广东省佛山市S6高质量发展联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市S6高质量发展联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知函数的图象上一点及附近一点，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题有：.故选：D.2.在数列中，若，则（）A.17 B.23 C.25 D.41〖答案〗D〖解析〗，故.故选：D3.已知函数，则的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，函数的定义域为，由，排除选项A、D；当时，，所以，故排除选项B.故选：C4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），则当时，需要（）步“雹程”？A.13 B.16 C.19 D.21〖答案〗B〖解析〗时，根据上述运算法则得出：共需经过16个步骤变成1.故选：B5.已知函数，则经过点且与曲线在该点切线垂直的直线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，又，所以所求直线方程为，即.故选：B6.用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么，因此，，令得，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，时，取得极大值，并且这个极大值即是最大值．把代入，得（负值舍去），由，解得，即圆心角为弧度时，容器的容积最大.故选：A.7.已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，因为即，则，所以在上单调递增，故若，即，即，由单调性可得，，所以不等式的解集为.故选：B.8.经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，消去整理得，令，则，所以在上单调递增，又，所以方程组的解为，即曲线与的公共点的坐标为，设与和分别相切于，，而，，，，，解得，，即公切线的斜率为，故与垂直的直线的斜率为，所以所求直线方程为，整理得．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知首项为正数的等差数列的前项和为，公差为，若则（）A. B.若，则C.时，的最小值为27 D.最大时，〖答案〗ABC〖解析〗对于A，首项为正数的等差数列的前项和为，所以，若，则一定大于零，不符合题意，所以，，故A正确；对于B，由，，可得，即，解得，故B正确；对于C，，，所以时，的最小值为27，故C正确；对于D，由A可知，因为，，可知，即当时，，当时，，所以时，取最大值，故D错误.故选：ABC.10.数列1，1，2，3，5，8，13…是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前项和为，则（）A. B.是偶数C. D.〖答案〗AB〖解析〗依题意可得，，，，，，，，，，可得A正确；由上述计算，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，而，可得是偶数，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选：AB．11.已知定义在实数集上的函数的导函数为，且满足，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗易知，故，故，则，而对于，两侧同时求导得，故可视为以为首项，以1为公差的等差数列，故，其前项和为，对于A，显然，故A正确，对于B，显然，故B正确，对于C，显然，故C错误，对于D，显然，故D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则_________．〖答案〗〖解析〗由题，所以，则.故〖答案〗为：.13.已知函数在处取得极小值，且，若值域为，则其定义域可以为_____________．（写出一个符合条件的即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗由题意知，，因为函数在处取得极小值，且，所以，解得，所以，令或，所以函数在上单调递减，在、上单调递增，故函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，令，则，解得，若满足的值域为，则定义域可以为.故〖答案〗为：(〖答案〗不唯一)14.若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为_________________．〖答案〗〖解析〗由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，设数列的前项的和为，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当的图象与轴相切时，求实数的值；（2）若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围．解：（1）由题意设切点为，，则，解得，所以；（2）函数的定义域为，关于的方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，即函数的图象有两个不同的交点，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，且，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，所以.16.已知数列的首项，前项和为，且，．（1）证明：数列为等差数列，并求通项公式；（2）设数列，求数列的前项和．解：（1）因为，所以，因为，即，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以；（2）由（1），当时，，所以，又适合上式，所以，所以，所以，．17.已知等比数列的前项和为，，数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求的前项和．解：（1）因为，所以公比，由，即，解得，所以；由，得，两式相减，得，所以，当时，满足上式，故.（2）由（1）知，，，所以，，，两式加减，得，所以.18.已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）若函数，且是的两个极值点，求的最小值．解：（1）因为，则，，当时，，则函数在单调递增，当时，，当，，则单调递减，当，，则单调递增，综上所述，当时，函数上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）因为，，则，因为函数有两个极值点，所以方程在上有两个不等实根，则，即，且，，所以，所以，令，则，所以，可得函数上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值，即最小值，且，此时，即时，取得最小值.19.已知函数．（1）若关于的不等式对于恒成立，求的最大值；（2）已知，证明：．解：（1）由不等式对于恒成立，知