2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第九章第1讲含答案

2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第九章第1讲含答案第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课程标准]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴eq\x(\s\up1(01))正向与直线leq\x(\s\up1(02))向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为eq\x(\s\up1(03))0°．②倾斜角的范围为eq\x(\s\up1(04))0°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k＝eq\x(\s\up1(05))tanα直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y2－y1,x2－x1)3.直线的方向向量同斜率的关系若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(y,x)．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)eq\x(\s\up1(08))y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与直线在y轴上的截距beq\x(\s\up1(09))y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\x(\s\up1(10))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，beq\x(\s\up1(11))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—eq\x(\s\up1(12))Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．1．(人教A选择性必修第一册2.1.1练习T5改编)过A(2，4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m＝()A．－1 B．1C．5 D．3答案C解析解法一：由题意可知eq\f(m－4,1－2)＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C.2．直线x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).3．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，－eq\f(A,B)＜0，－eq\f(C,B)＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A选择性必修第一册习题2.2T7改编)过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是________．答案2x＋y－12＝0或2x－5y＝0解析设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直线过点(5，2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(2,2a)＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.考向一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ＜π.故选B.(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪[2，＋∞)解析已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1，1)，MA的斜率为eq\f(3－1,2－1)＝2，MB的斜率为eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，则直线l的斜率k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪[2，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．1.(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，则直线l的倾斜角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(4π,3)答案A解析由题意得，直线l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,3),sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)＝taneq\f(π,6)，即直线l的倾斜角为eq\f(π,6).故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案eq\f(1,3)－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考向二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为eq\f(4,5)；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解(1)由题可知sinα＝eq\f(4,5)，则tanα＝±eq\f(4,3)，∵直线经过点P(1，2)，∴直线的方程为y－2＝±eq\f(4,3)(x－1)，即y＝±eq\f(4,3)(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，因此直线的方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1.∵直线过点P(2，3)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，∴a＝5.∴直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)＋2.于是－2k＋3＝－eq\f(3,k)＋2，解得k＝eq\f(3,2)或k＝－1.则直线的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－eq\f(2,3).则直线的方程为y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.(2024·福建龙岩质检)过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：eq\r(3)x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是()A.eq\r(3)x－y＋eq\r(3)＋1＝0 B.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)－1＝0C.eq\r(3)x－3y＋eq\r(3)＋3＝0 D.eq\r(3)x＋3y＋eq\r(3)－3＝0答案B解析由k1＝tanα＝eq\r(3)，得α＝60°，所以k＝tan120°＝－eq\r(3)，所以直线l的方程是y－1＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)－1＝0.2．经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线方程为________，若直线的一个方向向量为(1，k)，则k＝________．答案2x－y＋2＝02解析经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线方程为eq\f(x,－1)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－y＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k＝2.3．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,3)＝1，即x＋2y－6＝0.角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，∴直线EF的方程为eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又eq\f(m,30)＋eq\f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－eq\f(2,3)m.∴S＝(100－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－20＋\f(2,3)m))＝－eq\f(2,3)(m－5)2＋eq\f(18050,3)(0≤m≤30)．∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．答案eq\f(1,2)解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,4)，所以当a＝eq\f(1,2)时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，则P(3，4)．设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)，0))，B(0，4－3k)，所以△ABO的面积S＝eq\f(1,2)(4－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24－9k－\f(16,k)))，因为k<0，所以－9k－eq\f(16,k)≥2eq\r(（－9k）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,k))))＝24，当且仅当－9k＝－eq\f(16,k)，即k＝－eq\f(4,3)时取等号．此时，A(6，0)，B(0，8)，所以人行直道的长度为eq\r(62＋82)＝10米．课时作业一、单项选择题1．(2023·上海松江区二模)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0答案A解析由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为eq\f(2,1)＝2，故直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选A.2．(2024·山东滨州模拟)已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三点共线，则m＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,2) D．－eq\f(2,3)答案A解析因为A，B，C三点共线，且A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，所以直线的斜率存在，且kAB＝kBC，即eq\f(1,－m)＝eq\f(－2,3)，解得m＝eq\f(3,2).故选A.3．(2023·杭州学军中学期中)已知直线l1：eq\r(3)x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\r(3)或0 D．－eq\r(2)或－eq\r(3)答案C解析因为直线l1：eq\r(3)x＋y＝0的斜率为k＝－eq\r(3)，所以其倾斜角为120°.