第18课 全等三角形 （解析版）-2021年中考数学学霸必刷测评卷（+综合）

2021年中考数学学霸必刷测评卷（专题+综合）

第四单元三角形第18课：全等三角形

选择题（共7小题）

1.如图，在四边形ABCD中，?B60?,?£>120?,BC=CD=a,则AB-A£>=（）

B.—aC.D.4

2

【解析】如图，连接AC,作CF八AB于尸，CE八AD交A。的延长线于E.

Q?B60?,?ADC120?,

\?DAB2DCB180?,

Q?£?CFA180?,

\?EAF?ECF180?,

\?ECF?DCB,

\?DCE?BCF,

Q?E?CFB90?,CD=CB,

\DCED@DCFB(AAS),

\CE=CF,DE=BF=BCgpos60?,

QAC=AC,CE=CF,

\RtDACE@RtDACF(HL),

\AE=AF,

\AB-AD=AF+BF-(AE-DE)=2DE=a,

故选：C.

2.如图，在等边DABC中，AB=4,D、E分别为射线C3、AC上的两动点，且BD二CE,直线4D和BE

相交于M点，则CM的最大值为（）

QDABC是等边三角形，

\BA=CB,2ABe?ACB60?,

\?ABD?BCE120?,

QBD=CE,

\DABD@DBCE(SAS),

\?D?E,

Q?DBM?EBC,

\2DMB?BCE120?,

\IAMB60?,

\点M的运动轨迹是图中红线(在的外接圆e/上)，

连接C/,延长C/交el于N,当点M与N重合时，CM的值最大,

在RtDJCB中，BJ=fiCBn30=—,JC=2BJ=—,

33

\CN=-------F-----=4。3，

33

\CM的最大值为4有，

故选：D.

3.如图，AD是DABC的角平分线，？C2?B,产是8C的中点，EF//AD交AB于点、E,且BE=4AE,

若CD=4,则AB的长为（）

A.10B.9C.8D.6

【解析】如图作左八AC于G,。”八AB于在A8上截取AC,

QA4平分E>BAC,

\DG=DH,

品地BD1般AB

DADC厂石八厂

SDADCDC—gACgDGAC

设5尸=FC=4a,

QEFI/AD,

BEBF

\——=——=4A,

AEFD

\FD=a,CD—3tz=4,

\a=~»BD=5<7=—>

33

在DA£）例和DAE>C中，

IAD=AD

DAM?DAC,

IAM=AC

\DDAM@DDAC（SAS）,

\DM=DC,7AMD?C,

Q?C22B,

\?AMD?BIMDB2?B,

\?B2MDB,

\BM=MD=CD=4,设AC=AM=x,

则有，—二幺，

x+420

T

\x=6,

\AB=BM+AC=4+6=10,

故选：A.

4.如图，AB=49AC=2,以8C为边向上构造等边三角形BCD,连接A。并延长至点?，使AD二包）,

则PB的最小值是（）

A.72B.4书-2C.4-45D.473-4

【解析】如图，以A8为边构造等边三角形4的8,连接A陋，取48的中点M,连接。M,

在等边三角形A048和等边三角形88中，

AB=A®,BC=BD,^BA=?CBD60?,

\2ABC60??ADB,BD=60?2ABD,

\?ABC骄BD,

在DABC和△A四中，

|AB=A?8

1?ABC季BD,

|BC=BD

\DABC@AA(BD(SAS),

\AC=A2D2,

QAD=PD,AM=BM,

\DW是D4沪的中位线，

\PB=2DM,

\当。M最小时，PB有最小值，

Q4A4组是等边三角形，M是AB中点，

'当点A,D,M在同一条直线上时，0M有最小值,

此时，A2A4,AM=2,AMAB,

\A?M4^~AM2=V42-22=26,

\DM=AWAID273-2,

\P8的最小值是46-4.

故选：。.

