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文档简介
江苏省苏州市常熟一中2023-2024学年中考数学五模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列各数:π,sin30°,﹣,其中无理数的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同,已知乙车每小时比甲车多行驶15千米,设甲车的速度为千米/小时,依据题意列方程正确的是()A. B. C. D.3.实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为()A.7 B.﹣7 C.2a﹣15 D.无法确定4.下列方程有实数根的是()A. B.C.x+2x−1=0 D.5.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.一个正比例函数的图象过点(2,﹣3),它的表达式为()A. B. C. D.7.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE,则的值是()A.1 B. C.2 D.8.如图所示是由几个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图.若小正方体的体积是1,则这个几何体的体积为()A.2 B.3 C.4 D.59.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是()A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②③10.要使分式有意义,则x的取值范围是()A.x= B.x> C.x< D.x≠二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.已知:a(a+2)=1,则a2+=_____.12.已知一次函数的图象与直线y=x+3平行,并且经过点(﹣2,﹣4),则这个一次函数的解析式为_____.13.如图,在等边△ABC中,AB=4,D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,连接DE交AC于点F,则△AEF的面积为_______.14.如果,那么=_____.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点A,点M是x轴上方抛物线上一点,过点M作MP⊥x轴于点P,以MP为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ的最大值为_________.16.举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和,若其中一项三次挑战失败,则该项成绩为0,甲、乙是同一重量级别的举重选手,他们近三年六次重要比赛的成绩如下(单位:公斤):如果你是教练,要选派一名选手参加国际比赛,那么你会选择_____(填“甲”或“乙”),理由是___________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入﹣管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?18.(8分)如图,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线的距离为2km,点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km.现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处,正沿该航线自西向东航行,5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处.(1)求观测点B到航线的距离;(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h).(参考数据:≈1.73,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)19.(8分)已知四边形ABCD为正方形,E是BC的中点,连接AE,过点A作∠AFD,使∠AFD=2∠EAB,AF交CD于点F,如图①,易证:AF=CD+CF.(1)如图②,当四边形ABCD为矩形时,其他条件不变,线段AF,CD,CF之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明;(2)如图③,当四边形ABCD为平行四边形时,其他条件不变,线段AF,CD,CF之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.图①图②图③20.(8分)某校计划购买篮球、排球共20个.购买2个篮球,3个排球,共需花费190元;购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同.篮球和排球的单价各是多少元?若购买篮球不少于8个,所需费用总额不超过800元.请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案.21.(8分)随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?22.(10分)为了增强居民节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.若用户的月用水量不超过15吨,每吨收水费4元;用户的月用水量超过15吨,超过15吨的部分,按每吨6元收费.(I)根据题意,填写下表:月用水量(吨/户)41016……应收水费(元/户)40……(II)设一户居民的月用水量为x吨,应收水费y元,写出y关于x的函数关系式;(III)已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨,两户共收水费126元,求他们上个月分别用水多少吨?23.(12分)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求∠ACB的度数;(3)点D是抛物线上的一动点,是否存在点D,使得tan∠DCB=tan∠ACO.若存在,请求出点D的坐标,若不存在,说明理由.24.在△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=110°,连接AD,求∠ADB的度数.(不必解答)小聪先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时,利用轴对称知识,以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图1),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△D′BC的形状是三角形;∠ADB的度数为.在原问题中,当∠DBC<∠ABC(如图1)时,请计算∠ADB的度数;在原问题中,过点A作直线AE⊥BD,交直线BD于E,其他条件不变若BC=7,AD=1.请直接写出线段BE的长为.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】
根据无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,找出无理数的个数即可.【详解】sin30°=,=3,故无理数有π,-,故选:B.【点睛】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数.2、C【解析】由实际问题抽象出方程(行程问题).【分析】∵甲车的速度为千米/小时,则乙甲车的速度为千米/小时∴甲车行驶30千米的时间为,乙车行驶40千米的时间为,∴根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得.故选C.3、C【解析】
根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负,原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简,去括号合并即可得到结果.【详解】解:根据数轴上点的位置得:5<a<10,∴a﹣4>0,a﹣11<0,则原式=|a﹣4|﹣|a﹣11|=a﹣4+a﹣11=2a﹣15,故选:C.【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简,以及实数与数轴,熟练掌握运算法则是解本题的关键.4、C【解析】分析:根据方程解的定义,一一判断即可解决问题;详解:A.∵x4>0,∴x4+2=0无解;故本选项不符合题意;B.∵≥0,∴=﹣1无解,故本选项不符合题意;C.∵x2+2x﹣1=0,△=8=4=12>0,方程有实数根,故本选项符合题意;D.解分式方程=,可得x=1,经检验x=1是分式方程的增根,故本选项不符合题意.故选C.点睛:本题考查了无理方程、根的判别式、高次方程、分式方程等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.5、B【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误.
