高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 14 初等数论 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题14初等数论真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2021•北京•高三强基计划）2021年是北大建校123周年，则满足建校〃周年的正整

数〃能整除对应年份的〃的个数为（）

A.4B.8C.12D.前三个选项都

不对

2.（2021•北京•高三强基计划）设“，6是正整数〃的正因数，使得（a-l）S+2）=〃-2,

则〃可以等于（）

A.2O2O2020B.2x2O2O2020

C.3x20202期D.前三个选项都不对

3.（2021•北京•高三强基计划）201928。在十进制下的末两位数字是（）

A.01B.21C.81D.前三个选项都

不对

4.（2021•北京•高三强基计划）设〃为正整数，且4"+2021是完全平方数，则这样的〃

的个数为（）

A.1B.2

C.无穷个D.前三个选项都不对

5.（2021•北京•高三强基计划）设％=122••21，若1。9-1|笫，则〃的最小值为（）

n木2

A.71B.72C.80D.81

6.（2021•北京•高三强基计划）方程1=z5的正整数解（x,y,z）的组数为（）

A.0B.2C.无穷多D.以上答案都不

对

20212一

7.（2021•北京•高三强基计划）已知S=£，则S的个位数字是（）

j_

i=Q

A.4B.5C.7D.以上答案都不

对

8.（2021•北京•高三强基计划）方程，-29+3/-4》+5=0的整数解的组数为（）

A.0B.1C.2D.以上答案都不

对

9.（2020•北京•高三强基计划）已知整数数列｛4｝（〃>1）满足q=I"=4,且对任意n>2,

有a：-%+4T=2"L则喂。的个位数字是（）

A.8B.4C.2D.前三个答案都

不对

10.（2021•北京•高三强基计划）设正整数,42021,且“5-5/+4”+7是完全平方数，

则可能的n的个数为（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不

对

11.（2020•北京•高三强基计划）对于不小于3的正整数〃，若存在正整数1使

得c：T,c：,cH构成等差数列，其中c：=,为组合数,则称〃为“理想数”.不超

k'.（n-k）'.

过2020的“理想数”的个数为（）

A.40B.41C.42D.前三个答案都

不对

12.（2020•北京•高三强基计划）在（2019x2020）2⑼的全体正因数中选出若干个，使得其

中任意两个的乘积都不是平方数则最多可选因数个数为（）

A.16B.31C.32D.前三个答案都

不对

13.（2020•北京•高三强基计划）方程19x+93y=4盯的整数解个数为（）

A.4B.8C.16D.前三个答案都

不对

14.（2019•北京•高三校考强基计划）已知不定方程邸+丈；++x：=799有正整数解，

则正整数〃的最小值为（）

A.11B.13C.15D.17

113

15.（2019•北京•高三校考强基计划）满足方程一+一=诉的有序正整数组（*，y）的个数

xy100

为（）

A.12B.13C.24D.25

16.（2019•北京•高三校考强基计划）在十进制数下，设a是4444.的各位数字之和，

而6是a的各位数字之和，则b的各位数字之和是（）

A.5B.6C.7D.16

17.（2021•北京•高三强基计划）若如々，，王为非负整数，则方程

玉+々++尤?=X,X2X-1的解有（）

A.83组B.84组

C.85组D.以上答案都不对

18.（2021•北京•高三强基计划）设可是与的差的绝对值最小的整数，幻是与";的

差的绝对值最小的整数.记I，的前〃项和为5“，」的前〃项和为则27；0c-S项

的值为（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不

对

二、多选题

19.（2021•北京•高三校考强基计划）若x,y为两个不同的质数，”为不小于2的正整数

且（x+y）|x"+y",则（）

A.存在奇数〃符合题意B.不存在奇数〃符合题意

C.存在偶数〃符合题意D.不存在偶数”符合题意

20.（2020•北京•高三校考强基计划）设/IBC的三边长a,b,c都是整数，面积是有理

数，则“的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

21.（2020•北京•高三校考强基计划）设x,），为不同的正整数，则下列结论中正确的有

（）

A.y?+2x与r+2y不可能同时为完全平方数

B.V+4x与尤?+4y不可能同时为完全平方数

C.y?+6x与d+6y不可能同时为完全平方数

D.以上答案都不正确

三、填空题

22.（2。18•江西•高三竞赛）“、b为正整数，满足/齐募’则所有正整数对"

的个数为.

