2025年高考数学一轮复习-第三章-第六节-函数的图象【课件】

必备知识·逐点夯实第六节函数的图象第三章函数及其应用核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题.【核心素养】逻辑推理、直观想象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题考查函数图象的识别、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质,已知函数解析式选择函数图象是高考热点,常以选择题形式出现.预测预计2025年高考函数图象仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,题目的难度起伏较大.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的________.(2)化简函数的________.(3)讨论函数的______,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).(4)描点连线,画出函数的图象.定义域解析式性质2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y=f(x)

y=______.②y=f(x)y=______.(3)对称变换①y=f(x)y=_____.②y=f(x)y=_____.③y=f(x)y=______.④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).f(ax)af(x)-f(x)f(-x)-f(-x)(4)翻折变换①y=f(x)y=______.②y=f(x)y=______.|f(x)|f(|x|)

常用结论

1.记住几个重要结论(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.基础诊断·自测1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(

)(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(

)(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.(

)(4)函数y=lgx的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x).(

)类型辨析改编易错高考题号1243×××√提示:(1)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同.×(2)当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同.×(3)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.×2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(

)A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)【解析】选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).

(0,+∞)核心考点·分类突破

[例1]作出下列函数的图象:(2)y=|log2(x+1)|;【解析】(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.

解题技法函数图象的常见画法(1)描点法作图:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.

作出下列各函数的图象:(4)y=sin|x|.【解析】(4)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,故图象如图④所示.考点二函数图象的识别考情提示函数图象作为高中数学的一个“重头戏”,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器,已经成为高考命题的一个热点.在高考中经常以几类初等函数图象为基础,结合函数性质综合考查,多以选择、填空题形式出现.

解题技法

根据函数解析式辨别图象的基本方法角度2

知图选式——根据图象辨别函数解析式[例3](1)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=x+sinx B.f(x)=x2sinxC.f(x)=x2+sinx

D.f(x)=xsinx【解析】选B.若f(x)=x+sinx,则f'(x)=1+cosx≥0,所以f(x)=x+sinx在R上单调递增,故排除A;因为f(x)=x2+sinx为非奇非偶函数,所以排除C;因为f(x)=xsinx为偶函数,所以排除D.

解题技法由函数图象确定其解析式的基本方法(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照.(2)从图象的增减变化趋势,分析函数的单调性,与函数解析式对照.(3)从图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与函数解析式对照.(4)从图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与函数解析式对照.角度3

知图选图——根据图象辨别函数的图象[例4](2023·汕头模拟)若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为(

)【解析】选C.y=f(x)的图象

y=f(x+1)的图象

y=-f(x+1)的图象.解题技法

若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.角度4

借助动点探究函数的图象[例5]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(

)

解题技法

根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法(1)定量计算法:根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象.(2)定性分析法:采用“以静观动”,即判断动点处于不同的特殊位置时图象的变化特征,从而利用排除法做出选择.

2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=xsinπxB.f(x)=(x-1)sinπxC.f(x)=xcos[π(x+1)]D.f(x)=(x-1)cosπx【解析】选B.对于A,f(-x)=-xsin(-πx)=xsinπx=f(x),所以函数f(x)=xsinπx为偶函数,故排除A;对于C,f(x)=xcos[π(x+1)]=-xcosπx,则f(-x)=xcosπx=-f(x),所以函数f(x)=xcos[π(x+1)]为奇函数,故排除C;对于D,f(0)=-1≠0,故排除D.3.函数f(x)=xlnx的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为(

)【解析】选D.方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln2>0,排除B.方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f(-(x-1))=f(1-x)的图象.4.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是(

)【解析】选C.当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.考点三函数图象的应用[例6](1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(

)A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)

(2)不等式log2(-x)<x+1的解集为

.

【解析】设f(x)=log2(-x),g(x)=x+1.函数f(x),g(x)(x<0)在同一坐标系中的图象如图.由图象可知,不等式log2(-x)<x+1的解集为(-1,0).(-1,0)

解题技法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注