故选B.【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.6、A【解析】
利用待定系数法即可求解.【详解】设函数的解析式是y=kx,根据题意得:2k=﹣3,解得:k=.∴函数的解析式是:.故选A.7、B【解析】
连接AG、GE、EC,易知四边形ACEG为正方形,根据正方形的性质即可求解.【详解】解:连接AG、GE、EC,则四边形ACEG为正方形,故=.故选:B.【点睛】本题考查了正多边形的性质,正确作出辅助线是关键.8、C【解析】
根据左视图发现最右上角共有2个小立方体,综合以上,可以发现一共有4个立方体,主视图和左视图都是上下两行,所以这个几何体共由上下两层小正方体组成,俯视图有3个小正方形,所以下面一层共有3个小正方体,结合主视图和左视图的形状可知上面一层只有最左边有个小正方体,故这个几何体由4个小正方体组成,其体积是4.故选C.【点睛】错因分析
容易题,失分原因:未掌握通过三视图还原几何体的方法.9、D【解析】
∵在▱ABCD中,AO=AC,∵点E是OA的中点,∴AE=CE,∵AD∥BC,∴△AFE∽△CBE,∴=,∵AD=BC,∴AF=AD,∴;故①正确;∵S△AEF=4,=()2=,∴S△BCE=36;故②正确;∵=,∴=,∴S△ABE=12,故③正确;∵BF不平行于CD,∴△AEF与△ADC只有一个角相等,∴△AEF与△ACD不一定相似,故④错误,故选D.10、D【解析】
本题主要考查分式有意义的条件:分母不能为0,即3x−7≠0,解得x.【详解】∵3x−7≠0,∴x≠.故选D.【点睛】本题考查的是分式有意义的条件:当分母不为0时,分式有意义.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、3【解析】
先根据a(a+2)=1得出a2=1-2a,再把a2=1-2a代入a2+进行计算.【详解】a(a+2)=1得出a2=1-2a,a2+1-2a+====3.【点睛】本题考查的是代数式求解,熟练掌握代入法是解题的关键.12、y=x﹣1【解析】分析:根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式,再把点(﹣2,﹣4)的坐标代入解析式求解即可.详解:∵一次函数的图象与直线y=x+1平行,∴设一次函数的解析式为y=x+b.∵一次函数经过点(﹣2,﹣4),∴×(﹣2)+b=﹣4,解得:b=﹣1,所以这个一次函数的表达式是:y=x﹣1.故答案为y=x﹣1.点睛:本题考查了两直线平行的问题,熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键.13、【解析】
首先,利用等边三角形的性质求得AD=2;然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形,则DE=AD,便可求出EF和AF,从而得到△AEF的面积.【详解】解:∵在等边△ABC中,∠B=60º,AB=4,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=30º,∴AD=ABcos30º=4×=2,根据旋转的性质知,∠EAC=∠DAB=30º,AD=AE,∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60º,∴△ADE的等边三角形,∴DE=AD=2,∠AEF=60º,∵∠EAC=∠CAD∴EF=DF=,AF⊥DE∴AF=EFtan60º=×=3,∴S△AEF=EF×AF=××3=.故答案为:.【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,熟记各性质并求出△ADE是等边三角形是解题的关键.14、【解析】试题解析:设a=2t,b=3t,故答案为:15、4【解析】∵四边形MNPQ是矩形,∴NQ=MP,∴当MP最大时,NQ就最大.∵点M是抛物线在轴上方部分图象上的一点,且MP⊥轴于点P,∴当点M是抛物线的顶点时,MP的值最大.∵,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴当点M的坐标为(2,4)时,MP最大=4,∴对角线NQ的最大值为4.16、乙乙的比赛成绩比较稳定.【解析】
观察表格中的数据可知:甲的比赛成绩波动幅度较大,故甲的比赛成绩不稳定;乙的比赛成绩波动幅度较小,故乙的比赛成绩比较稳定,据此可得结论.【详解】观察表格中的数据可得,甲的比赛成绩波动幅度较大,故甲的比赛成绩不稳定;乙的比赛成绩波动幅度较小,故乙的比赛成绩比较稳定;所以要选派一名选手参加国际比赛,应该选择乙,理由是乙的比赛成绩比较稳定.故答案为乙,乙的比赛成绩比较稳定.【点睛】本题主要考查了方差,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)每辆车的日租金至少应为25元;(2)当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多是5025元.