23.（2018•全国•高三竞赛）设n为正整数.从集合｛1,2,,2015｝中任取一个正整数n恰

为方程y=y+的解的概率为（[可表示不超过实数x的最大整数）.

24.（2018•安徽•高三竞赛）设n是正整数，且满足/=438427732293,则n=.

25.（2018•全国•高三竞赛）用[同表示不超过实数x的最大整数.则1,—=

sin"-/

_V2014_

26.（2018•山东•高三竞赛）己知“，beZ,且a+人为方程Y+5+/,=（）的一个根，则人

的最大可能值为.

27.（2021•全国•高三竞赛）｛为｝为正整数列，满足4=2,4向为吊-134+133的最小素

因子，卬,生，,构成集合A,尸为所有质数构成的集合，则集合aA的最小元素

为.

28.（2021•全国•高三竞赛）集合A=｛xeZ+|x整除苫[4]中元素的个数为.

29.（2020•北京•高三强基计划）已知[X]表示不超过x的最大整数，记&｝=x-W,则

方程&｝=〔一1的整数解个数为.

30.（2021•北京•高三强基计划）若带可化简为最简分数:，则“=.

31.（2021•北京•高三强基计划）若正整数〃?，〃满足加+〃3+99优〃=333,则（见〃）有

组.

32.（2021•北京•高三强基计划）若存在正整数〃，使得3ml（1!+2!++«!）,则正整数，〃

的最大值是.

33.（2021•北京•高三强基计划）已知/（x）=[x]+[2x]+[3x],[x]表示不超过x的最大整数，

则/“）的值域为.

34.（2020•北京•高三强基计划）已知⑴表示不超过x的最大整数，如kl=3,[-乃]=Y等,

则。图+修卜…干2020~

'3~二----------'

35.（2021•北京•高三强基计划）已知/*）是常数项不为0的整系数多项式，

q==/（。〃），则〃2，。4，，“2020中有项为。.

四、解答题

36.（2018•全国•高三竞赛）求最小的两个正整数m,使得47（病+46m+713）为完全平

方数.

37.（2018•全国•高三竞赛）证明：存在无穷多个正整数n,使得［〃］+|〃，其

中，［X］表示不超过实数X的最大整数.

p-1

38.（2018•全国•高三竞赛）求所有素数p,使得/》孙,.

&=1

39.（2018•全国•高三竞赛）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p,

至少存在一个“eZ+，满足“（20142"+2014）.

40.（2018•江西•高三竞赛）求最小的正整数〃，使得当正整数点kN”时，在前改个正整

数构成的集合M=｛1,2,L闺中，对任意xeM总存在另一个数yeM且ywx,满足

X+N为平方数.

41.（2019•全国•高三校联考竞赛）求满足以下条件的所有正整数〃：

（1）〃至少有4个正因数；

（2）若4<4<<4是"的所有正因数，4-4,4-4，,4-4—构成等比数列.

42.（2019•上海•高三校联考竞赛）求证：不存在无穷多项的素数数列P「0，，P,，，

使得P*+i=5p*+4,&=1,2,.

43.（2019•吉林•高三校联考竞赛）求所有的正整数〃，使得方程4+1++3="1

%X2XnXn+\

有正整数解.

44.（2019•江西•高三校联考竞赛）试求所有由互异正奇数构成的三元集｛a,b,c］,使

其满足：cr+kr+C1=2019.

45.（202卜全国福三竞赛）求方程（3万+1）（3严1）（32+1）=34乎的所有正整数解（a,2）.

46.（2021•全国•高三竞赛）求方程|p'-q”=l的整数解，其中p、q是质数，r、s是大于1

的正整数，并证明所得到的解是全部解.

47.（2021•全国•高三竞赛）证明：对任意正整数N,都存在正整数〃>汽和〃个互不相

同的正整数玉,右，4,使X；石片-2020（x；+x；++片）+2020是完全平方数.

48.（2018•全国•高三竞赛）对于素数p,定义集合E（p）=｛（〃,"£•）€Z'M/+bY+

c2a2+1=0(mod〃)}.

及S?(p)={3"c)wZ[/b2c2+(a262c2+/+从+°2)=0(mod〃)}.试求所有的素数p,

使得

s"p)aS2(p).

49.(2021•全国•高三竞赛)已知4={《,%,,a2a},B={bl,b2,，瓦J是两个整数集合，

且对于任意整数”，存在唯一的4€A,“€B使得“三q+%(mod2020).记

(")A=4，(〃)8=%.证明：对任意的aeA,6e8,存在4亡A,使得a=(101a*+6,.

