精讲精炼（必修第二册）8.6空间直线、平面的垂直（精练）

8.6空间直线、平面的垂直（精练）

【题组一线面垂直】

1.（2021•全国♦高一课时练习汝口图，在正方体中，点E是棱8c的中点，点F是棱CC上

【解析】连接4B,则48是。E在面ABBiA内的射影,

于是OiEJ_平面A8/,又AFu平面AB\F,所以D\ELAF.

连接/）£则DE是DtE在底面ABCD内的射影.

：.DtELAF,DD}±AF,因为AEc£>A=。，所以AF_L平面。

又。Eu平面ORE,所以。ELAR

•••ABC。是正方形，E是BC的中点....当且仅当F是C。的中点时，DE±AF,

即当点F是CO的中点时，平面A3/.，g=1时，2E_L平面481.故答案为：1.

2.（2021・全国•高一课时练习）如图，四棱锥P-A8C。中，1ft4,平面A3C。，底面ABC。是正方形，PA^AD，

尸为尸。的中点.求证：AFJ_平面PDC.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：：PA_L平面ABCD,CDu平面ABCD,：.PA1CD.

,四边形ABCD是正方形，C£>J_4）,

又上4cAD=4，B4、ADu平面R4D，二8_L平面R4O，

；AFu平面PAD,ACD±AF.

•：PA=AD,FP=FD,：.AFYPD,

又CDPD=D,CD、P£>u平面PDC,AF_L平面尸£>0

3.（2021•全国•高一单元测试）如图，直三棱柱ABC-4SG中，底面是边长为2的等边三角形，点D,E分

别是BC,AS的中点.

（1）证明：DE〃平面ACGA；

（2）若88|=1,证明：GDJ•平面ADE.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

［解析］⑴连接A®AiC,

在直三棱柱ABC-4SG中，侧面ABB\A\是矩形,

因为点E是A8的中点，所以点E是A山的中点，

又因为点。是3。的中点，所以DE〃AC,

因为OEC平面ACCA,4Cu平面4CCA,

所以。E〃平面ACG4.

(2)连接在直三棱柱ABC-AIBIG中,

因为平面48C,AOu平面A8C,所以BB]±AD,

又因为底面ABC是等边三角形，。为BC的中点，

所以3cLW,又BCCBB尸B,

所以AD_L平面S8CG,又CQu平面BiBCC”

所以AOJ_G。，

由BC=2,得BD=l,又BBi=CG=L

所以=CQ=0，

所以峭+CW=BC；,所以C|£>_LO81,DBtAD=D,所以CQL平面408”

即CQ，平面AOE.

4.(2021•全国.高一课时练习)如图1,在直角梯形ABCO中，AD//BC,ZBAD=90°,AB=BC=-AD=a,E

2

是的中点，。是AC与BE的交点.将△回£沿BE折起到图2中\BE的位置，得到四棱锥A-BCDE.求

证：。£)_1_平面4。U

【答案】证明见解析

【解析】证明：在题图1中，

因为AB=BC=gAO=a,E是AO的中点，440=90°,所以8EJ_AC.

所以在题图2中，BEYAfl,BE±OC,

又AO?OCo,所以BEI平面HOC,

又CD/iBE，所以C£>,平面AOC.

5.(2021.广西•桂平市麻朗中学高一月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是菱形，ZABC=60°,

出，平面ABC。，点"、N分别为BC、朋中点，且网=AB=2.

(1)证明：BC_L平面AMN；

(2)求三棱锥N-AMC的体积；

(3)在线段PD上是否存在一点E,使得MN〃平面ACE；若存在，求出尸E的长；若不存在，说明理由.

【答案】（1）详解见解析；（2）也；（3）存在点E为尸。的中点，PE=42

6

【解析】⑴证明：因为A8C。为菱形，所以A8=8C,

又NABC=60。，所以AB=BC=AC,

又M为BC中点，所以8CJ_4W,

又附_L平面ABC，BCcTffiABCD,故附_L8c

XPAQAM=A,所以8cL平面AWN.

