第八章　§8.10　圆锥曲线中常见结论及应用-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§8.10圆锥曲线中常见结论及应用重点解读椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．题型一椭圆、双曲线的常用结论及其应用命题点1焦点三角形例1(2023·临川模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝eq\f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为()A．2B．4C．6D．12答案D解析由e＝eq\f(1,2)，得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c.①设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝eq\r(3)(舍负)，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知＝b2tan

eq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(1,2)r(2a＋2c)，即eq\f(\r(3),3)b2＝eq\r(3)(a＋c)，②又a2＝b2＋c2，③联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3eq\r(3)，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.思维升华焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan

eq\f(θ,2)，双曲线中＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).跟踪训练1如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)答案D解析设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，则有aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,1)＝4－1＝3.设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1，又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为beq\o\al(2,1)tan45°＝eq\f(b\o\al(2,2),tan45°)，即beq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＝1.所以aeq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)＝3－1＝2.故双曲线C2的离心率e＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).命题点2周角定理例2已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为()A．－eq\f(1,16)B．－eq\f(1,32)C.eq\f(1,64)D.eq\f(1,1024)答案B解析由椭圆的性质可得＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2).由椭圆的对称性可得＝－eq\f(1,2).同理可得＝－eq\f(1,2).∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5＝－eq\f(1,32).思维升华周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟踪训练2已知直线l：y＝kx与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,2)))答案D解析由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－eq\f(b2,a2)，由椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，即eq\f(\r(3),3)<e<eq\f(\r(2),2)⇔eq\f(\r(3),3)<eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2)⇔eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2－b2,a2)<eq\f(1,2)⇒－eq\f(2,3)<－eq\f(b2,a2)<－eq\f(1,2)，即－eq\f(2,3)<kMA·kMB<－eq\f(1,2).命题点3切线、切点弦方程例3椭圆C1：eq\f(x2,2)＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为()A．1B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．2答案C解析设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为eq\f(x1x,2)＋y1y＝1，令y＝0，可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x1)，0))，令x＝0，可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,y1)))，所以△OCD的面积S＝eq\f(1,2)·eq\f(2,x1)·eq\f(1,y1)＝eq\f(1,x1y1)，又点B在椭圆上，所以eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以S＝eq\f(1,x1y1)＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2)＋y\o\al(2,1),x1y1)＝eq\f(x1,2y1)＋eq\f(y1,x1)≥2eq\r(\f(x1,2y1)·\f(y1,x1))＝eq\r(2)，当且仅当eq\f(x1,2y1)＝eq\f(y1,x1)，即x1＝1，y1＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，所以△OCD面积的最小值为eq\r(2).思维升华(1)已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.(2)若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.跟踪训练3点P为直线l：y＝eq\f(1,4)x＋1上一动点，过P作双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB过定点________．答案(－1，－1)解析设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则PA，PB的方程分别为eq\f(x1x,4)－y1y＝1，eq\f(x2x,4)－y2y＝1，因为点P在两条直线上，所以eq\f(x1x0,4)－y1y0＝1，eq\f(x2x0,4)－y2y0＝1.这表明，点A，B都在直线eq\f(x0x,4)－y0y＝1上，即直线AB的方程为eq\f(x0x,4)－y0y＝1.又y0＝eq\f(x0,4)＋1，代入整理得eq\f(x0,4)(x－y)－(y＋1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))即直线AB过定点(－1，－1)．题型二抛物线的常用结论及其应用与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠0，\f(π,2)))的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则(1)焦半径|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα)，(2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)，(3)S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O为坐标原点)，(4)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．例4(1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，则|AB|的值为()A.eq\f(9,2)B.eq\f(2,9)C．4D．2答案A解析如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由eq\f(1,|BF|)＋eq\f(1,|AF|)＝eq\f(2,p)，得eq\f(1,t)＋eq\f(1,2t)＝eq\f(2,p)⇒t＝eq\f(3,4)p，∴|AB|＝3t＝eq\f(9,4)p，又|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，∴eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(9,4)p⇒sinα＝eq\f(2\r(2),3)，又S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，∴eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(\r(2),3)|AB|，即eq\f(p2,\f(4\r(2),3))＝eq\f(\r(2),3)·eq\f(9,4)p⇒p＝2，∴|AB|＝eq\f(9,2).(2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是()A．4eq\r(2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(4\r(3),3)D.eq\f(8\r(3),3)答案D解析不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限，则yAyB＝－p2＝－8，所以p＝2eq\r(2).又因为|AF|＝3|BF|，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(yA,yB)))＝3，即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8，可得3yeq\o\al(2,B)＝8，由于B在第四象限，则yB＝－eq\f(2\r(6),3)，所以yA＝2eq\r(6)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|OF|·|yA－yB|＝eq\f(8\r(3),3).思维升华焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪训练4(1)斜率为eq\r(3)的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________.答案eq\f(16,3)解析直线l的倾斜角α＝60°，由|AF|＝eq\f(p,1－cosα)＝4，得p＝4(1－cosα)＝2，∴|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(4,\f(3,4))＝eq\f(16,3).(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq\f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．答案64解析依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝eq\f(π,6).所以S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(82,2sin