50.(2021•全国•高三竞赛)设4,4，M,为〃个正整数，并且满足4+电++a“=2〃，

令/+；=《,，=1,2,，并记$“/=4+a“+i++*4,("，=1,2,).求证：对于任意AeZ+，

必存在正整数〃、v,使得S,*,等于A或A+1.

51.(2022•浙江杭州•高三学军中学校考竞赛)设数列{q}满足4=1,%=2,%=3,且对

任意整数〃>3,a”是最小的不同于4,4，，4i的正整数，使得对与互质，但不与凡一2

互质.证明：每个正整数都在{%}中出现.

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题14初等数论真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2021•北京•高三强基计划）2021年是北大建校123周年，则满足建校〃周年的正整

数n能整除对应年份的n的个数为（）

A.4B.8C.12D.前三个选项都

不对

【答案】B

【分析】根据题设可得“11898,从而可根据1898的因数分解可求〃的个数.

【详解】根据题意,有〃|（〃+（2021—123））n〃|1898n“|2・13・73,

因此所有1898的正约数均符合题意，有23=8个.

故选：B.

2.（2021•北京•高三强基计划）设”，方是正整数"的正因数，使得（a-l）S+2）="2,

则〃可以等于（）

A.2O2O2020B.2x2O2O2020

C.3x20202,,a,D.前三个选项都不对

【答案】B

【分析】根据整除性可得b=a或6从而可得正确的选项.

【详解】根据题意，有ab+2a-b=n,

[a\ab+2a-b,[a\b,

k[b\n,=>[b\ab+2a-b,^[b\2a,

于是b=a或。=2a,从而”=a（a+D或“=2/，只有选项B符合.

故选：B.

3.（2021•北京•高三强基计划）20199。在十进制下的末两位数字是（）

A.01B.21C.81D.前三个选项都

不对

【答案】A

【分析】根据同余及二项定理可判断末两位数字，也可以利用欧拉函数的性质来判断末

两位数字.

【详解】法1：根据题意，有：

2022020202020192020

20\9°=19=(20-1)=C2020x20x(-1)+(-1)=l(modlOO).

法2：根据欧拉函数的性质由*(25)=9(52)=5x4=20,而(19,25)=1,

20

故190到=19=l(mod25),故2019?回三l(mod25),

而2019.°三(-1)2020=l(mod4),因此2019?回三l(modlOO).

故选：A

4.（2021•北京•高三强基计划）设〃为正整数，且4"+2021是完全平方数，则这样的〃

的个数为（）

A.1B.2

C.无穷个D.前三个选项都不对

【答案】A

【分析】利用因数分解可求不定方程的解.

【详解】设4"+2021=苏，则（〃?+2"）（〃?一29）=2021=43x47,

注意到（〃?+2"）-（旭-2"）=2向>0

“|«?+2"=47「」机+2”=2021m=45

“2"=432"=1解得《

n=1

从而符合题意的正整数n只有1个.

故选：A.

5.（2021•北京•高三强基计划）设％=12^:21,若io1）-1|州，则〃的最小值为（）

〃个2

A.71B.72C.80D.81

【答案】C

【分析】利用整除性和二项式定理可得〃+1=%9€叶），再利用

10*】）+10*2）++109+1模9的余数为鼠可求％的最小值，故可求”的最小值.

【详解】根据题意，有%=122…21=11…1x11=」------L,

加9

因此IO"-1瓦nll=>9(109-l)|ll(10n+l-1)-

而10、1三-2(modll),故9(10,—1)|(10向-1),

所以009_1)|(10"

设“+1=%+r,0W8,则10"+1=10"+r=设9£xl0r-l=(109-l+l)*xl0r-l,

由二项式定理可得(109-l+l)'xl(r-l=A(109-l)+l(r-l,其中A为正整数,

因为(109_1施01_1),故r=0,故〃+1=9&RWN)

则10向-1=10"-1=(IO'-+io9<i-2)++109+1],

考虑109(*-0+10*2)++6+1模9的余数为k,

因此女的最小值为9,从而〃的最小值为80.

故选：C.

6.(2021•北京•高三强基计划)方程/+y4=z5的正整数解(x,y,z)的组数为()

A.0B.2C.无穷多D.以上答案都不

对

【答案】C

【分析】通过特例可得不定方程的正整数解的个数为无穷多个.