⑵由（1）知ABC为等边三角形，AB=BC=AC=2

又加为BC中点，则8M=CM=1,iiLAM=ylAB2-BM-=^3

因此S.Mr=-AMCM=-xy/3x\=—,

H/WL222

又平面A3CD,PA=2,N为公的中点，故AN=1

所以匕v-wc=：S即"'=34*1=4.

352.o

（3）存在点E,

取尸。中点E,连接NE,EC,AE,如图所示：

因为N,E分别为曲，PZ＞中点，所以NE/AAD,且NE=!AD,

22

又在菱形ABC。中，CM//；AD,且CM=1A。，

所以NE//MC,且NE=MC,即MCEN是平行四边形，故NM〃EC,

又ECu平面ACE,NMQ平面ACE,故MN〃平面ACE,

即在PC上存在一点E,使得MN//平面ACE,此时PE=gPD=&

【题组二面面垂直】

1.（2021•全国•高一单元测试）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，平面PCD_L平面

ABCD,PC=a,=为小的中点.

求证：平面£08_L平面ABC。.

【答案】证明见解析

【解析】如图所示，设AC\BD=O,连接E。，则EO〃PC.

PC=CD=a,PD=-Jia,

：.PC2+CD2=PD2PCVCD.

'：平面PCD平面ABCD,平面PC。-平面ABCD=CD,

PC±平面ABCD,EO_L平面ABCD.

又EOu平面EO8,

故平面£DB_L平面ABCD.

2.（2021•山西省长治市第二中学校高一月考）如图，在三棱锥P-A8C中，ZACB=90°,必，平面ABC.

AB

C

(1)求证：平面PAC_L平面P8C

(2)若AC=8C=R4,求二面角A-PB-C的正切值

【答案】⑴证明见解析；⑵G.

【解析】(1).%1,平面ABC，R4_LBC

QAC1BC,PAAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC

.•.8CJ_平面PAC又BCu平面P8C,

平面PAC_L平面PBC.

(2)设M是A8的中点，过CNJ.PB于N,连接CM、MN

在,A3C中AC=BC,:.CM1AB,

又;尸A_L平面ABC，平面平面ABC,

：,CM1平面PAB,CM±PB

又1PBLCN,CMCN=C,.^.PB，平面CM/V

PB±MN,:.AMNC是：面角A—PB-C的平面角.

设AC=3C=R4=1,则在吊CMN中,

CM=—,CN=—,MN=—,

236

所以S"NMNC=g.

3.（2021•内蒙古包头♦高一期末）如图，在四棱锥P-ABC£＞中，已知底面A8CD是菱形，且对角线AC与BO

相交于点。.

⑴若PB=PD,求证：平面PBOL平面PAC；

（2）设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点F,使得P8〃平面向？请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.

证明：（1）连接尸O,一底面A6c。为菱形，8。=DO.

又・PB=PD,:.BD^PO

又-POcAC=O,.\8。，平面PAC.

Q8。u平［illPBD，，平面PAC平面PBD.

⑵棱PC上存在点尸，且尸为PC的中点，使得PB〃平面AEF,

证明如下：

连接AF,EF.

E是8c的中点，EF//PB

P8Z平面AE尸，EFu平面AE尸..•.P8〃平面A£F

4.（2021•广东白云•高一期末）如图，出垂直于0。所在的平面，AC为,。的直径，AB=3,BC=4,PA=30，

AE_LP8,点尸为线段BC上一动点.

(1)证明：平面平面PBC；

(2)当点F移动到C点时，求尸8与平面AEF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)上叵.

19

【解析】(1)证明：因为R4垂直于.O所在的平面，即F4L平面ABC,BCu平面ABC,

所以R4L8C,又AC为Q的直径，所以AB_LBC,

因为PAAB=A,所以BC_L平面%B,

又4Eu平面以B,所以BC_LAE,

因为AE_LP8，BCPB=B,

所以AE_L平面PBC,又4Eu平面AEF，

所以平面AEF±平面PBC.

(2)解：因为4?=3,PA=372.所以PB=JAB2+PA2=36，

又AELPB,所以AE==R，

由A32=3EPB，可得BE=G，

FGRF

如图，过点E作EG〃Q4交AB于点G,贝《失=有，可得EG=y/i，

PAPB

又8c=4,所以EC=dBC、BE2=晒,

所以SAA8c=；AB-BC=6,S-:AE-EC=半，

乙乙乙

设点B到平面AEC的距离为〃，

由％-入叱=匕--可得;53时/6=；5力4/，解得〃=噜，

所以当点尸移动到C点时，依与平面AEF所成角的正弦值为=巫.

