第二章　§2.11　函数的零点与方程的解-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.11函数的零点与方程的解课标要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(×)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(×)2．下列函数中，不能用二分法求零点的是()A．y＝2x B．y＝(x－2)2C．y＝x＋eq\f(1,x)－3 D．y＝lnx答案B解析对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点．3．(2023·太原模拟)函数f(x)＝eq\f(3,x)－log2x的零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案C解析函数f(x)＝eq\f(3,x)－log2x在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝eq\f(3,2)－log22＝eq\f(1,2)>0，f(3)＝eq\f(3,3)－log23＝1－log23<0，所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内．4．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,x2－4，x<0))的零点是________．答案1，－2解析根据题意，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,x2－4，x<0，))若f(x)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,x<0，))解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)(2023·宣城模拟)方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)()A．(1,2)B．(2，e)C．(e,3)D．(3,4)答案B解析对于方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0，有x>0，可得x＋lnx－e＝0，令f(x)＝x＋lnx－e，其中x>0，因为函数y＝x－e，y＝lnx均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0，由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0的根所在的区间是(2，e)．(2)用二分法求方程eq\f(lnx,x)－eq\f(e,x)＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为eq\f(1,2n)，故有eq\f(1,2n)<0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．(2)函数f(x)＝log2x＋2x－6，函数f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且n∈N，则n＝________.答案2解析函数f(x)＝log2x＋2x－6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝log22＋22－6＝－1<0，f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0))的零点个数为()A．5B．4C．3D．2答案D解析当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为()A．6B．8C．12D．14答案C解析依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的解，即y＝|log2x|与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x图象的交点，如图所示，从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为________．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，所以x的取值为－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋2，x≤0，,lnx＋1，x>0))的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) B．(0，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)) D．(0,2]答案D解析如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x，由k－x＝x2＋2x＋2可得，x2＋3x＋2－k＝0，Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－eq\f(1,4)，故当k＝－eq\f(1,4)时，直线y＝－eq\f(1,4)－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切；当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)，且与f(x)的图象有3个不同的交点．由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C．(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案B解析由f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x)＝0，可得a＝3x－eq\f(1,x)，令g(x)＝3x－eq\f(1,x)，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－eq\f(1,x)在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－eq\f(1,x)<g(－1)＝3－1＋1＝eq\f(4,3)，又当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－eq\f(1,x)>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.跟踪训练3(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，x>0，,－x2－4x，x≤0，))若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为()A．(0,4) B．(0,3)C．(0,2) D．(0,1)答案A解析作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示，g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0,4)．(2)(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上有零点，则实数a的取值范围是()A．a<－eq\f(1,2) B．a<－eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2)<a<－eq\f(1,2) D．a<－eq\f(3,4)答案D解析当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意；当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上均单调递增，此时函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增；当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上均单调递减，此时函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减．因为函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上有零点，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(1)<0，即3(4a＋3)<0，解得a<－eq\f(3,4).课时精练一、单项选择题1．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是()答案C解析由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.2．(2023·临沂模拟)函数f(x)＝lnx＋2x－5的零点所在的区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案B解析由于y＝lnx，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f(x)＝lnx＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋1>0，即f(2)f(3)<0，故f(x)＝lnx＋2x－5在(2,3)内有唯一零点．3．(2023·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为()x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A.0.55B．0.57C．0.65D．0.7答案B解析易知f(x)在[0,1]上单调递增，由表格得f(0.5625)f(0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函数零点在(0.5625,0.625)内，∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.4．(2023·濮阳模拟)设函数f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是()A．(－1，－log32) B．(0，log32)C．(log32,1) D．(1，log34)答案C解析令f(x)＝0得a＝log3eq\f(x＋2,x)，令h(x)＝log3eq\f(x＋2,x)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)))，由复合函数单调性可知，h(x)在(1,2)上单调递减，h(2)＝log32，h(1)＝log33＝1，故当x∈(1,2)时，h(x)∈(log32,1)，要使f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在区间(1,2)内有零点，则a∈(log32,1)．5．