【详解】尝试(x3,y4,z5)=(2",2",2"+),BP(x,y,z)=^2\2\2-I,

p?=0(mod3),

只需要(〃三0(mod4),=〃三24(mod60),

[??=4(mod5),

因此对应的(X,y,z)=(22°“8,#+6,23+5)从eN,

因此所求正整数解有无穷多组.

故选：C.

2021「2厂

7.(2021•北京•高三强基计划)已知5=工彳，则S的个位数字是()

,=07

A.4B.5C.7D.以上答案都不

对

【答案】B

2'

【分析】利用二项式定理可得~不同的形式，再利用公式可求S,故可求S的个位数

字.

2,-1

,z=O(mod3),

2’2:2

【详解】注意到2,模7的余数，有y「三］(mod3),

7

2'—4

----J=2(mod3),

因此S=Z亍-674X-674,

注意到8的方幕的尾数以8,4,2,6为一循环，因此

22022-1

---三l+(8+4+2+6)xl68+8=9(modl0),

从而S的个位数字为5.

故选：B.

8.(2021•北京•高三强基计划)方程w-2孙+3/-4x+5=0的整数解的组数为()

A.0B.1C.2D.以上答案都不

对

【答案】C

【分析】利用判别式可求y=i,从而可得整数解的组数.

【详解】题中方程即x2-(2y+4)x+3y2+5=0,

其判另lj式A=(2y+4)2—4(3丁+5)=4(-2尸+4丫一1"0,

满足该不等式的整数y只有丫=1,因此方程变为f-6x+8=0nx=2或x=4,

因此所求整数解的组数为2组.

故选：C.

9.(2020•北京•高三强基计划)已知整数数列{q}(〃>1)满足4=1吗=4,且对任意n>2,

有。；-勺+口,1=2"',则%)2。的个位数字是()

A.8B.4C.2D.前三个答案都

不对

【答案】A

t分析】根据递推关系可得4+2=4%.「2%，从而各项个位数字周期性出现，故可得

正确的选项.

【详解】根据题意，有始-

。2+〃，山+

因"七_2±2---2a2„.=_ii±>---2-a„Hz,L==-aJ.-+--2-a.L=4A

%ana2

从而4+2=4a“+「2a“，

于是巴模10的余数为

n1234567891()

a”(modl0)1448402886

n11121314151617181920

tzH(modlO)8046626082

n21222324252627282930

〃〃(mod10)2420644840

从第2项起，以24为周期，因此见回三包三8(modl0).

故选A.

10.(2021•北京•高三强基计划)设正整数,42021,且/一5/+4”+7是完全平方数,

则可能的n的个数为()

A.1B.2C.3D.以上答案都不

对

【答案】D

【分析】可证明〃5-5〃3+4〃+7模4余3,故可得正确的选项.

［详解］意至IJ/-5/+4〃+7=(”-2)(«-l)n(«+1)("+2)+7,

而连续的5个整数的乘积必然被4整除，

因此〃5-5/+4”+7模4余3,不可能是完全平方数.

故选：D.

11.(2020•北京•高三强基计划)对于不小于3的正整数〃，若存在正整数14左4〃-1使

»7I

得c：T,c：,cH构成等差数列，其中C：=,为组合数,则称”为“理想数”.不超

K'.(n—K)：

过2020的“理想数”的个数为()

A.40B.41C.42D.前三个答案都

不对

【答案】C

【分析】利用组合数的计算公式可得关于左的方程，从而可判断“理想数”的个数.

2〃！〃！〃！

【详解】c/，C，c/成等差数列，即--------=----------------1----------------

%!(〃_&)!(k-l)!(〃-Z+l)!(&+1)!(〃_&_1)!

也即2(%+1)(〃一%+1)=左(k+1)+(〃-%+1)(〃一Q,

"土J〃+2

整理得A=

2

当”+2为完全平方数时，k为正整数，考虑到“+2N5,

因止匕“+2=32,42,,442(442=1936,452=2025),

故不超过2020的“理想数”的个数为42.

故选：C.