BE19

5.（2021♦江苏・吴江汾湖高级中学高一月考）如图，在四棱锥P-ABC7）中，四边形ABC£＞为矩形，AB1BP,

M,N分别为AC,的中点.

⑴求证：MN//平面ABP；

（2）若5PLPC,求证：平面平面APC.

【答案】（I）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）连结BO，

由已知，M为AC和8。的中点，

又QN为PD的中点、，：.MN//BP.

出＜2平面钻尸，BPu平面ABP,〃平面ABP.

(2)AB±BP，AB1BC,BPcBC=B,二ABJL平面3PC.

PCu平面8PC,.-.AB1PC.

BPA.PC,AB=.•.PC,平面ABP.

PCu平面APC,...平面平面APC.

6(2021•山西太原市第五十六中学校高一月考)在四棱锥尸-"8中，底面ABCO是矩形，2_L平面A8C。,

PA=AD=4,AB=2,以8。的中点。为球心，80为直径的球面交尸。于点

P

(1)求直线BD与平面PAD所成的角的正切值；

⑵求证：平面平面PCD

【答案】(l)g;(2)证明见解析.

【解析】⑴；R4_L平面ABCD,BAu平面ABCD,

：.PALBA,

又底面ABCO是矩形，.•.8ALA。，

又B4,AOu平面以。，PAAD=A,

BAJ_平面以O,二直线8£>与平面必力内的投影为A£>,

，ZAD3即为直线BD与平面PAD所成的角，

又AB=2,AD=4,

tanZADB=—；

2

二直线双)与平面心。所成的角的正切值为

(2)证明：依题设，M在以8。为直径的球面上，则3例，叨，

由(1)得A3_L平面B4O,又P£)u平面PA力

:.ABYPD

,：ABBM=B,AB,8Mu平面A8M,

/>£)_!_平面ABM,

又PDu平面PC£>

平面AW_L平面PCD.

7.（2021•江苏如皋•高一月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，经过AB的平面与PD、PC分别交于点E与点F,

且平面平面尸CD,AELCD,8〃平面A8FE.

⑴求证：ABUEF：

⑵求证：平面R4£>_L平面尸CD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）C£>//平面ABFE,COu平面PCD,平面PCD1平面ABFE=EF

:.CD//EF

同理C0//AB:.AB//EF.

（2）由（1）知CD//E尸，AELCD,:.AELEF

平面ABFE_L平面PCD,AE±EF,

平面PC£>I平面AB庄'=•,AEu平面A8FE

.•.他_1_平面「。，又4Eu平面物。中，

二平面皿>_L平面PCD

8.（2021•江苏•滨海县八滩中学高一期中）如图，在三棱锥P-ABC中，2瓦尸分别为棱尸C,ACA8的中点,

已知P4_LAGAB工BC,且尸A=6,A8=BC=8,。产=5.

P

F

B

(1)求证：平面平面ABC；

(2)求直线尸8与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)逑.

5

【解析】⑴证明：分别为PC,AC中点，.1DE为△玄C的中位线

.-.DE//PA,h.DE=-PA=3,

2

PALAC,s.DELAC

又尸为A3中点，/为,ABC的中位线，.•.•=gBC=4

又DF=5,..DE?+EF'MDF"；.DELEF

又EFcAC=E,平面ABC

又DEu平面BDE,所以平面DEF_L平面ABC

(2)由(1)知OE_L平面ABC,又DEu平面尸AC,二平面PACL平面ABC

因为45=8C,E为AC中点，:.BE1AC

又平面PAC'平面ABC=AC,所以BE1平面PAC

NBPE为直线尸8与平面PAC所成角，

在直角△BEP中，PB=y/PA2+AB2=10-BE=AB-sin450=4y/2

所以sin/BPE=^=述

9(2021•江苏如皋•高一月考)在直三棱柱ABC-ABg中，F是Bg的中点，E是3c上一点，线段与3F

相交于点M,且4E〃平面ABF.