(2023·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N*)，则eq\f(b＋d,a＋c)是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道eq\r(5)＝2.236067…，令eq\f(11,5)<eq\r(5)<eq\f(12,5)，则第一次用“调日法”后得eq\f(23,10)是eq\r(5)的更为精确的过剩近似值，即eq\f(11,5)<eq\r(5)<eq\f(23,10)，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到eq\r(5)的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为()A．五B．四C．三D．二答案A解析第一次用“调日法”后得eq\f(11,5)<eq\r(5)<eq\f(23,10)，不符合题意；第二次用“调日法”后得eq\f(11,5)<eq\r(5)<eq\f(34,15)，不符合题意；第三次用“调日法”后得eq\f(11,5)<eq\r(5)<eq\f(9,4)，不符合题意；第四次用“调日法”后得eq\f(20,9)<eq\r(5)<eq\f(9,4)，不符合题意；第五次用“调日法”后得eq\f(29,13)<eq\r(5)<eq\f(9,4)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(29,13)－\r(5)))<0.01，符合题意，即用“调日法”得到eq\r(5)的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五．6．(2024·安庆模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|lnx|，x>0，,－xex，x<0，))若函数g(x)＝f(x)－|x2－kx|恰有3个零点，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪[1，＋∞)答案A解析由题意得，方程eq\f(fx,|x|)＝|x－k|有三个不相等的实数根．而y＝eq\f(fx,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lnx|，x>0，,ex，x<0，))分别作出函数y＝eq\f(fx,|x|)和y＝|x－k|的图象，当k＝1时，y＝|x－1|；当x≥1时，y＝eq\f(fx,|x|)＝lnx，对其求导得y′＝eq\f(1,x)，所以y′|x＝1＝1，所以曲线y＝lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，如图，直线y＝x－1与曲线y＝lnx在点(1,0)相切．所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是()A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2)答案BCD解析对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；对于B，∵f(x)＝在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－eq\f(3,4)<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确．8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是()A.eq\f(1,9)log32B.eq\f(1,3)log32C．3log23D．9log23答案AD解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，又由函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，得函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1，当a>1时，由图可得loga(5＋2)<1＝logaa，解得a>7；当0<a<1时，由图可得loga(7＋2)>－1＝logaa－1，解得0<a<eq\f(1,9).综上可得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))∪(7，＋∞)，故选项A，D满足条件．三、填空题9．(2024·赣州模拟)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．答案(1,2)解析令f(x)＝x3＋x－5，则f(2)＝8＋2－5＝5>0，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0，由f(1)f(2)<0知根所在区间为(1,2)．10．(2023·南充模拟)设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log3b＝c·log2c＝1，则a，b，c的大小关系为________．答案b>c>a解析由已知可得eq\f(1,a)＝2a，eq\f(1,b)＝log3b，eq\f(1,c)＝log2c，作出y＝eq\f(1,x)，y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象如图所示，则y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象与y＝eq\f(1,x)的图象的交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得b>c>a.11．如果关于x的方程2x＋3x＋4x＝ax(a∈N*)在区间(1,2)内有解，a的一个取值可以为________．答案6(答案不唯一)解析因为2x＋3x＋4x＝ax在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝ax可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))x－1＝0，令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))x－1，因为a>4，所以f(x)在R上单调递减，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1>0，,f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,a)＋\f(4,a)－1>0，,\f(4,a2)＋\f(9,a2)＋\f(16,a2)－1<0，))解得eq\r(29)<a<9，又a∈N*，所以a＝6或a＝7或a＝8.12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥λ，,x2－6x＋8，x<λ))(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________．答案(2,4]∪(5，＋∞)解析作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示，依题意f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥λ，,x2－6x＋8，x<λ))有2个零点，由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)．四、解答题13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq\f(a,2)，3a＞2c＞2b.求证：(1)a＞0且－3＜eq\f(b,a)＜－eq\f(3,4)；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.若a＞0，则－3＜eq\f(b,a)＜－eq\f(3,4)；若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立；若a＜0，则eq\f(b,a)＜－3，eq\f(b,a)＞－eq\f(3,4)，不成立．综上，a＞0且－3＜eq\f(b,a)＜－eq\f(3,4).(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－eq\f(a,2)，Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0.当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0，∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点；当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－eq\f(3,2)a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点．综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点．14．(2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．解(1)f(x)为奇函数，理由如下：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋x>0，,2－x>0，))解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称．又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)由f(x)＝log2(a＋x)，得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x)，所以eq\f(2＋x,2－x)＝a＋x，所以a＝eq\f(2＋x,2－x)－x＝eq\f(4－2－x,2－x)－x＝eq\f(4,2－x)＋(2－x)－3，故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝eq\f(4,2－x)＋(2－x)－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根，即函数y＝a与y＝eq\f(4,2－x)＋(2－x)－3在区间(－2,2)上的图象有两个交点．设t＝2－x，x∈(－2,2)，则y＝eq\f(4,t)＋t－3，t∈(0,4)．作出函数y＝eq\f(4,t)＋t－3，t∈(0,4)的图象，如图所示．当1<a<2时，函数y＝a与y＝eq\f(4,t)＋t－3，t∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，故实数a的取值范围是(1,2)．15．(2023·南通模拟)函数f(x)＝x2023|x|，若方程(x＋sinx)f(x)－ax2＝0只有三个解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则sinx2＋2023x1x3的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(2023，＋∞)C．(－∞，－2023)