【解析】试题分析:(1)观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费,由净收入为正列出不等式求解即可;(2)由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值.试题解析:(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,由50x﹣1100>0,解得x>22,又∵x是5的倍数,∴每辆车的日租金至少应为25元;(2)设每辆车的净收入为y元,当0<x≤100时,y1=50x﹣1100,∵y1随x的增大而增大,∴当x=100时,y1的最大值为50×100﹣1100=3900;当x>100时,y2=(50﹣)x﹣1100=﹣x2+70x﹣1100=﹣(x﹣175)2+5025,当x=175时,y2的最大值为5025,5025>3900,故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多是5025元.考点:二次函数的应用.18、(1)观测点到航线的距离为3km(2)该轮船航行的速度约为40.6km/h【解析】试题分析:(1)设AB与l交于点O,利用∠DAO=60°,利用∠DAO的余弦求出OA长,从而求得OB长,继而求得BE长即可;(2)先计算出DE=EF+DF=求出DE=5,再由进而由tan∠CBE=求出EC,即可求出CD的长,进而求出航行速度.试题解析:(1)设AB与l交于点O,在Rt△AOD中,∵∠OAD=60°,AD=2(km),∴OA==4(km),∵AB=10(km),∴OB=AB﹣OA=6(km),在Rt△BOE中,∠OBE=∠OAD=60°,∴BE=OB•cos60°=3(km),答:观测点B到航线l的距离为3km;(2)∵∠OAD=60°,AD=2(km),∴OD=AD·tan60°=2,∵∠BEO=90°,BO=6,BE=3,∴OE==3,∴DE=OD+OE=5(km);CE=BE•tan∠CBE=3tan76°,∴CD=CE﹣DE=3tan76°﹣5≈3.38(km),∵5(min)=(h),∴v==12CD=12×3.38≈40.6(km/h),答:该轮船航行的速度约为40.6km/h.【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC,DE,DO的长是解题关键.19、(1)图②结论:AF=CD+CF.(2)图③结论:AF=CD+CF.【解析】试题分析:(1)作,的延长线交于点.证三角形全等,进而通过全等三角形的对应边相等验证之间的关系;(2)延长交的延长线于点由全等三角形的对应边相等验证关系.试题解析:(1)图②结论:证明:作,的延长线交于点.∵四边形是矩形,由是中点,可证≌(2)图③结论:延长交的延长线于点如图所示因为四边形是平行四边形所以//且,因为为的中点,所以也是的中点,所以又因为所以又因为所以≌所以因为20、(1)篮球每个50元,排球每个30元.(2)满足题意的方案有三种:①购买篮球8个,排球12个;②购买篮球9,排球11个;③购买篮球2个,排球2个;方案①最省钱【解析】试题分析:(1)设篮球每个x元,排球每个y元,根据费用可得等量关系为:购买2个篮球,3个排球,共需花费190元;购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同,列方程求解即可;(2)不等关系为:购买足球和篮球的总费用不超过1元,列式求得解集后得到相应整数解,从而求解.试题解析:解:(1)设篮球每个x元,排球每个y元,依题意,得:解得.答:篮球每个50元,排球每个30元.(2)设购买篮球m个,则购买排球(20-m)个,依题意,得:50m+30(20-m)≤1.解得:m≤2.又∵m≥8,∴8≤m≤2.∵篮球的个数必须为整数,∴只能取8、9、2.∴满足题意的方案有三种:①购买篮球8个,排球12个,费用为760元;②购买篮球9,排球11个,费用为780元;③购买篮球2个,排球2个,费用为1元.以上三个方案中,方案①最省钱.点睛:本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用;得到相应总费用的关系式是解答本题的关键.21、(1)打折前甲品牌粽子每盒70元,乙品牌粽子每盒80元.(2)打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.【解析】分析:(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元,根据“打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数,即可求出节省的钱数.详解:(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元,根据题意得:,解得:.答:打折前甲品牌粽子每盒40元,乙品牌粽子每盒120元.(2)80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640(元).答:打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元.点睛:本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据数量关系,列式计算.22、(Ⅰ)16;66;(Ⅱ)当x≤15时,y=4x;当x>15时,y=6x﹣30;(Ⅲ)居民甲上月用水量为18吨,居民乙用水12吨【解析】