E

⑴证明：点M为线段BE的中点；

（2）若AB=AC,证明：平面AE81平面BCCM.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）设AB1CAB=N,连接MN,

因为AE〃平面48尸，AEu平面ABE，平面AqEc平面A/尸=MN

所以AE7/MN,

在直三棱柱ABC-A4G中，四边形为平行四边形

所以AN=NB1

因为AE//MN,所以EM=MB1,即点M为线段与E的中点.

⑵在直三棱柱A8C-A4G中，BCHBG

因为M为线段8E的中点，所以BE=B/

又因为4G=BC,F是4G的中点，所以BE=EC,

因为AB=4C,所以AE_L3C

在直三棱柱ABC-ABC中，8隹，平面ABC,AEu平面ABC

所以因为AEJ_8C,BB,BC=B,

8B|U平面B4GC，BCu平面8BCC，

所以平面8CGA，

因为AEu平面AEBt,所以平面AEBJ平面BCC.B,.

【题组三线线垂直】

1.（2021.安徽.六安市裕安区新安中学高一期末）如图，在长方体ABC£）-4BiG。的棱中，与棱AB垂直的

A.2条B.4条

C.6条D.8条

【答案】D

【解析】在长方体ABCD—AiBGd的棱中，与棱AB垂直的棱有BC,B\C\,AS,AD,A4）,BBi,CG,

DDi,共8条.故选：D.

2.（2021・全国•高一课时练习）如图所示，在空间四边形ABC。中，AD=BC=2,E,尸分别是48,CD的中点,

EF=正.求证：AD1BC.

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，取8。的中点”，连接FH.

因为E是AB的中点，且AC=2,

所以EH〃A£>,EH=\.同理厂"〃8C,FH=i.

所以/EHF（或其补角）是异面直线AO,8c所成的角.

因为EF=0,所以由+尸心石尸,

所以“EF”是等腰宜角三角形，£尸是斜动，

所以/E4F=90。，即AD与BC所成的角是90°,

所以A£>_LBC.

3.（2021•全国•高一单元测试）如图，已知矩形C£>EF和直角梯形ABC。，AB//CD,ZADC=90°,DE=DA,

M为AE的中点.

（1）求证：AC〃平面。MF；

（2）求证：BE1DM.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）如图，连结EC交£>产于点M连结

因为CDE尸为矩形，所以EC,OF相互平分，所以N为EC的中点.

又因为M为EA的中点，所以MN//AC.

又因为ACC平面DMF,且MNu平面DMF.

所以AC〃平面DMF.

(2)因为矩形SEE所以C£>J_O£

又因为N4/)C=90。，所以COJ_AD

因为。£"4。=。，DE,AOu平面AOE,所以C£>_L平面AOE.

又因为OMu平面ADE,所以CDA.DM.

又因为AB〃C7),所以ABJLDW.

因为4Z)=OE,M为AE的中点，所以AE_L0M.

又因为ABfUE=A,AB,AEu平面ABE,所以M£»_L平面ABE

因为8Eu平面ABE,所以BE_LMD

4.(2021・天津红桥•高一学业考试)如图，在三棱锥P-ABC中，物，底面ABC,BC1AC,M、N分别是BC、

PC的中点.

(1)求证：MN//平面抄1B；

(2)求证:BCA.PC.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)因为M、N分别是8C、PC的中点,

所以MN//PB,

又MNU平面R48,

PBu平面P48,

则MNH平面PAB

(2)因为刑工底面A8C,

且8Cu平面ABC,

所以B4J.8C，

又3C_LAC,

且P4AC=A,PAACu平面PAC

所以8C_L平面PAC,

又PCu平面PAC,

所以BC1PC.

5.（2021・全国•高一课时练习）如图，在三棱锥P-A3C中，尸^底面⑷^那台,笈刀式分别是筋/台的

⑴求证：DE//PA；

⑵求证：£）初/平面尸47；

⑶求证：ABVPB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）在三棱锥尸-ABC中，因为RE分别是的中点，

根据三角形的中位线定理，可得DE〃必.

⑵山（1）知。E//B4,因为序u平面产AC,OE〃PA,且。后山平面PAC,

根据线面垂直的判定定理，可得〃平面PAC.