12.(2020•北京•高三强基计划)在(2019x2020)2⑼的全体正因数中选出若干个，使得其

中任意两个的乘积都不是平方数则最多可选因数个数为()

A.16B.31C.32D.前三个答案都

不对

【答案】C

【分析】我们定义从(2019x2020)2⑼的全体正因数组成的集合G中选出若干个组成集

合K为“好的”，当且仅当其中任意两个的乘积都不是平方数，可以证明若K是“好的”,

且&wK,而左="讨P：.,其中P「P2，，以为质数，«2,，心eN*,那么将其替

换为〃=p,用，其中《i=l,2,,则K仍然是“好的”.故可求可选因数

n[1,2xJKp

个数的最大值.

【详解】考虑至lj2019=3x673,2020=2?x5xl01,于是

(2019x2020产1=24042x32021x52021xlOl2021x6732021.

我们定义从(2019x2020)2°2i的全体正因数组成的集合G中选出若干个组成集合K为“好

的”，当且仅当其中任意两个的乘积都不是平方数.

容易证明，若K是“好的”，且左eK,而4="点弓.，

其中P，P2,，P“为质数,匕冉,,，，&“eN*,

那么将其替换为〃=/浮力,，

[0,2|附

其中"=[1,2Gt,/-,,

则K仍然是“好的”.

因此任何“好的”集合K中的元素都可以简化后对应于｛2,3,5,101,673｝的某个子集，如

23X34X57^2X5^{2,5},

于是K中的元素最多有2$=32个，且｛2,3,5,101,673｝的所有子集对应的32个数组成的

集合是“好的”，因此最多可选因数个数为32.

故选：C.

13.(2020•北京•高三强基计划)方程19x+93y=4孙的整数解个数为()

A.4B.8C.16D.前三个答案都

不对

【答案】B

【分析】利用因式分解可求不定方程的解的个数.

【详解】题中方程即4x-4y-19-4x-93-4y=0n(4x-93)(4y-19)=3xl9x31,

考虑到4x-93m3(mod4)且4y-19三l(mod4),且虐19,31模4均为3,

于是4x-93的所有可能取值为3,19,31,3x19x31,-1,-3x19,-3x31,-19x31,共8个.

故选：B.

14.(2019•北京•高三校考强基计划)已知不定方程父+石++工：=799有正整数解，

则正整数〃的最小值为()

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

0(mod16),x三0(mod2)

【分析】利用/三可得x：+x；+-+模16的余数的范围，结

l(mod16),x=I(mod2)

合799三15(modl6)可求正整数〃的最小值.

0(mod16),x=0(mod2),

【详解】由于十三

l(mod16),x=l(mod2),

于是x：+考++片模16的余数在0和”之间.

又799ml5(modl6),于是“215.注意到歹+3"+3"+14+>+…+1"=799

12个

因此正整数〃的最小值为15.

故选：C.

113

15.（2019•北京•高三校考强基计划）满足方程一+—=7；京的有序正整数组（x,y）的个数

xy100

为（）

A.12B.13C.24D.25

【答案】A

【分析】反表示后根据整除性可得有序正整数组的个数.

r.………，…/.100%10024-54

【详解】根据题意，y=-~—=—+—~—•

3JC-10033（3x-100）

于是3x-100=2"5,其中〃?+〃为奇数，且肛we{0,1,2,3,4}.

这样的（孙〃）有12对,

因此对应的（x,y）也有12对.

故选：A.n

16.（2019•北京•高三校考强基计划）在十进制数下，设。是4444如4的各位数字之和，

而b是4的各位数字之和，则b的各位数字之和是（）

A.5B.6C.7D.16

【答案】C

【分析】先估计的范围，再根据模9同余可求的各位数字之和.

【详解】设c是人的各位数字之和，

由于44441g4444<4444x4=17776,于是a<17776x9=159984,

因此。<1+9x5=46.

进而c<4+9=13.

乂4444"1=a=b=c（mod9）,

而4444"*三（-2）皿=64740x16三7（mod9）,

这样就得到了c=7.

故选：C

17.（2021•北京•高三强基计划）若占,々，，与为非负整数，则方程

再+々++X?=x,x2X-,的解有（）

A.83组B.84组

C.85组D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】就为当七=0及为々七片0分类讨论，后者可利用放缩法得到

X］=%=w=七=1,再就%=1、%=2分类讨论后可得所有解的个数.

［详解】若占％X7=0,则X}=X2==X7=0,

此时（王,X2，,，与）=（0,。，，0）是满足条件的一组解.

若玉/天工0，d<奶设。<当工工2工工与，贝1王X2工7«7七=玉工2工647,

此时必有“=%2=七=%=1（否则%%/223=8>7,矛盾），因此问题即

X5X6Xy=44-x54-x6+x7

且由毛％47,可得%=1,2.