直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝eq\r(3)或k＝0.故选C.4．函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的斜率k＝tanα≥－1，则α的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).5．已知△ABC的顶点C的坐标为(1，1)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则点A的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)))答案A解析设A(x0，y0)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，则AC所在直线的斜率k＝eq\f(1－y0,1－x0)＝eq\f(2,1)，∴1×(1－y0)－2(1－x0)＝0，得y0＝2x0－1，∴A(x0，2x0－1)，又C(1，1)，则AC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x0,2)，x0))，∵AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则AC的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x0,2)，x0))在直线x＋y－1＝0上，∴eq\f(1＋x0,2)＋x0－1＝0，解得x0＝eq\f(1,3)，∴点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3))).故选A.6．现有下列四个命题：甲：直线l经过点(0，－1)；乙：直线l经过点(1，0)；丙：直线l经过点(－1，1)；丁：直线l的倾斜角为锐角．如果只有一个假命题，则假命题是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案C解析设A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，1)，则kAB＝eq\f(－1－0,0－1)＝1，kBC＝eq\f(1－0,－1－1)＝－eq\f(1,2)，因为kAB≠kBC，所以A，B，C三点不共线，所以假命题必是甲、乙、丙中的一个，丁是真命题，即直线l的斜率大于0，而kAB>0，kBC<0，kAC<0，故丙是假命题．故选C.7．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab，又因为a>0，b>0，所以eq\f(1,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以直线eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1在x轴与y轴上的截距之和为b＋a＝(b＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,a)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b＝2时取等号，所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.故选D.8.(2023·安徽江南十校模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0° B．1°C．2° D．3°答案C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°，知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案ABC解析因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－eq\f(1,3)，知直线l的斜率为eq\f(1,3)，可得直线l的方程为y－2＝eq\f(1,3)(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为eq\f(1,3)的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝eq\f(π,2)时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－sinα)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－cosα)))＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，D正确．故选BD.11．(2023·广东珠海二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点(0，0)，设直线AB的倾斜角为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，斜率为k，①若CD所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC|＝sinα，|CD|＝2cosα，因为|BC|＝|CD|，即sinα＝2cosα，所以k＝tanα＝2；②若CD所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC|＝2sinα，|CD|＝3cosα，因为|BC|＝|CD|，即2sinα＝3cosα，所以k＝tanα＝eq\f(3,2)；③若CD所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC|＝4sinα，|CD|＝cosα，因为|BC|＝|CD|，即4sinα＝cosα，所以k＝tanα＝eq\f(1,4).综上所述，k的值可能为2，eq\f(3,2)，eq\f(1,4).故选ABD.三、填空题12．若直线l的一个方向向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)，cos\f(π,7)))，则直线l的倾斜角θ＝________．答案eq\f(5π,14)解析∵直线l的一个方向向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)，cos\f(π,7)))，∴直线l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,7),sin\f(π,7))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,7))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,7))))＝eq\f(sin\f(5π,14),cos\f(5π,14))＝taneq\f(5π,14)，∴直线l的倾斜角θ＝eq\f(5π,14).13．在△ABC中，已知A(1，1)，AC边上的高线所在的直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在的直线方程为3x＋2y－3＝0.则BC边所在的直线方程为________．答案2x＋5y＋9＝0解析由题意，得kAC＝－2，kAB＝eq\f(2,3)，∴lAC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，lAB：y－1＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y＋1＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，,3x＋2y－3＝0，))得C(3，－3)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,x－2y＝0，))得B(－2，－1)，∴lBC：2x＋5y＋9＝0.14．(2023·重庆育才中学期末)在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，点P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确算得OE的方程：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0，则OF的方程为________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0解析由题意，C(c，0)，P(0，p)，则CP的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,p)＝1，同理，AB的方程为eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1，两直线方程相减，得OF的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0.四、解答题15．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线DE的方程．解(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，所以直线BC的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.因为直线l过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，所以eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1，故1＝eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(8,3ab))⇒ab≥eq\f(32,3)，故S△OAB＝eq\f(1,2)ab≥eq\f(16,3)，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3a)＝\f(2,b)，,\f(4,3a)＋\f(2,b)＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,3)，,b＝4))时取等号，此时直线l的方程为eq\f(3x,8)＋eq\f(y,4)＝1，故(S△OAB)min＝eq\f(16,3)，此时直线l的方程为3x＋2y－8＝0.(2)假设存在满足条件的直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3a)＋\f(2,b)＝1，,a＋b＋\r(a2＋b2)＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝\f(9,2)，))故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.第2讲两条直线的位置关系与距离公式[课程标准]1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2eq\x(\s\up1(02))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直eq\x(\s\up1(03))k1·k2＝－1eq\x(\s\up1(04))A1A2＋B1B2＝0相交eq\x(\s\up1(05))k1≠k2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1≠02.两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\x(\s\up1(08))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．1．