（3）因为PC，平面ABC,且ABi平面4BC,所以AB_LPC,

又因为ABL3C,且PCcBC=C,所以AB_L平面PBC,

又由P8u平面PBC,所以/W_LPB.

6.（2021・广西・桂平市麻炯中学高一月考）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-A8C。中，ABLAC,PAA.

平面ABC。，且咫=A8,点E是PO的中点.求证：

⑴AC_LPB；

（2）PB〃平面AEC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】⑴四棱锥尸-A8CD中，因力_L平面ABC。，4Cu平面ABC。，于是得AC_L%,

而PAAB=A,平面以8,从而得ACJ_平面以8,又P8u平面租8,

所以ACUB；

⑵连接2。交AC于点O,连接E。，如图,

因底面ABC。为平行四边形，则有。是8〃中点，又E是PZ）中点，丁是得EO//P8,而EOu平面4EC,

P8a平面AEC,所以尸8〃平面AEC.

【题组四线线角】

1.（2021•黑龙江•嫩江市第一中学校高一期末）如图，空间四边形A8C。的对角线4c=8,BD=6,M,N分

别为AB,C£＞的中点，并且异面直线AC与2。所成的角为90。，则MN=（）

4

c

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】取A。的中点P,连接PM,PN,则8D〃PM,AC//PN,

.../MPN或其补角即异面直线4c与8。所成的角，

AZMPN=90°,PN=^AC=4,PM=^BD=3,：.MN=5.

故选：C.

2.（2021・全国•高一课时练习）已知正四棱锥P-ABCC,以=2,4B=0,M是侧棱PC的中点，且BM=O,

则异面直线出与8例所成角为.

【答案】45°

【解析】如图，连接AC,8。交于点O,连接OM,则N0M8为异面直线必与8M所成角.由O,M分别

为AC,PC中点，得OM=g%=1.在用二40B中，易得OB=4Btan45o=l.又BM=母,BPOB'+OM1

=BM,所以..OMB为直角三角形，且NOMB=45。.

3.（2021.全国•高一课时练习）如图，在三棱柱ABC—4BG中，AAi±AB,AAt±AC.若AB=AC=A4i=1,

BC=立,则异面直线4c与aG所成的角为一.

4

【答案】60°

【解析】依题意，得BC〃BC,故异面直线AC与8G所成的角即BC与4c所成的角.连接AB,在-

4BC中，BC=AIC=AIB=y/2,故NAC8=60。，即异面直线AC与BiG所成的角为60。.

故答案为：60°.

4.（2021.全国•高一课时练习）在正三棱柱ABC—4BC中，。是AB的中点，则在所有的棱中与直线8和

441都垂直的直线有.

【答案】AB,AiBi

【解析】由正三棱柱的性质可知与直线8和AA都垂直的直线有AB,4S.

故答案为：AB,

5.（2021•全国•高一课时练习）若NAO8=135。，直线”〃OA,a与08为异面直线，则“和08所成的角的

大小为.

【答案】45。

【解析】因为直线。〃04,〃与。B为异面直线，

所以ZAOB的补角为a与OB所成角，

又NAOB=135°,

所以a与08所成角的大小为180°-135°=45°.

故答案为：45°

6.（2021.全国.高一课时练习）如图，在四面体A—58中，AC=BD=a,AC与3。所成的角为60，M、

N分别为A3、8的中点，则线段的长为.

【解析】取BC的中点E,连接EM、EN,

M.E分别为AB、8c的中点，且ME=；AC=],

同理可得EN//BD且EN=^BD=%,

22

.•.NME7V为异面直线AC与BO所成的角或其补角，则/MEN=60或120.

在,.MEN中,EM=EN=~.

2

若N"EN=60,则MEN为等边三角形，此时，MN=3；

若NMEN=120，由余弦定理可得MN=，EM2+EN2-2EM.ENCOS120=—a.

2

综上所述，MN=;或Ba.

22

故答案为：；或——a.

22

7.（2021.全国•高一课时练习）如图所示，空间四边形A8C3中，两条对边钻=8=3,瓦尸分别是另外两

APRF1r-

条对边A。,BC上的点，且芸=芸=：,EF=逐，则异面直线A8和CZ）所成角的大小为___________.