5.如图，DABC是等边三角形，点。、E分别为边8C、AC上的点，且CD=A£,点尸是8E和A。的交

点，8GAA£＞于G点，己知？BEC75?,FG=1,则A8的长为()

A.#B.272C.2石D.3

【解析】QDABC是等边三角形,

\2BAE?C60?,AB=AC,

在DABE和DC4O中

\AE=CD

1?EAB?C,

\AB=AC

\DABE@\yCAD{SAS）

\2ABE?C4T>,BE=AD,

\?BFD2ABE?BAD?CAD?RAF?BAC60?;

QBG八AD,

\1BGF90?

\?FBG30?,

QFG=1,

\FG=、BF,B|JBF=2FG=2,

2

Q?BEC75?,?BAE60?,

\?ABE?BEC?BAE15?,

Q?FBG30?，

\?ABG30?15?45?,

QBGAAD,

\?AGB90?,

\AG=BG=sjBF2-FG2=V22-I2=6,

AB=4AG?+BG?=J（逐y+（Gy=瓜,

故选：A.

6.如图，在DA3c中，?BAC45?,CD^AB于点D,AE八BC于点、E,AE与CD交于点尸，连接87"

OE,下列结论中：①4尸=BC；②？。仍45?,③AE=CE+28D,④若？C4E30?,则竺土竺=1,

AC

正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解析】QAEABC,

\?AEC?ADC?CDB90?,

Q7AFD?CFE,

\?DAF2DCB,

Q/W=DC,

\DADF@DCDB,

QAF=BC,故①正确，

\?DFB?DBF45?,

取8尸的中点O,连接。£>、OE.

Q?BDF?BEF90?,

\OE=OF=OB=OD,

\E、F、D、B四点共圆，

\?DEB?DFB45?,故②正确，

如图1中，作。M八AE于M,DMBC于N,

图1

易证DDMF@DDNB,四边形DWEV是正方形，

\MF=BN,EM=EN,

\EF+EB=EM-FM+EV+NB=2EM=2DN,

QAE-CE=BC+EF-EC=EF+BE=2DN<2BD,

\AE-CE<2BD,即AE<EC+2BD,故③错误，

如图2中，作。于M,DN八BC于N.易证DDMF@DDNB,四边形OWEN是正方形,

\FM=BN,EM=EN=DN,

\EF+EB=EM-MF+£7V+BN=2EN=2DN,,2BD,

QAE-EC=ADF+EF-EC=BC_EF-EC=EF+B&2BD,

\AR,EC+2BD,故③错误，

如图2中，延长FE到，，使得FH=FB.连接〃C、BH.

Q?C4E30?,?C4£>45?,?ADF90?,

\2DAF15?,?AFD75?,

Q?DFB45?,

\?AFB120?,

\?BFH60?,

QFH=BF,

\是等边三角形，

\BF=BH,

QBCAFH,

\FE=EH,

\CF=CH,

\?CFH?CHF2AFD75?,

\?ACH75?,

\?ACH2AHe75?,

\AC=AH,

QAF+FB=AF+FH=AH,

\AF+BF=AC,故④正确，

故选：B.

7.如图，等边三角形ABC中，8。是AC边上的中线，点E在线段80上，？ACE45?,AE的延长线交3c

于点尸，EG=EF,连接CG交5。于点〃.下面结论：①CE=AE®?ACG30?;③EB=（小-1）DE；

®CH+DH=—AB.

2

其中正确的有（）

G

E

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】QDABC是等边三角形，8。是AC边上的中线,

\BD八AC,AD=DC，2CAB?ACB?ABC60?,

\EC=EA,故①正确，

QEC=E4,

\1ECA?EAC45?,

\?BAF?BAC?EAC15?,

\?AFC?FAB?ABC75?,

QEG=EF,CE^FG,

\CF=CG,

\ECF?ECG15?,

\?ACG?GCF30?,故②正确，

设4)=£)C=机，则AB=AC=2机，BD=瓶瓶,

QAD=DE=m，

\BE=-m,

EB邪m-mrr

\----=------------=>J3-1,

DEm

\EB=(币-1)DE,故③正确，

在RtDCDH中，Q?DCH30?.CD=m,

\DH=-CD=-,CH=,

333

\CH+DH=百m=—AB，故④正确，

2

故选：D.

