新教材人教b版必修第二册 向量基本定理与向量的坐标

向量基本定理与向量的坐标

6.向量基本定理

【学习目标】1.了解共线向量基本定理和平面向量基本定理及其意义2能应用共线向量基本

定理和平面向量基本定理解决一些实际问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一共线向量基本定理

1.定理：如果aWO且则存在唯一实数人使得》=觞.

2.说明：（1）8=痴时，通常称为能用a表示.

（2）唯一性，当时，4唯一.

3.作用：如果48,C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是:存在实数3使得赢=

7AC.

知识点二平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与8不共线，则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对（x,y）,

使得c=xa+皿.不共线的两个向量a与b组成的集合｛a,刈称为该平面上向量的一组基底.

■思考辨析判断正误

1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.（X）

2.零向量可以作为基向量.（X）

3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.（X）

4.若ei,02是同'一"平面内两个不共线向量，则九ei+22e2（7i,%2为实数）可以表示该平面内所

有向量.（V）

题型探究探究重点提升素养

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一、共线向量基本定理的应用

例1（1）设ei，e2是两个不共线的向量，AB=2ei+ke2,CB=ei+3e2，cb=2ei-e2,若A,

B,。三点共线，求实数4的值；

（2）设两个不共线的向量ei,改，若a=2ei-3及,）=2d+3改，c=2e「9-问是否存在实数

人,使〃=瓶+曲与c共线？

解⑴若A,B,D三点共线，则赢与应）共线.设瀛=4由）（71GR）,VBb=CD-CB=2ei

2cl=Xc{,

一改一®+3«2)=ei—4c2,，2ei+既2=%ei—4M2.由句与出不共线可得'

履2=—4M2,

2,k=-8.

(2)rf—A(2^i—3改)+〃(2ei+3«2)=(24+2〃)ei+(3〃-34)62,

要使d与c共线，则存在实数鼠使得4=履，

即(2A+2〃必+(—32+3〃)《2=2ke\—9ke2.

12/l+2〃=2Z,

由J।7_QZ得力=_2〃.

故存在实数4和〃，使得d与c共线，此时a=—2〃.

反思感悟(1)本题充分利用了共线向量基本定理，即方与a(aWO)共线06=猫，因此用它既

可以证明点共线或线共点问题，也可以根据共线求参数的值.

(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.

跟踪训练1已知A,B,尸三点共线，。为直线外任意一点，若苏=x5^+y5h,求x+y的值.

解由于A,B,尸三点共线，所以向量还，力在同一直线上，由向量共线定理可知，必定

存在实数力使崩=城，

即存一应=〃而一而

所以。＞=(1-2)市+4协，

故％=1一九)=九即x+y=l.

二、用基底表示向量

例2如图所示，在口A8CD中，E,b分别是3C,。。边上的中点，若赢=〃，AD=b,试以

a,b为基底表示OE,BF.

DF

解：四边形ABC。是平行四边形，E,歹分别是8C,0c边上的中点,

：.AD=BC^2.BE,函=历=2乐

.,.BE—^AD=^b,CF—^BA——^AB——^a-

：.DE=DA+AB+BE=~AD+AB+BE

-A-A-►―►―►1

BF=BC+CF=AD+CF=b—2a.

延伸探究

若本例中其他条件不变，设加="，BF=b,试以a,》为基底表示还，AD.

解如图，取CF的中点G,连接EG.

*；E,G分别为BC,CF的中点,

•*.EG=^BF=^b,

：.DG^ijE+EG^a+\b.

}L'.'DG—^DC—^AB,

.".AB=^DG=^a+^b^—^a+^b.

AAA>>1A>|A

又AD=BC^BF+FC^BF+^DC^BF+^AB,

反思感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一l种是利用向量的线性运

算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底

表示向量的唯一性求解.

跟踪训练2如图，已知梯形A8CD中，AD//BC,E,尸分别是AD,8C边上的中点，且8C

=3A。，函=a,病=4试以a,〜为基底表示寿，DF,CD.

AED

BbFC

解"：AD//BC,且A£>=gBC,：.AD^BC^b.

；E为AD的中点，.,.AE—ED=^AD=^b.

'：BF=^BC,：.BF=^b,

：.EF^EA+AB+BF

CD=&+FD=-(DF+FC)

三、平面基本定理的应用

例3如图，在△A8C中，点M是8c的中点，点N在AC上，且AN=2NC,AM与8N相

交于点尸，求AP：与BP：PN.