EDFC2

【答案】900

【解析】如图，过点E作EO〃AB,交BO于点。，连接。尸

异面直线AB和8所成角即为NEOF或其补角

21

在AEOk中，OE=1AB=2,OF=-CD=\,又EF=也

:.EF2=OE2+OF2ZEOF=90°..•异面直线AB和8所成角的大小为90

故答案为：90

8.（2021•全国•高一课时练习）如图所示，A3是圆。的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是MB、VC的

中点，求异面直线OE与A8所成的角.

【解析】因为。、E分别是丫2、VC的中点，

所以8C〃OE,因此/A8c是异面直线。E与A8所成的角,

又因为AB是圆。的直径，点C是弧AB的中点，

所以△ABC是以NACB为宜角的等腰宜角三角形，

于是NABC=45。，

故异面直线DE与AB所成的角为45。.

【题组五线面角】

1(2021.黑龙江•鸡西实验中学高一期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCZ)是平行四边形，A4_L底面

ABCD,NPCD=90°,PA=AB=AC=2

(1)证明：ACLCD.

(2)若E是棱PC的中点，求直线AZ)与平面PC。所成的角

【答案】⑴证明见解析(2)3

【解析】(1)证明：因为底面ABC。，COu底面A8CO,所以P4LC。，

因为NP8=90。，所以尸C_LC£),PAQPC=P,PAPCu平面PAC,

所以C。工平面PAC,因为ACu平面P4C,所以QD_LAC.

(2)由(1)8J•平面PAC,AC,AEu平面PAC,所以CD_LAE,CDLAC,

因为E4=AC=2,E为PC的中点，所以4E_LPC,因为PCDC£)=C,尸心。。匚平面;>8,所以4E，平

面PC。，所以ZEZM即为直线AD与平面PCO所成的角，因为PA=A8=AC=2,所以

AD=\lAC2+CD2=2V2>=所以AE=；PC=0,所以sinNE£>A=^=金=；，

因为“皿呜，所以双人小即直线犯与平面口所成的角为全

66

2.(2021・全国•高一课时练习)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A山Ci中，。是8c的中点.

(1)求证:4O_L平面BCCiB」,

(2)求直线AG与平面BCCB所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)包.

4

【解析】⑴直三棱柱A3C-48Q中，88」平面A8C,，跖」/!。，。是8c的中点,

/.AD1BC.XBCCBBi=B,.,*。_1_平面BCC\B\.

⑵连接GD由(1)4〃平面BCCiBi,则/4GO即为直线AG与平面BCGB、所成角.

在RfAG。中，AD-—,AC[=y/2»sinZAC\D=-^-=^~,

2AG4

即直线AG与平面BCCiBi所成角的正弦值为好.

4

3.(2021.全国•高一课时练习)如图在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是边长为々的正方形，侧面皿＞_1_底

面A8CD,且尸A=P£＞=也叫设E,尸分别为PC,3£＞的中点.

2

(1)求证：EF//平面PAD；

(2)求证：平面R4B_L平面PDC；

(3)求直线EF与平面ABCZ)所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析；⑵证明见解析；(3)45。.

【解析】(1)因为四边形A6c。为正方形，连接AC,则ACc8O=尸，尸为AC中点，E为PC中点，所以在

CPA中EF//PA,且PAu平面PAO，

EF<Z平面以£),所以EF//平面R4O.

(2)因为平面R4D_L平面ABC£>,

平面PAD平面4?C£)=4),且四边形ABC。为正方形，

所以以>，A。,。u平面ABCD,

所以CD_L平面PA。，所以C£)_LPA,

又PA=PD=叵AD,

2

所以△24。是等腰直角三角形，且4PD=90。，

即且CRPOu平面PDC,

所以24J■平面POC,

又PAu平面以8,所以平面尸AB_L平面PQC.

(3)因为M//P4,

所以直线E尸与平面A8CO所成角的大小等于直线PA与平面A8CD所成角的大小，

因为侧面PA。！■底面ABC。，所以NPAD就是直线如与平面4BC。所成角，在△”£)中，

PA=PD=—AD,所以NB4O=45。，所以直线£尸与平面ABC。所成角的大小为45。.

