广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题只有一项是符合要求，共8小题，每小题5分，共40分）1.已知，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗求导得：，所以，即，解得：.故选：C2.已知五个区域A，B，C，D，E依次相邻，如图所示，现在给这5个区域涂色，要求相邻的两个区域不能涂相同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（）A.1140 B.1200 C.1280 D.1400〖答案〗C〖解析〗依题意，分5步依次对涂色，所以不同的涂色方法有（种）.故选：C3.设函数y＝xsinx＋cosx的图象上点P(t，f(t))处的切线斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗可得：．可得：，由于，函数是奇函数，排除选项，C；当时，，排除选项D．故选：B4.要从某小组6名男生和3名女生中随机选出3人去参加社会实践活动，则抽取的3人中，男生至少为1人的选法种数为（）A.55 B.63 C.65 D.83〖答案〗D〖解析〗男生至少为人的反面是人全是女生，总数为，人全是女生为，所以共有种.故选：D.5.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（）A.B.CD.〖答案〗A〖解析〗由图形可知，在点处的切线斜率大于割线的斜率，割线的斜率大于在点处的斜率，且都大于零，即，则．故选：A．6.在的展开式中，项的系数为（）A.10 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗由二项式定理，得的展开式中，项的系数为：．故选：C．7.展开式中，的系数为（）A.15 B.20 C.30 D.40〖答案〗C〖解析〗，，所以的系数为．故选：C．8.已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，当时，，故函数在上为减函数.又因是R上的奇函数，由可知是R上的偶函数，故在上是增函数.因，，，，，，则，故得，即，故.故选：D.二、多选题（本大题有多项是符合要求的，全部选对6分，有选错0分，部分选对得部分分，共3小题，每小题6分，共18分）9.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种〖答案〗ABC〖解析〗安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确；选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）.判断错误.故选：ABC10.下列不等式中，对任意的恒成立的是（）A B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，令，，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即恒成立，所以对任意的恒成立，A正确；对于B，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以对任意的恒成立，故B错误；对于C，令，，则，令，易知，使，即，，当时，，单调递减；当,时，，单调递增；所以，所以，即对任意的恒成立，C正确；对于D，令，，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又因为，所以，即，所以，即，所以，D错误．故选：AC．11.关于函数，下列判断正确的是（）A.是的极小值点B.函数图像上的点到直线的最短距离为C.函数有且只有1个零点D.不存在正实数k，使成立〖答案〗AB〖解析〗对A：函数的定义域为，，当时，；当时，；故函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故A正确；对B：设直线与函数的图像相切，切点坐标为，由，可得，解得，所以，即切点为，则切点到直线的距离为，即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；对C：因，所以，当时，；当时，；故函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以函数不存在零点，故C不正确，对D：由选项C可知：，即恒成立，所以存在正实数k，使恒成立，故D错误．故选：AB．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.若质点按照规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在时的瞬时速度为______．〖答案〗28〖解析〗，则，．故〖答案〗为：28．13.已知，则______．〖答案〗10〖解析〗由两边求导得，，取，可得：.故〖答案〗为：10.14.已知，是的导函数，即，，，，，若当时，，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗根据题意，可得，，，，，，依此规律，可得：．所以，由，可得．所以当时，，即为当时，，即时，恒成立，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，即的取值范围是．故〖答案〗为：四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤），15.在①只有第5项的二次式系数最大；②第3项与第7项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为．从以上三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面问题．已知，，若的展开式中，______．（1）求的值；（2）求的系数；（3）求的值．解：（1）选择①时，只有第5项的二次式系数最大，则二项展开式共有9项，故；选择②时，有，由组合数的性质可得，；选择③时，因所有二项式系数的和为，解得.（2）由（1）可得，其通项公式为：，由可得，故的系数即为；（3）由通项知为负数，为正数.在中，取，可得，，取，可得，①，取，可得，②，由：，将代入整理得，；由:,整理得，，而.16设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.解：（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.17.2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛，为确保马拉松赛事顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务．（1）求甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站的概率；（2）为了解志愿者服务队的工作效果，将四名工作人员随机分派到A，B，C三个站点进行抽查，每人被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率．解：（1）由题意可知，甲队和乙队共有种不同的安排方法，甲队只去首尾的饮水点，且乙队只去与甲队不相邻的服务站，共有种，所以所求概率为；（2）将四名工作人员随机分派到，，三个站点进行抽查，共有种不同的安排方法，三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员，共有种不同的安排方法，所以所求概率为．18.2024年是龙年，为了弘扬中华传统文化，和增添节日氛围，某校在春季学期开学典礼时举行了舞龙活动．现2班的同学接受了设计舞龙服装的任务，如图，有一块半椭圆形布料，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划先将此块布料切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（1）求面积以为自变量的函数关系式，并写出其定义域；（2）求梯形布料面积的最大值．解：（1）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），易知椭圆的方程为：，因为是半椭圆的短轴，的端点在椭圆上，且，所以，,，所以；（2）因为，令，则，又因为，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，所以．即梯形面积的最大值为．19.已知定义在正实数集上的函数，．（1）设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标；（2）在（1）的条件下，求证：；（3）若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．解：（1）函数的定义域为，设曲线的公共点，求导得，依题意，，即，由，得，，