BMC

解设说f=ei,CN^ei,

则病=启+屈=-362—61,而=/+函=2ei+e2.

VA,P,M和8,P,N分别共线，

.••存在实数九〃使得存=匈/

=一浦1一32。2,

BP=idBN=2[ie\+〃e2.

故或=砺+或=第一崩=(2+2〃)ei+(32+〃)e2.

而BA=5C+CA=2ei+3e2,由平面向量基本定理，

3

〃一亍

：.AP=^AM,BP=^BN,

：.AP:PM=4：1,BP：PN=3:2.

延伸探究

在本例条件下，若南=卬3l=b,试用a,匕表示力.

解由本例解析知BP:PN=3:2,则福=5布，

-►-►-►->2-2-->

CP=CN+NP=CN+^NB=b+^CB~CN)

4243

=b+5a~5b=5a+5b-

反思感悟若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的

二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立

两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组

即得.

跟踪训练3如图，平行四边形ABCZ）的对角线AC,BD交于0点、,线段。。上有点M满足

D0—3DM,线段C。上有点N满足。。=/1苏30）,设施=a,AD—b,已知砺V=«”一*>,

试求实数九〃的值.

解依题意得a,AC=a+b,

即俞=6+=）（4+5）=弓+〃）”十全，

由平面向量基本定理，得

1,12

2十2/13)，=3,

解得《1

1,1_1,

.尹力=%+〃，〃=亍

随堂演练基础巩固学以致用

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1.若ei，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）

A.。1一62,改一eiB.2也一改，2^2

C.2々—3ci,6ei—4«2D.ei+e2,e\-e2

答案D

解析ei+e2与刈一e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为

基底.

2.如图，向量a—万等于()

A.-4ei—2改B.12ei-4。2

C.0―3改D.3ei—C2

答案C

解析不妨令〃=之，b=CB,则〃一万=8一无=或,

由平行四边形法则可知A4=ei—3e2.

3.设C1,02是两个不共线的向量，则向量。=2劣一《2，与向量)=S+/1«2(丸£1<)共线，当且

仅当丸的值为()

A.0B.—1C.-2D.—2

答案D

解析因为向量。与办共线，所以设方=桢，即的+初2=m(2d一C2),解得见=一；,故选D.

4.已知向量及不共线，实数x,y满足(3x—5y)ei+(2x—3y)e2=8ei+4e2,则％=，

y=-

答案一4-4

解析•・•向量ei,。2不共线,

3x—5y=8,

2x—3y=4,

5.已知ei,。2不共线，。=d+2«2,万=2d+&2,要使a,方能作为平面内的一组基底，则

实数2的取值范围为.

答案(一8,4)U(4,+°°)

解析若能作为平面内的一组基底，则〃与力不共线.。=幻+2°2,b=2e\+Xe2,由aW比，

即得2W4.

■课堂小结

1.知识清单：

(1)共线向量基本定理.

(2)对平面向量基本定理的理解.

(3)用基底表示向量.

2.方法归纳：转化与化归.

3.常见误区：基底的不唯一.

课时对点练注重双基强化落实

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X基础巩固

1.（多选）如果ei，e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）

A.a=Mi+〃e2（/l,〃GR）可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面a内任一向量a,使a=hi+〃e2的实数对（九〃）有无穷多个

C.若向量入©+〃建2与痴+〃202共线，则名=£

D.若实数3〃使得初1+〃02=0,则2=〃=0

答案BC

解析由平面向量基本定理可知，A,D正确；对于B,由平面向量基本定理可知，若一个

平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C,应为九〃2一%国

=0.

2.已知。是正方形A3CZ）的中心.^z5d=14B+//AC,其中4,〃GR,则△等于（）

A.l2B.—2C.—yf2D.y[2

答案A

解析,/DO=DA+AO=CB+AO=AB—AC+^AC=AB—^AC,.m,“=一；,因此（=-2.

3.点尸满足向量5>=2位一协，则点尸与AB的位置关系是（）

A.点P在线段A8上

B.点尸在线段45的延长线上

C.点P在线段A8的反向延长线上

D.点P在直线A8外

答案C

解析'JOP^IOA-OB,.,.OP-OA^OA-OB,

...亦=函，，点P在线段48的反向延长线上，故选C.

