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆eq\x(\s\up1(06))无交点⇔直线与椭圆相离．3．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)过焦点的弦中，通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为eq\f(2b2,a).(2)若点P(x0，y0)在椭圆上，则过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.(3)若AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).(4)若过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).1．(人教A选择性必修第一册3.1.2例7改编)直线y＝2x－1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定答案A解析解法一：直线方程y＝2x－1过点(1，1)，而(1，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．故选A.解法二：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1404>0，所以直线y＝2x－1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1相交．故选A.2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1截得的弦长的最大值是()A．2 B.eq\f(4\r(3),3)C．4 D．不能确定答案B解析直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为eq\r(x2＋（y－1）2)＝eq\r(4－4y2＋y2－2y＋1)＝eq\r(－3y2－2y＋5)，当y＝－eq\f(1,3)时，弦长最大，为eq\f(4\r(3),3).3．(人教B选择性必修第一册习题2－8AT2改编)已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，则实数m的值为()A．±1 B．±eq\f(1,2)C.eq\r(2) D．±eq\r(2)答案A解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m，))消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(4m,3)，,x1x2＝\f(2m2－2,3).))由|AB|＝eq\f(4\r(2),3)可知eq\f(4,3)eq\r(3－m2)＝eq\f(4\r(2),3)，解得m＝±1.故选A.4．(人教B选择性必修第一册P177复习题B组T13改编)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为()A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0答案B解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(y1＋y2,2)＝\f(1,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝1，))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)＋\f(yeq\o\al(2,1),3)＝1①，,\f(xeq\o\al(2,2),4)＋\f(yeq\o\al(2,2),3)＝1②，))①－②得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),3)＝0，即eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝－eq\f(3,4)，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,2)kAB＝－eq\f(3,4)，所以kAB＝－eq\f(3,2)，因此直线AB的方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－4＝0.5．(人教A选择性必修第一册习题3.1T13改编)若点P是椭圆E：eq\f(x2,4)＋y2＝1上的动点，则点P到直线x－y－3eq\r(5)＝0的距离的最小值是________，此时点P的坐标为________．答案eq\r(10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))解析设与椭圆E相切且平行于直线x－y－3eq\r(5)＝0的直线为l：x－y＋m＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,x－y＋m＝0，))整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.则Δ＝64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝±eq\r(5).当m＝－eq\r(5)时，直线l与直线x－y－3eq\r(5)＝0之间的距离为eq\f(|－\r(5)＋3\r(5)|,\r(1＋1))＝eq\r(10)，当m＝eq\r(5)时，直线l与直线x－y－3eq\r(5)＝0之间的距离为eq\f(|\r(5)＋3\r(5)|,\r(1＋1))＝2eq\r(10)，所以点P到直线x－y－3eq\r(5)＝0的最小距离是eq\r(10).此时5x2－8eq\r(5)x＋16＝0，解得x＝eq\f(4\r(5),5)，将x＝eq\f(4\r(5),5)代入x－y－eq\r(5)＝0，得y＝－eq\f(\r(5),5)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)，－\f(\r(5),5))).考向一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相等的实数根，可知原方程组仅有一组实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0，1)∪(1，5) D．[1，5)∪(5，＋∞)答案D解析解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.解法二：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立．由于m>0且m≠5，所以m≥1且m≠5.考向二弦长问题例2(2023·佛山模拟)已知A，B分别为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(21),7)，且|AB|＝eq\r(7).(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝eq\f(12\r(2),7)，求k的值．