广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，根据集合交集的概念与运算，可得.故选：B.2.设复数满足（是虚数单位），则（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以.故选：D.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A．4.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.077小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A.平均数 B.中位数 C.极差 D.标准差〖答案〗B〖解析〗实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：，中位数为：，极差为：，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：，中位数为：，极差为：，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B.5.已知m，n是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A.，，，则B.，，，则C.，，，则D.，，，则〖答案〗C〖解析〗对于由线面平行的性质定理可知正确；对于,，，或者，又则，故正确；对于,由，，，则或者与相交或者异面，则不一定成立，故错误；对于,若，，，则与一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使与相交，设与确定的平面为，则与和的交线所成的角即为和所成的角，又，所以与所成的角为，故正确.故选：.6.在梯形中，若，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，化简得，即，则.故选：A.7.已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，，当且仅当时，取等号，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以，故B错误；对于C，，当且仅当，即时，取等号，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以，故D错误.故选：C.8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，且，即是偶函数，当时，，构造，，令，则在上单调递增，又也是增函数，则在上单调递增，又是定义域内的增函数，故在上单调递增，不等式等价于，即，平方得：，解得且，则不等式的解集为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于对称C.的图象关于对称 D.在上单调递减〖答案〗AC〖解析〗由题意，在中，，A正确；∵函数关于对称，∴在中，，解得：，当时，，故B错误；在函数中，函数关于对称，在中，，解得：，当时，，C正确；在函数中，函数在上单调递减，在中，当函数单调递减时，，解得：，∴在上单调递减，在在上单调递增，D错误.故选：AC.10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（）A.事件是必然事件 B.事件与事件是互斥事件C.事件包含事件 D.事件与事件是相互独立事件〖答案〗ACD〖解析〗事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有：，事件C的基本事件有：，事件AC的基本事件有：，A：事件是必然事件，故正确；B：因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；C：因为，所以事件包含事件，故正确；D：因为，所以，所以事件与事件是相互独立事件，故正确.故选：ACD.11.用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（）A. B.为奇函数C.，使得 D.方程所有根的和为〖答案〗AD〖解析〗对于A，，正确；对于B，举反例，当时，，而，所以，故函数不是奇函数，错误；对于C，根据的定义，可知对，有，所以，所以，错误；对于D，即，所以，即，又，所以，解得，当时，满足方程，即是方程的根，当时，，方程化为，解得，故方程所有根的和为，正确.故选：AD.12.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（）A.B.三棱锥的体积不变C.的最小值为D.当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为〖答案〗ABD〖解析〗连接，如图所示，直三棱柱中，，为正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；设，，，，，，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；当是的中点时，，，，，，，，设点到平面的距离为，由，得，，直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_____________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，由题意，圆锥的母线长为，且其侧面展开图是圆心角为的扇形，则底面周长为，解得，则该圆锥的体积为.故〖答案〗为：.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）.参考数据：，.〖答案〗〖解析〗在中，，，米，则，因为，所以米，在中，，则，所以米.故〖答案〗为：.16.四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为______.〖答案〗〖解析〗因为，，又点分别是的中点，所以，所以，，又，所以，又点分别是的中点，所以，因为，所以，即，设，，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，其中，且.（1）求；（2）若，求的值域.解：（1），，得.（2），，，当时，即，函数取得最小值，当时，即，函数取得最大值，所以函数值域是.18.在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的面积.解：（1）因为中，，由正弦定理可得，得，因为，所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，因为，，所以，所以，因为，所以，，所以的面积为.19.已知函数（且）在上的最大值为.（1）求的值；（2）当时，，求实数的取值范围.解：（1）当时，函数在上单调递增，则，解得；当时，函数在上单调递减，则，舍去；综上可知，.（2）由（1）得，，当时，，即，化简得，，构造，，和分别在上单调递增，在上单调递增，，故实数的取值范围是.20.某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率.解：（1）由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数，因为前三组频率之和为，第四组的频率为，，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x，则，解得，所以第75百分数约为.（2）采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间，，三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为，从技术参数位于区间产品应抽取件，记为，从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为，从这6件产品中任选3件产品，样本空间，则，事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三在这三组分别抽取1件，2件，0件，则，，所以.21.如图，三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，且，，，平面平面，点是的中点.（1）证明：平面平面；（2）点是圆上的一点，且点与点位于直径的两侧.当平面时，画出二面角的平面角，并求出它的正切值.解：（1）因为点C在圆O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解法一：取AC的中点M，连接PM，则，由（1）可知平面平面ABC，平面平面，平面ABC，连接OM，OE，OF，则OM是中BC边的中位线，，平面ABC，，即PM，AC，OM两两垂直，以M为原点，AC，OM，PM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O，E分别是AB，PB的中点，连接BM，取BM的中点N，连接EN，则有，平面ABC，平面ABC，平面ABC，，过N点作FB的垂线，得垂足S，平面ENS，平面ENS，，就是二面角的平面角；平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面，平面平面PAC，又平面EFO，平面PAC，又平面平面，平面，，其中，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得，可得；显然平面ABC的一个法向量，设平面ABC与平面EFB的二面角为，则，综上，二面角的余弦值为，正切值为.解法二：取的中点，连接，如下图所示：又点是的中点，所以，平面，平面，所以平面；又是的中点，所以，平面，平面，所以平面；平面，所以可知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又平面，所以平面，又在平面内，所以三点共线，即；所以四边形为直角梯形，易知，作于点，如下图所示：则，，所以；取的中点为，连接，作交于点，连接，由（1）可知平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；所以即为二面角的平面角，也即的平面角；在四边形中，交于点，如下图所示：易知，，，可得，所以；又，所以；即二面角的正切值为.22.已知函数，，与的图象恰有三个交点.（1）求实数的取值范围；（2）用表示中的最大值，设函数，用M，m分别表示的最大值与最小值，求M，m，并求出的取值范围.解：（1）由题意得，显然，且是函数与的图象的一个交点，当时，在上恒成立，与的图象无交点，在上，与的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当时，与的图象有且仅