填空题(共5小题)

8.如图，四边形ABCD中，A(l,l),8(8,2),C(6,6),£>(3,5),E在四边形内，E(5,3),以下结论正确的是

①②③④(填写编号).

①DABE@DAC£>:®AE^BC③？ADC135?;®tan?EBA!

【解析】①Q48={49+1=5点,AE=416+4=2#>，BE=,9+1=加,4C=0+25=5近,

AD=-J4+16=2>/5,CD=19+I=加,

\AB=AC,AE=AD,BE=CD,

\DABE@D4CD($ss),

故①正确；

②由①知DABEQDACD,

\AB=AC,

QCE=J9+1=加

\BC=CE,

QAE=AE,

\DABE@DACE(SSS),

\2BAE?CAE,?AEB?AEC,

\AEABC,

故②正确；

QBC2==16+4=20

\BE、CE2=10+10=20=BC2,

\?BEC90?,

360?90?

\?AEB———-=135?,

2

QDABE@DACD,

\?ADC?AEB135?,

故③正确；

④延长CO与y轴交于点尸，连接A尸，如图2,

则AE=加，CF=2M,

\AF2+CF2=10+40=50=AC2,

\1AFC90?,

AT1

\tan?ABEtan?ACD——=一，

CF2

故④正确.

故答案为：①②③④.

9.如图，在DA3c中，2ACB90?,2BAC30?,BC=1,分别以A3、AC为边作正三角形A3。、ACE,

连接。E，交A3于点尸，则。尸的长为巫.

—2—

【解析】如图所示，过D作。＜7八45于G,过E作七〃八D4,交D4的延长线于H,

Q7E4C60?,?BAC30?,

\?EAG2AGD90?,

QBC=1,

\RtDABC中，AC=V3,AB=2,

又QDABD和DACE是等边三角形，

\AE=6,DG=B

\DG=AE,

又Q2DFG?EAF,

\DAEF@DGDF(AAS),

\DF=-DE,

2

又QRtDAEH中，?EAH30?,

\HE=-AE='6,AH=-9

222

37

\DH=DA+AH=2+-=-

22t

\RtDDEH中，DE=y)HE2+DH2=(1)2=713,

\。月的长为巫，

2

故答案为：巫.

2

10.如图，四边形ABCD中，AB=BC=4,?ABC60?,?ABD?BCD180?,对角线AC、8。相交于

点、E,H为BD的中点.若CE=1,则E长为—.

一4一

B

【解析】QAB=BC=4,1ABC60?,

\DABC是等边三角形，

\1BAC?BCA60?,AB=BC=AC=4,

过点8作？AB/2CBD,交AC于/，作8V八AC于N,如图所示:

则4V=C7V=2,BN=—AB=273,

2

I?ABF?CBE

在DAB/和DC班:中，iA8=8C,

BAF?BCE

\DABF@DCBE(ASA),

\AF=CE=],\CF=3,FE=AC-AF-CE=4-1-1=2,FN=EN=-EF=

2

\BF=BE,BF=y/BN2+FN2=J(2后+F=岳,

\?BFE?BEF,

Q2ABD?BCD180?,

\?ABD?CBD2CDB,

Q2ABD?ABF?FBE?CBD?FBE,

\?FBE?CDB,

\BFHCD,

\DFEB^DCED,

BF_BE_FE_2

'而=9=瓦=丁

\f_1n_岳

\CD——BF------,

22

连接FD并延长交BC的延长线于M,

则CD是DBFM的中位线，

\DM=DF,

QH为BD的中点，

\CH是D8DW的中位线,

\CH=-DM=-DF

22f

QB尸//CD,

\?DCE?BFE,

Q?BEF?DEC,

\2DCE?DEC,

\nrnr用

2

作QG八AC于G,

\CG=EG=-CE=-,

22

\FG=EF+EG=I，DG=Jc>-CG?=J（半尸・（；了二G，

1用

\xCriH4=—DF=-----；

24

故答案为：叵.