X

情形一天=1，此时X6X7=5+X6+X7=（X6-1）（7-1）=6，

解得K，不）=（2,7）,（3,4）.

情形二*5=2,此时2%七=6+/+七n（2x6T）（2毛-1）=13,无解.

综上所述，（芭,电，，电）=（0,0,,0）,（1,1,1,1,1,2,7）,（1,1,1,1,1,3,4）及其对称式，有85组解.

故选：C.

18.（2021•北京•高三强基计划）设%是与杳的差的绝对值最小的整数，女是与疡的

差的绝对值最小的整数.记的前〃项和为5“，的前〃项和为0,则27^-53

lan\

的值为（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不

对

【答案】A

【分析】根据整数的性质可得%^T>M==。”翻m=々且*M="“=*=',故可

22

求求00-EM的值.

【详解】容易证明J1的小数部分不可能为0.5,因此a,,=A=k-；<e<&+g,

整理可得25一22+—<〃<2公+2%+—=>2%（%—1）+1«〃《2%（4+1）,

22

故°2Ml）+i=…=a2k（k+i）=k,

6（1、］?

注意到当々=6时，2取+1）=84,因此5Kx,=2厂奴+以x（I00-84）=26小

类似的，有b”=knk-；<4^<k+；,

k(k-l)1%伏+1)1k(k-l)，//k(%+l)

整理可得—-----+-<n<--------+-=>—-------+1<«<—-------,

282822

故6处+|='=匕3=4,

22

注意到当％=13时，空W=9i,因此，

2k=iI化J1414

综上所述，有27；w,-品)o=l.

故选：A.

二、多选题

19.(2021•北京•高三校考强基计划)若x,y为两个不同的质数，〃为不小于2的正整数

且(x+y)|x"+y",则()

A.存在奇数〃符合题意B.不存在奇数〃符合题意

C.存在偶数”符合题意D.不存在偶数”符合题意

【答案】AD

【分析】利用因式分解可判断AB的正误，利用递推可判断CD的正误.

【详解】当"是奇数时，有/+了"=(》+以/1一产2丫+/3/一+y-),

于是(x+y)Ix"+y",故选项A正确，选项B错误.

当”是偶数时，当"=2时，，有—+y2=(x+y>-2个，

若》+丫|2个，则2孙=f(x+y),其中，为正整数，故x|y且y|x,

而x，V为质数，则》=儿这与题设矛盾，故x+y(Ex)，，

于是(x+y)C&2+/.

当〃24,注意到炉+/=(x+双尸+尸)―到任-2+广2),

若(x+y)|x"+y",则(x+y)|x"2+y”2,依次类推，则可得到(*+力/+9,

这与(x+y)(E-2+y2矛盾，

因此可以递推证明当〃为偶数时，(x+y)(H"+y",故选项C错误，选项D正确.

故选：AD.

20.(2020•北京•高三校考强基计划)设.ABC的三边长小b,c都是整数，面积是有理

数，则4的值可以为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【分析】由特例可得a的值可以取3,4,再利用整数的性质可判断”的值不可能为1,

2,故可得正确的选项.

【详解】取三边为3,4,5的三角形，其面积为6,此时“的值可以取3,4.

当°=1时，有|a-O|<c<|a+"nc=6,

此时的面积为!J4b2-1,注意到4从一1三3(mod4),不为完全平方数，

4

因此A8C的面积不可能是有理数.

当a=2时，，不妨设24b4c,有|a-〃Kc<|a+b|=>c=6或c=6+l.

情形一若。=〃，贝hABC的面积为炉I.

若病=？=",其中2，g为互质的正整数，则/仅2-1)=",

于是从-1为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为2?-仔=3,因此该情形

不成立.

情形二若c=b+l,则COSC=>+2；(H1)2=-2”+3,

4b4b

于是面积为有理数，等价于sinC为有理数，即J(46)2-(-2b+3)2=J12，+12匕-9为完

全平方数，注意到12〃+126-9=3(mod4),因此，ABC的面积不可能是有理数.

综上所述，a的值不可能为1,2,可能为3,4.

故选：CD.