(Ⅰ)根据题意计算即可;(Ⅱ)根据分段函数解答即可;(Ⅲ)根据题意,可以分段利用方程或方程组解决用水量问题.【详解】解:(Ⅰ)当月用水量为4吨时,应收水费=4×4=16元;当月用水量为16吨时,应收水费=15×4+1×6=66元;故答案为16;66;(Ⅱ)当x≤15时,y=4x;当x>15时,y=15×4+(x﹣15)×6=6x﹣30;(Ⅲ)设居民甲上月用水量为X吨,居民乙用水(X﹣6)吨.由题意:X﹣6<15且X>15时,4(X﹣6)+15×4+(X﹣15)×6=126X=18,∴居民甲上月用水量为18吨,居民乙用水12吨.【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意在实际问题中,利用方程或方程组是解决问题的常用方法.23、(1)y=﹣2x2+x+3;(2)∠ACB=45°;(3)D点坐标为(1,2)或(4,﹣25).【解析】
(1)设交点式y=a(x+1)(x﹣),展开得到﹣a=3,然后求出a即可得到抛物线解析式;(2)作AE⊥BC于E,如图1,先确定C(0,3),再分别计算出AC=,BC=,接着利用面积法计算出AE=,然后根据三角函数的定义求出∠ACE即可;(3)作BH⊥CD于H,如图2,设H(m,n),证明Rt△BCH∽Rt△ACO,利用相似计算出BH=,CH=,再根据两点间的距离公式得到(m﹣)2+n2=()2,m2+(n﹣3)2=()2,接着通过解方程组得到H(,﹣)或(),然后求出直线CD的解析式,与二次函数联立成方程组,解方程组即可.【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣),即y=ax2﹣ax﹣a,∴﹣a=3,解得:a=﹣2,∴抛物线解析式为y=﹣2x2+x+3;(2)作AE⊥BC于E,如图1,当x=0时,y=﹣2x2+x+3=3,则C(0,3),而A(﹣1,0),B(,0),∴AC==,BC==AE•BC=OC•AB,∴AE==.在Rt△ACE中,sin∠ACE===,∴∠ACE=45°,即∠ACB=45°;(3)作BH⊥CD于H,如图2,设H(m,n).∵tan∠DCB=tan∠ACO,∴∠HCB=∠ACO,∴Rt△BCH∽Rt△ACO,∴==,即==,∴BH=,CH=,∴(m﹣)2+n2=()2=,①m2+(n﹣3)2=()2=,②②﹣①得m=2n+,③,把③代入①得:(2n+﹣)2+n2=,整理得:80n2﹣48n﹣9=0,解得:n1=﹣,n2=.当n=﹣时,m=2n+=,此时H(,﹣),易得直线CD的解析式为y=﹣7x+3,解方程组得:或,此时D点坐标为(4,﹣25);当n=时,m=2n+=,此时H(),易得直线CD的解析式为y=﹣x+3,解方程组得:或,此时D点坐标为(1,2).综上所述:D点坐标为(1,2)或(4,﹣25).【点睛】本题是二次函数综合题.熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定的性质;会利用待定系数法求函数解析式,把求两函数交点问题转化为解方程组的问题;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.24、(1)①△D′BC是等边三角形,②∠ADB=30°(1)∠ADB=30°;(3)7+或7﹣【解析】
(1)①如图1中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′,由△ABD≌△ABD′,推出△D′BC是等边三角形;②借助①的结论,再判断出△AD′B≌△AD′C,得∠AD′B=∠AD′C,由此即可解决问题.(1)当60°<α≤110°时,如图3中,作∠AB
D′=∠ABD,B
D′=BD,连接CD′,AD′,证明方法类似(1).(3)第①种情况:当60°<α≤110°时,如图3中,作∠AB
D′=∠ABD,B
D′=BD,连接CD′,AD′,证明方法类似(1),最后利用含30度角的直角三角形求出DE,即可得出结论;第②种情况:当0°<α<60°时,如图4中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′.证明方法类似(1),最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.【详解】(1)①如图1中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,连接CD′,AD′,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°,∵∠DBC=30°,∴
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