解(1)由题设知，A(b，0)，B(0，a)，直线AB的方程为eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1，又|AB|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(7)，eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2\r(21),7)，a>b>0，计算得出a＝2，b＝eq\r(3)，则椭圆C的离心率为e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,2).(2)由(1)知椭圆方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y2,4)＋\f(x2,3)＝1，,y＝kx＋m，))消去y，得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0，且x1＋x2＝－eq\f(6km,3k2＋4)，x1x2＝eq\f(3m2－12,3k2＋4).又直线l与圆x2＋y2＝2相切，则eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，即m2＝2(k2＋1)．而|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(1＋k2)·\r(48（3k2－m2＋4）),3k2＋4)＝eq\f(\r(1＋k2)·\r(48（k2＋2）),3k2＋4)＝eq\f(4\r(3)·\r(k4＋3k2＋2),3k2＋4)，又|MN|＝eq\f(12\r(2),7)，所以eq\f(4\r(3)·\r(k4＋3k2＋2),3k2＋4)＝eq\f(12\r(2),7)，即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])(k为直线斜率，k≠0)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2023·江苏八市联考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A，B两点，与直线x＝－2相交于点M.(1)若M(－2，－1)，求证：|MA|·|BF|＝|MB|·|AF|；(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x＝－2相交于点N.求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)＋eq\f(1,|NC|)＋eq\f(1,|ND|)的最大值．解(1)证明：因为椭圆E的焦距为2，所以2c＝2，解得c＝1.又因为椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.因为直线l经过M(－2，－1)，F(－1，0)，kMF＝eq\f(－1－0,－2－（－1）)＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2＋2y2＝2，))可得3x2＋4x＝0，由3x2＋4x＝0，得x1＝－eq\f(4,3)，x2＝0.所以|MA|·|BF|＝eq\r(2)|x1＋2|·eq\r(2)|x2＋1|＝2×eq\f(2,3)×1＝eq\f(4,3)，|MB|·|AF|＝eq\r(2)|x2＋2|·eq\r(2)|x1＋1|＝2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，因此|MA|·|BF|＝|MB|·|AF|.(2)若直线l，m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线x＝－2平行，不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，则直线m的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋1)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,x2＋2y2＝2，))可得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A1(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k4－8(2k2＋1)(k2－1)＝8(k2＋1)>0，由根与系数的关系，可得x1＋x2＝－eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1)，易知x1>－2且x2>－2，将x＝－2代入直线l的方程，可得y＝－k，即点M(－2，－k)，所以eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)＝eq\f(1,\r(1＋k2)|x1＋2|)＋eq\f(1,\r(1＋k2)|x2＋2|)＝eq\f(1,\r(1＋k2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1＋2)＋\f(1,x2＋2)))＝eq\f(1,\r(1＋k2))·eq\f(x1＋x2＋4,x1x2＋2（x1＋x2）＋4)＝eq\f(1,\r(1＋k2))·eq\f(－\f(4k2,1＋2k2)＋4,\f(2k2－2,1＋2k2)＋\f(－8k2,1＋2k2)＋4)＝eq\f(1,\r(1＋k2))·eq\f(4k2＋4,2k2＋2)＝eq\f(2,\r(1＋k2))，同理可得eq\f(1,|NC|)＋eq\f(1,|ND|)＝eq\f(2,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))\s\up12(2)))＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，所以eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)＋eq\f(1,|NC|)＋eq\f(1,|ND|)＝eq\f(2（1＋|k|）,\r(1＋k2))＝2eq\r(\f(k2＋1＋2|k|,k2＋1))＝2eq\r(1＋\f(2,|k|＋\f(1,|k|)))≤2eq\r(1＋\f(2,2\r(|k|·\f(1,|k|))))＝2eq\r(2)，当且仅当k＝±1时，等号成立，因此eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)＋eq\f(1,|NC|)＋eq\f(1,|ND|)的最大值为2eq\r(2).考向三中点弦问题例3已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1，2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；(3)求过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))且被点P平分的弦所在直线的方程．解(1)当斜率为2的弦过原点时，显然(0，0)满足题意；当斜率为2的弦不过原点时，设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x，y)，则有eq\f(xeq\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1.两式作差，得eq\f(（x2－x1）（x2＋x1）,2)＋(y2－y1)·(y2＋y1)＝0.∵x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x,2y).又kAB＝2，∴2＝－eq\f(x,2y)，∴x＋4y＝0