三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0.(3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．2．五种常见的对称(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．1．(人教A选择性必修第一册习题2.2T8改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案A解析因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点(1，0)，得出c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A.2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12 B．－2C．0 D．10答案A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.解得p＝－2.又因为垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，所以2＋10＋n＝0，解得n＝－12.故选A.3．(人教A选择性必修第一册习题2.3T9改编)若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.eq\r(5) B.eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(5)答案A解析联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∵三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，∴m＋2n＝5.则点(m，n)到原点的距离的最小值为原点到直线x＋2y＝5的距离d＝eq\f(5,\r(12＋22))＝eq\r(5).故选A.4．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案C解析点B(2，10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B经过的路程为|AB′|＝eq\r(（－3－2）2＋[5－（－10）]2)＝5eq\r(10).故选C.5．已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则a＝________，此时l1与l2之间的距离为________．答案－1eq\r(2)解析由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意．所以a＝－1，此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1与l2的距离d＝eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2).考向一平行与垂直问题例1(1)(2023·重庆模拟)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0相互平行，则实数m的值是()A．－4 B．1C．－1 D．6答案A解析∵l1∥l2，∴(m－2)(m＋2)＝－3m，解得m＝－4或m＝1，当m＝1时，直线l1与直线l2重合，舍去，经检验m＝－4符合题意．故选A.(2)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．答案0或1解析解法一：l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－（－2）)＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－（－1）,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为0或1.解法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3a)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(a，1－2a)，由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(PQ,\s\up6(→))可知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1.两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论．1.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的值可以为()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,3)答案ABC解析若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线．①若三条直线交于一点，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(1,3)，))代入mx－y－1＝0得－m＋eq\f(1,3)－1＝0，∴m＝－eq\f(2,3)；②若存在平行直线，则3m＝2或3m＝－4，解得m＝eq\f(2,3)或m＝－eq\f(4,3).综上可知，m的可能取值为－eq\f(4,3)，－eq\f(2,3)，eq\f(2,3).故选ABC.2．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．答案4x－3y＋9＝0解析解法一：由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝eq\f(4,3).由点斜式得所求直线方程为y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.解法三：由题意知直线x－3y＋4＝0不满足条件，设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得，所求直线方程为4x－3y＋9＝0.考向二距离公式的应用例2(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)答案C解析因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).故选C.(2)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则eq\r(a2＋b2)的最小值为________．答案3解析∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，而eq\r(a2＋b2)的几何意义是坐标平面内原点与点M间的距离，其最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离，∴(eq\r(a2＋b2))min＝eq\f(15,\r(32＋42))＝3.1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．1.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案B解析由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝eq\r(2).故选B.2．已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．答案4x－y－2＝0或x＝1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题设有eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.此时直线方程为4x－y－2＝0；若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.考向三共点直线系例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．解(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线l在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意．故k的取值范围是[0，＋∞)．共点直线系中定点的求解方法(1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)＋kg(x，y)＝0的形式．(2)解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0，))若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点．已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0.(1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围．解(1)证明：直线方程可化为(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2y－1＝0，,3x－y＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))所以直线恒过定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).因为点M在第一象限，所以无论a为何值，直线总过第一象限．(2)当a＝2时，直线方程为x＝eq\f(1,5)，显然不经过第二象限；当a≠2时，直线方程化为y＝eq\f(3a－1,a－2)x－eq\f(1,a－2).直线不经过第二象限的充要条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,a－2)≥0，,－\f(1,a－2)≤0，))解得a>2.综上，a的取值范围为[2，＋∞)．多角度探究突破考向四对称问题角度点关于点的对称例4过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度点关于直线的对称例5在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．解(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′，AB′的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0.设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0.①又线段BB′的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在直线l上，故3a－b－6＝0.②由①②，解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))可得P0(2，5)．所以满足条件的点P的坐标为(2，5)．(2)设点C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).连接AC′交直线l于P1，在直线l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))解得P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).所以满足条件的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).角度直线关于直线的对称例6光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))∴反射点M的坐标为(－1，2)．