\f(π,6))＝64.(3)(2023·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为________．答案3＋2eq\r(2)解析因为p＝2，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))＝3＋eq\f(2|AF|,|BF|)＋eq\f(|BF|,|AF|)≥3＋2eq\r(\f(2|AF|,|BF|)·\f(|BF|,|AF|))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当|BF|＝eq\r(2)|AF|，即|AF|＝eq\f(\r(2),2)＋1，|BF|＝eq\r(2)＋1时，等号成立，因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2eq\r(2).课时精练一、单项选择题1．(2023·太原模拟)过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(FN,\s\up6(→))，|MN|＝9，则λ的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)或3D.eq\f(1,2)或2答案D解析在抛物线中，由焦点弦的性质可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,|MF|)＋\f(1,|NF|)＝\f(2,p)＝\f(1,2)，,|MF|＋|NF|＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|MF|＝6，,|NF|＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|MF|＝3，,|NF|＝6，))所以λ＝2或eq\f(1,2).2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形MF1NF2的面积为8a2，则C的离心率是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C．3D．5答案B解析如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵|F1F2|＝|MN|，∴四边形MF2NF1为矩形，∴＝4a2，又＝eq\f(b2,tan\f(π,4))＝4a2，即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).3．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10答案A解析如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则直线l2的倾斜角为eq\f(π,2)＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(4,sin2θ)，|DE|＝eq\f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(4,cos2θ)，∴|AB|＋|DE|＝eq\f(4,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)＝eq\f(4,sin2θcos2θ)＝eq\f(16,sin22θ)≥16，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,4)时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.4．(2023·石家庄模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3答案A解析如图，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－eq\f(1,k)，依题意，kPB·kPA＝eq\f(b2,a2)，∴－eq\f(1,k)·(－k)＝eq\f(b2,a2)，∴eq\f(b2,a2)＝1，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2).5．直线l过抛物线C：y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点且S△ABO＝3eq\r(3)，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为()A．4eq\r(3)B．8eq\r(3)C．16eq\r(3)D．32eq\r(3)答案C解析不妨令直线l的倾斜角为θ，则S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(9,2sinθ)＝3eq\r(3)，∴sinθ＝eq\f(\r(3),2)，取θ＝60°，∴|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)＝6，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)＝2，∴|AB|＝8，|AA′|＝6，|BB′|＝2，|A′B′|＝|AB|sinθ＝4eq\r(3)，∴S四边形ABB′A′＝eq\f(1,2)(|BB′|＋|AA′|)·|A′B′|＝eq\f(1,2)×(2＋6)×4eq\r(3)＝16eq\r(3).6．已知F为椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为()A．3B．2C．1D．0答案D解析由已知可得F(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)，则切线AM，AN的方程分别为eq\f(x1x,3)＋eq\f(y1y,2)＝1，eq\f(x2x,3)＋eq\f(y2y,2)＝1，因为切线AM，AN过点A(3，t)，所以x1＋eq\f(ty1,2)＝1，x2＋eq\f(ty2,2)＝1，所以直线MN的方程为x＋eq\f(ty,2)＝1，因为F(1,0)，所以1＋eq\f(t×0,2)＝1，所以点F(1,0)在直线MN上，所以M，N，F三点共线，所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.二、多项选择题7.已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是()A．线段AB长度的最小值为2B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切C．∠HFG＝90°D．∠AMO＝∠BMO答案BCD解析如图，取AB的中点E，作ED⊥GH，垂足为D，当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确；∵直线y＝－1为准线，∴|ED|＝eq\f(1,2)(|AH|＋|BG|)＝eq\f(1,2)|AB|，故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切，故B正确；又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，∴∠BFG＝∠MFG，同理可得∠AFH＝∠MFH，又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH.即∠HFG＝90°，故C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率存在，∴设直线AB：y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，kAM＋kBM＝eq\f(y1＋1,x1)＋eq\f(y2＋1,x2)＝eq\f(kx1＋2,x1)＋eq\f(kx2＋2,x2)＝2k＋eq\f(2x1＋x2,x1x2)＝2k＋2·eq\f(4k,－4)＝0，∴∠AMO＝∠BMO，故D正确．8．(2024·广州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A．双曲线C的离心率为2B．若PF1⊥PF2，且＝3，则a＝2C．以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D．若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1答案ACD解析对于A，由＝eq\f(b2,a2)＝3，得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，故A正确；对于B，因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为eq\f(b2,tan\f(π,4))＝b2＝3，又eq\f(b2,a2)＝3，所以a＝1，故B错误；对于C，设PF1的中点为O1，O为原点．因为OO1为△PF1F2的中位线，所以|OO1|＝eq\f(1,2)|PF2|＝eq\f(1,2)(|PF1|＋2a)＝eq\f(1,2)|PF1|＋a，则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则x0<－a，y0>0.因为e＝2，所以c＝2a，b＝eq\r(3)a，则渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，所以∠PA2F1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∠PF1A2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).又tan∠PF1A2＝eq\f(y0,x0＋c)＝eq\f(y0,x0＋2a)，tan∠PA2F1＝－eq\f(y0,x0－a)，所以tan2∠PA2F1＝eq\f(－\f(2y0,x0－a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0－a)))2)＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－y\o\al(2,0))＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)))＝eq\f(－2y0x0－a,x0－a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)))＝eq\f