4

11.如图，DAPB中，AB=20,2APB90?,在AB的同侧作正D43Z）、正DATE和正D8PC,则四边

形PCDE面积的最大值是2.

【解析】如图所示，过户作于G,过户作P/7AAE,交AE于H,

Q2APE2BPC60?,2APB90?,

\?EPC150?,

QDAPE是正三角形，PHAEt

\?APH2EPH30?,

\?CPH180?,即点。、P、”在一条直线上，

在正DAB。、正D4PE和正D8PC,

\AE=APfAD=AB,BP=CP,2EAP?DAB60??CPB,

\?DAE?BAP,

\DAED@DAPB(SAS),

\ED=BP,

\ED=CP,

同理可得£P=DC,

\四边形PCDE是平行四边形，

Q?EPH30?,

\EH=-EP=-AP,

22

'S平行四边形CDEP=EH?CPBPSDABPf

QAB=272,1APB90?,

\以A8为直径作圆，当汽;最大时，SD®的面积最大，

此时G尸为半径，

\仓即点=2，

\四边形PCAE面积的最大值是2.

故答案为：2.

12.如图，在四边形ABC£＞中，？A90?,AD=2,AB-BC=1,圆心在线段B。上的eO交AB于点E、

【解析】如图在BA上截取即'=BC,连接DT.作Q0A8C于M,ON^AB于N.

\OM=ON,

\必平分DABC,

\?DBC?DBT,

QBD=BD,BC=BT,

\DDBC@DDBT,

\CD=DT,

QAB-BC=AT=1,

在RtDADT中，DT=QAD?+47,=122+『=有,

\CD=DT=6，

故答案为布.

三.解答题(共3小题)

13.如图，AO与BC相交于点尸，FC,?A?C,点E在BO的垂直平分线上.

(1)如图1,求证：？尸8E?FDE；

(2)如图2,连接CE分别交B。、4。于点H、G,当？FBD?DBE?ABF,CD=QE时，直接写出

所有与DABF全等的三角形.

c

图1图2

【解析】(1)证明：在D84户和DDB中

!?A?C

1E4=FC

!?4FB?CFD

\DBAF@DDCF(ASA)

\BF=DF

\?FBD?FDB

又QE在BD的垂直平分线上

\EB=ED

\2EBD?EDB

\1FBE2FDE

(2)答案：DHBE、DDFC、DDCH、DGED

理由如下：

由⑴?FBD?FDB,2EBD?EDB

Q?FBD?DBE

\2FDB?FDB

QBD=BD

\DBGD@DBED(ASA)

\BF=EB,DE=DF

QCD=DE

\BF=FD=DE=EB=BA=CD

设？AB/7x,则由已知，2FBD?FDB?EBD2EDBx

QAB=BF

\1A?AFB2x

在DABD中，x+2x+2x=180?

\x=36?

\1FBD1FDB1EBD1EDB36?

?AFB?CFD?A72?

\?CDB72?

QED=CD,2EBD36?

\?DCE?CED36?

Q?DBE36?

\?BHE72?

\DABF@DHBE,同理，DABF@DHCD,DABF@DGED

\与DAB/全等的三角形有DHBE、DDFC、DDCH、DGED

SS

EE

图1图2

14.(1)如图①所示，P是等边DABC内的一点，连接PA、PB、IPC，将D54P绕B点顺时针旋转60。得

DBCQ,连接PQ.PA1+PB-=PC2,证明？PQC90?；

(2)如图②所示，P是等腰直角DABC(?ABC90?)内的一点，连接PA、PB、PC,将D8AP绕B点顺时

针旋二转90。得D8C