21.(2020•北京•高三校考强基计划)设x,y为不同的正整数，则下列结论中正确的有

()

A.丁+2》与x2+2y不可能同时为完全平方数

B.V+4x与r+与不可能同时为完全平方数

C.丁+6%与/+6y不可能同时为完全平方数

D.以上答案都不正确

【答案】AB

【分析】利用不等式放缩可得r+2y不可能是完全平方数且V+4y只可能是0+1)2；

x2+6y可能是(x+1)2或者(x+2下,分类讨论后可得正确选项.

【详解】不妨设xNy,则

x2<x2+2y<x2+2x<(x+1)2,

x2<x2+4^<X2+4X<(X+2)2,

x2<x2+6y<x2+6x<(x+3)2,

于是炉+2y不可能是完全平方数；

而V+4y只可能是(x+1)?；f+6y可能是(x+1)2或者(x+2)2.

若/+4y=*+1)2,则4y=2x+l,矛盾;

若V+6y=0+1)2,则6y=2x+l,矛盾;

若x2+6y=(x+2)2,则3y=2x+2,于是(x,y)=(3r-l,2f)«eN*),

y2+6x=4『+18f-6,

此时<

x2+6y=(3/+l)2,

考虑到(2f+2)2<4r+18f-6<(2t+5)2,

于是4户+18-6=(2/+2)2或4/+181-6=(21+4)2,

解得r=l(舍去)或f=U.

因此当(x,y)=(32,22)时，/+6x=676=262,%2+6y=1156=342|nj时为完全平方数.

综上所述，选项AB正确.

故选：AB.

三、填空题

22.（2018•江西•高三竞赛）。、匕为正整数，满足’-1=熹，则所有正整数对（4力）

ab2018

的个数为.

【答案】4

【详解】由1-'=-^-,知14a<2018,且ab+2018a—201助=0,

ab2018

于是（2018-a）（2018+b）=20182=221g,

而0<2018-"2018,2018+/?>2018.

因1009为质数，数2Z10092所有可能的分解式为

1x2018?,2X(2X10092),4X10092.1009X(4X1009).

其中每一个分解式对应于（4力）的一个解，故其解的个数为4.

故答案为4

23.（2018•全国•高三竞赛）设n为正整数.从集合｛1,2,,2015｝中任取一个正整数n恰

n

+（［x］表示不超过实数x的最大整数）.

为方程-二7的解的概率为

3O

【答案】缴

【详解】当〃=6小/）时，［升y6k

+=2k+k=3k.

R即日喑~6

满足题中方程的n为6,12,…,201（）,共335个;

n6左一5

当九二6攵一5（4wZ+）时，=3左一3,

22

nn6k-564一5

++=2k-2+k-1=3k-3.

3636

满足题中方程的n为1,7,13,2011,共336个;

n6k-4

当九二6A—4（ZEZ+）时,=3)1-2,

22

nn6左一46k-4

+=2k-2+k-\=3k-3.

3636

满足题中方程的n不存在;

6左一3

肖〃=6攵一3（攵叱）时=3k-2

2f

nn6k-36左—3

+=2k-]+k-]=3k-2.

3636

满足题中方程的n为3,9,15,2013,共336个;

/z6k-2

当M=6Z-2(ZEZ+)时,二31,

_2_-2

6k-26k-2'

+=2k—T+k—1=3k—2.

注H36

满足题中方程的n不存在:

n61

当肛=6A-l(&eZ+)时,=3%—1,

22

nn6fe-l6fc-l

4-+=2攵-1+2—1=3%—2.

36

满足题中方程的n不存在.

因此，从集合｛1,2,,2015｝中任取一个正整数n恰为题中方程的解的概率为

335+336+3361007

20152015

24.（2018•安徽•高三竞赛）设n是正整数，且满足〃,=438427732293,则n二

【答案】213

【详解】由小t44x101°,得200<〃<300.设4=200(1+X).

由(l+x)snl+Sx+lOf+loV+Sf+x5凄1|=1.375,得x以0.075,〃：215.

再由〃5三〃(modlO),得n=213.(注：“以”表示”小于约等于”.)

故答案为213

25.（2018•全国•高三竞赛）用［x］表示不超过实数x的最大整数.则

【答案】2014

【详解】因为。〈焉行

,所以°<sin一『<-『<tan)•

V2014V20142014

—>2014

"si「百高

-------!——=1+-------!——<1+2014=2015

又.

sin2-[1tan2~/1

V2014V2014

]

故=2014.

sin2」—

V2014

26.（2018•山东•高三竞赛）己知“，beZ,且为方