4.如图，已知是圆。的直径，点C,。是半圆弧的两个三等分点，AB^a,AC^b,若以

a,5为基底，则Q）等于（）

A.a-2B^a~b

C.a+^bD.^a+b

答案D

解析连接OBCD（图略），显然NBOQ=NCAO=60。，则AC〃O。，kAC=OD,即四边

形CA。。为菱形，故公=%+A

5.如图，若。点在△ABC的边BC上，且历=4加=7疝+s公，则3r+s的值为（)

16

AM

C.l

答案C

解析'：&)=^DB=rAB+sAC,

-►4->■4-►-►—►-►

CD^CB=~^AB-AC)=rAB+sAC,

,4_4.,,_124_8

•'=于$=_予..3/+5=5一弓=亍

6.设｛d，出｝是平面内的一组基底，且a=ei+2c2，）=一2+生，贝!I。1+&=______。+

________b.

21

答案3-3

〃=3+2«2,

解析由解得，

b=—ei+«2.e2=|a+|&.

7.已知ei，e2是两个不共线的向量，而”=研01+（1-|左｝2与》=2ei+3e2是两个共线向量,

则实数k=.

答案一2

a1-1左1

解析由题设知缶=二一，所以3斤+5左一2=0,解得上=-2或点

8.如图，在△ABC中，点。，E,尸依次是边4B的四等分点，则和=.(以无=ei，

CA=e2为基底)

C

ADEFB

31

答案不1+不2

解析蕊=2一8=61—C2,

因为。，E,尸依次是边的四等分点，

一，,3f3

所以4尸=a8=?>1—e2),

.———331

所以CF=CA+AF^©2+4(61—e2)=邓1+不2.

9.如图，在矩形0AC8中，E和尸分别是边AC和8c上的点，满足AC=3AE,BC=3BF,

若灰无+〃济，其中九〃eR,求九〃的值.

解在矩形0AC8中，OC=OA+OB,

又诙=/1而

=A(OA+AE)+fi(OB+BF)

=4住+g财+从而+扬)

32+〃一,3/1+2一

=-^OA+-1^OB,

…3/l+〃3〃+2七2。3

所以一g-=1i,-g-=1,所以2=〃=不

_3_>1_►

10.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM=^AB+^AC.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比；

(2)若N为AB中点，AM与CN交于点。，设而=xl^+y血求x,y的值.

_O_1_

解(1)由病=不诵+声可知M,B,C三点共线，

>>AA>A>A>>AA]

如图，令BM="C=4AM=A8+BM=AB+"C=48+〃AC-AB)=(l-/l)A3+/L4C=7=a，

A

BMC

,SAABM1

所以c一4，

JAABC4

即面积之比为1：4.

（2）由月3=花应+y的今寿=工俞+9函，

[x+]=l,\X=T

BO^BC+yBN,由。，M,A三点共线及0,N,C三点共线><=>《,

工工一6

%综合运用

11.已知向量油=幻一心2,CB=2e1-e2,cb=3eI-3e2,其，中｛d，&｝为基底向量，若A，B,

。三点共线，则左的值是（）

A.2B.-3C.-2D.3

答案A

解析根据题意得3£>=C£>—C5=3ei—3改-2ei+e2=ei-2《-2,

VA,B,。三点共线，：.AB=ABD,

即e\一婕2=丸（01—2氏），

f1=九

：.\:・k=2.

1—k=-2九

12.如图，在△ABC中，设施=a,AC^b,AP的中点为。,5。的中点为R,CH的中点为

P.若AP=ma+汕，则m+〃等于（）

C

A.

A，2B.q

C.yD.1

答案C

解析由题意可得成=29，QB=2QR,

-A-A-A1_A-►__

'：AB=a^AQ+QB^^AP+2QR,①

-A-A-A-A-►-A-►-A-A1-A-AJ_A_A__

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+^AP~QR=^AP-QR=b,②

一24

由①②解方程求得AP=3+?.

_246

再由AP=机〃+加可得力=亍，n=?m+n=j.

13.在平行四边形A5CZ)中，AC与5。交于点O,E是线段。。的中点，AE的延长线与CD

交于点E若公=跖BD^b,则成等于()

1112

A]a+于B.^a+^b

1121

C•呼+aD.2a+^b

答案D

解析ADEFs&BEA,

,DFDE\,cl

―►—►―►―►I-►

：.AF=AD+DF=AD+^AB.

,

：^J=AB+AD=a9访=病一赢=》,

联立得矗=/4一方)，AD=^(a+b),

—1121

AF=2(a+b)+q(a—b)=,a+利

14.如图，点A,3,C是圆。上三点，线段0C与线段A3交于圆内一点P.若次=机a+2加班,

AP