2

4.(2021•浙江•镇海中学高一期中)如图，在直三棱柱A8C-4耳£中，ABlBgA,B1AC,.

(1)求证：4£=与£；

(2)若BtC与AG的所成角的余弦值为:，求BBt与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵或走

72

【解析】⑴将棱M，明,CG分别向下延长，使得AA=A4,网=却弘。&=。。2,

连接用G，A片,如图:

.BCJ/BC，AB2与Aq的交点-为L用的中点,

BG/IB'C,

2G,

又A8_LAG，AC|C32cl=G，

.♦.48,平面A&G，

取的中点尸，连接口，

：.AtB//EF,

.•.£/，平面44G，

£F±C.£,

又•.C,£±M，

.•.G£：_L平面,

.•.C,E±AB2,

又E为的中点,

JA=C]B2,

GA=C,B2,CC,=qc^zqcA=ZC)C2B2=90°,

CCAnGG4，AC=C2B2,

AC=C2B2,AC=AG,C2B2=C、B[,

AG=MG

(2)由(1)知8c与AC；的所成角即纥J与AG的所成角，cosNB2GA=±g,

取AB的中点G,连接8G,

BB、与平面ABC所成的角即为EG与平面A4C所成的角,

"jcosNB2clA=—；时，

设£A=Gg=x,则AB^=x2+x2-2x2x(-；)=|x2,

AB,==^-x,

3

由(1)知EFLAB?,E为AB2的中点，故必=尸4,

AB2+BF2=(38尸J,

:.AB=2叵BF=OBB],

令BB]=y,则=

22

AB+BBj=AB2,

；.（即+（2犷=（孚/,

乂V=AC2+y）,则（播y『+（2,y）2=x（AC2+y2）,

AC=—y,

2

又11ABe为等腰三角形，所以GE,44，

又CE，A4，GE，A4，易得/GEC为EG与平面ABC所成的角,

B,C2=BC2+BB,2=乎y[+）?=*/,用炉=2=（；回=住力=犷,

2222

CE=y/BlC-S,E=^y-^y=^y

CG=ylCB--BG2=舟2-；y2=*>

73

.…「_CG_5,_回

sinZGEC==~—=----:

CE出7

~Ty

2222X2

当cosNgGAn;时，设GA=C1B2=X,则AB2=X+X-2XX^=~，

“一26

..AS=----x，

一3

AB=y/2BBt,

・•.（.丫+⑵）'（苧,

则+（2»=（¥）x（AC?+），2）,

.•.AC=半）,，CE=2y,CG=8

sinNGEC=—:

2

故BB、与平面AB,C所成角的正弦值为应或B

72

5.（2021.河北邢台.高一月考）如图，在直三棱柱ABC-481G中，底面ABC是BC=4夜的等腰直角三角形,

（2）求直线BB、与平面4。0所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

3

【解析】（1）证明：因为AB=AC,。为BC的中点，所以4DJ_BC.

又3B|JL平面ABC,ADu平面ABC,则陷，40.

因为8cBB、=B,BC,8qu平面BBCC，所以AD,平面880。；

（2）解：由（1）知，4），平面88。。，81。（=平面88《。，

所以

可求出4。=2也，A8=4,4。=2旗，

所以5.=：BD">=gx2j5x26=46，

S4„„=-B£）AD=-X2V2X2V2=4.

22

设点B到平面ADB,的距离为d,

4

由%得AD&d=]S

-Ag=%,-9，ABDB}8,

Bplx4V3xJ=lx4x4,解得]=生8,即点B到平面ADB1的距离为生叵.

3333

设BB|与平面A。片所成角为。，则5访6=岛=坐，即8瓦与平面4。用所成角的正弦值为史.

忸团33

【题组六二面角】

1.（2021・全国•高一课时练习）如图所示，在4ABC中，46_13。,&4，平面43。,。后垂直平分5。，且分别

交AC,SC于点£）,E,SA=AB,SB=BC,求二面角E-5O—C的大小.

【答案】60°.