取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，点Q在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)（x0－5）－y0＋7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程组解题．注意：“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．“线关于线对称”转化为“点关于线对称”即可．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x－1,2)－3·\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(a＋2,2)－3·\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)·\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.解法二：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.课时作业一、单项选择题1．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝()A．4 B．2C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案A解析直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋4，,y＝x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(8,3)，))由于该点在直线y＝kx上，故eq\f(2k,3)＝eq\f(8,3)，解得k＝4.故选A.2．(2024·毕节市模拟)直线l1：x＋(1＋a)y＝1－a(a∈R)，直线l2：y＝－eq\f(1,2)x，下列说法正确的是()A．∃a∈R，使得l1∥l2B．∃a∈R，使得l1⊥l2C．∀a∈R，l1与l2都相交D．∃a∈R，使得原点到l1的距离为3答案B解析对于A，要使l1∥l2，则k1＝k2，所以－eq\f(1,1＋a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝1，此时l1与l2重合，所以A错误；对于B，要使l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,1＋a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－eq\f(3,2)，所以B正确；对于C，当a＝1时，l1与l2重合，所以C错误；对于D，原点到l1的距离d＝eq\f(|1－a|,\r(12＋（1＋a）2))＝3，化简得8a2＋20a＋17＝0，此方程Δ<0，a无实数解，所以D错误．故选B.3．(2023·东北师大附中二模)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为()A．－1 B．－5C．1 D．5答案B解析由(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可得(x＋y－3)λ＋2x－y＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,2x－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故直线l过定点A(1，2)，当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，因为kOA＝2，所以直线l的斜率为－eq\f(1,2)，即－eq\f(1,2)＝－eq\f(λ＋2,λ－1)，解得λ＝－5.故选B.4．(2023·青岛三模)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为()A．－2 B．－1C．－1或3 D．3答案B解析由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋3＋3,3)，\f(0＋0＋3,3)))，即(1，1)，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋3,2)，\f(0＋3,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，所以可得△ABC的欧拉线方程为eq\f(y－1,\f(3,2)－1)＝eq\f(x－1,0－1)，即x＋2y－3＝0，因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，所以eq\f(a,1)＝eq\f(a2－3,2)≠eq\f(－9,－3)，解得a＝－1.故选B.5.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3eq\r(3) B．6C．2eq\r(10) D．2eq\r(5)答案C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).故选C.6．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线所在的直线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是()A．y＝3x＋5 B．y＝2x＋3C．y＝2x＋5 D．y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(5,2)答案C解析点A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.7．(2024·江西八所重点高中模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是()A.eq\r(5) B．4C．5 D．6答案B解析设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(x,2)－4×\f(y－2,2)＋3＝0，,\f(y＋2,x)×\f(1,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(11,5)，,y＝\f(12,5)，))所以A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，\f(12,5)))，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝eq\r(\f(256,25)＋\f(144,25))＝4，当且仅当点P为线段A′B与直线2x－4y＋3＝0的交点时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最小值是4.故选B.8．(2023·南京师大附中模拟)已知实数a>0，b<0，则eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))的取值范围是()A．[－2，－1) B．(－2，－1)C．(－2，－1] D．[－2，－1]答案A解析根据题意，设直线l：ax＋by＝0，点A(1，－eq\r(3))，那么点A(1，－eq\r(3))到直线l的距离d＝eq\f(|a－\r(3)b|,\r(a2＋b2))，因为a>0，b<0，所以d＝eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，且直线l的斜率k＝－eq\f(a,b)>0.当直线l的斜率不存在时，d＝eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))＝1；当OA⊥l时(O为坐标原点)，d＝|OA|＝eq\r(1＋3)＝2，所以1<d≤2，即1<eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))≤2，因为eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))＝－eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，所以－2≤eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))<－1.故选A.二、多项选择题9．(2023·浙江温州期中)若两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8互相平行，则()A．m＝－7B．m＝－1C．l1与l2之间的距离为eq\f(21\r(2),4)D．与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0答案ACD解析因为两直线l1与l2互相平行，所以(3＋m)(5＋m)＝4×2，解得m＝－7或m＝－1.当m＝－7时，l1：2x－2y＋13＝0，l2：2x－2y－8＝0，此时两直线l1与l2互相平行，符合题意；当m＝－1时，l1：x＋2y－4＝0，l2：x＋2y－4＝0，此时两直线l1与l2重合，不符合题意．综上，当两直线l1与l2互相平行时，m＝－7，故A正确，B错误．l1：2x－2y＋13＝0与l2：2x－2y－8＝0的距离为eq\f(|13＋8|,\r(4＋4))＝eq\f(21\r(2),4)，故C正确．设与l1，l2距离相等的点为(x，y)，则eq\f(|2x－2y＋13|,\r(4＋4))＝eq\f(|2x－2y－8|,\r(4＋4))，整理得4x－4y＋5＝0，所以与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0，故D正确．故选ACD.10．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是()A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°B．对任意的k，l1与l2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案AC解析对于A，存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误；对于B，直线l1：x－y－1＝0经过点(0，－1)，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，即k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故B正确；对于C，当k＝－eq\f(1,2)时，动直线l2的方程为eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)y－eq\f(1,2)＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误；对于D，若两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选AC.11．(2023·重庆一中高三期中)若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于()A.eq\f(16,17) B.eq\f(36,5)C.eq\f(26,5) D.eq\f(196,53)答案ABD解析当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点C的直线为l1：y＝k(x－1)和l2：y＝k(x－4)，则过点B和点D的直线为l3：y＝－eq\f(1,k)(x－2)和l4：y＝－eq\f(1,k)(x－8)，其中l1和l2的距离与l3和l4的距离相等，即eq\f(|3k