【解析】为SC的中点，且S8=BC,

/.BEVSC.又£>E_LSC,BE£)E=E,

SC_L面8力E,又BDu面BDE,

：.BD1SC,

：SAL面ABC,3£>u面ABC,

ASA1BD,又SCSA=S,

，BO_L面SAC,AC,£>Eu面S4C,即B£)_L4c,J_£)E,

二ZEDC即为二面角E-8D—C的平面角.

设以:m口.由SAJ.AB,得SB=日

在△ABC中，ABLBC,SB=BC=4i,即4c=G，SC=2.

在用ASAC中，NACS=30°,故Z£DC=60。，即二面角E-BO-C的大小为60°.

2.（2021•广东揭东•高一期末）如图，48是圆。的直径，点C是圆。上异于A,B的点，直线PC_L平面ABC.

（1）证明：平面P8CJ•平面PAC；

（2）若点E是PC的中点，在AC上找一点尸使得直线£F〃平面R3,并说明理由.

（3）设AB=PC=2,AC=\,求二面角8-24—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）点尸为AC的中点，证明见解析；（3）必9.

19

【解析】（1）证明：QAB是圆。的直径，，BC_LAC,

又・PCJL平面ABC,BCu平面ABC,:.PC1BC,

PC\AC=C,且PC,ACu平面PAC,.•.BC，平面PAC,

又BCu平面PBC,

二平面PBCL平面PAC；

（2）尸为AC的中点，证明如下：

证明：取AC的中点F,由于点E为PC的中点，

所以EF//AP,

因为EFU平面R4B，"u平面EU5,

所以防〃平面RW；

p

(3>.8C_L平面PAC,P4u平面PAC,：.PALBC,

过C作CM_LB4于V,连结BM,

ncCM=C,KBC,CMu平面8CW,

PA±平山iBCM,从而得PAYBM,

.•./BMC为二面角8-P4-C的平面角,

2

在Rtz\BMC中，CM=飞,BC=5

二二面角8-PA-C的余弦值为2叵.

19

3.(2021•河北•衡水市第十四中学高一期末)在四棱锥尸-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,

/BC4=/S4=30°,以，平面ABC。，E,F分别为尸£>,PC的中点，PA^2AB.

(1)求证：平面PAC_L平面AEF；

(2)求二面角E-AC-8的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)-^.

【解析】（1）由题意，设AB=a,则上4=AC=2a,AD=4a,CD=2瓜,

PD=yJP/^+AD2=2旧a>又PAJ_平面ABC。.ACu面ABC。,

APAIAC,则在用△PAC中，PC=2五a，

在△PC。中，CD-+PC2=PD21则CQ_LAC,又CDu面ABC。，有如JLC£）,

又ACcPA=A,故有CD_L面PAC,又E,F分别为PD,PC的中点，即斯〃CD,

二EF±面PAC,又EFu面AEF,则平面PAC±平面AEF；

（2）过£作硝，AD,易知”为AO中点，若G是AC中点，连接EH,HG,EG,

：.GHLAC,EHA.AC,GHcEH=H,故AC,面E〃G,即/EG"是二面角E-AC-O的平面角,

...由图知：二面角E-AC-B为万一/EG”,

易知EH"PA,则E〃_L面ABC£>,GHu面ABCD,所以

在EWG中，EH=a,GH=^a,则G£=2n,

二cosZEGH=—,则二面角E-AC-B的余弦值为cos（乃-ZEGH）=--.

22

4.(2021•湖南•武冈市第二中学高一月考)如图，在四棱锥P-ABC。中，AD=2,AB=BC=CD=l,BC//AD,

ZPAD=90\N尸BA为锐角，平面P8A，平面PBZ).

P

⑴证明：期_L平面ABC7)；

(2)若AO与平面P8A所成角的正弦值为变，求二面角？-9-C的余弦值.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）-也.

2

【解析】

（1）证明：在平面尸84内过A作于E,

因为平面PBA±平面PBD,又平面PBAC\平面PBD=PB,

所以4EL平面P8。，BOu平面尸B。，所以AE_L8Q,

过B,C分别作BM、N,

取AD中点为2,则8C=QO,且BC//Q"

所以四边形8CQQ是平行四边形，BQ=CD,

所以QD=8Q=QA=1,

所以NAB£）=90。，BDLAB,

QA8IAE=A,且A3、AEu平面尸BA,所以BO_L平面尸PA