立体几何垂直归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题11立体几何垂直归类

目录

【题型一】线线垂直.............................................................................1

【题型二】线面垂直..............................................................................3

【题型三】面面垂直..............................................................................6

【题型四】翻折1:线线垂直......................................................................9

【题型五】翻折2：线面垂直....................................................................11

【题型六】翻折3：...................................................................................................................................................................14

【题型七】垂直探索性型........................................................................16

【题型八】垂直应用1:线面角...................................................................18

【题型九】垂直应用2：二面角...................................................................21

【题型十】垂直应用3:点到面的距离............................................................24

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................26

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................30

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................34

热点题型归纳

【题型一】线线垂直

【典例分析】

如图所示，在空间四边形ABCC中，AD=BC=2,E,尸分别是AB,CO的中点，EF=&.求证：AD1BC.

【答案】证明见解析

【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明.

【详解】证明：如图所示，取8。的中点H,连接E，，FH.

因为E是的中点，且4)=2,

BC

所以EH〃AD,EH=\.同理/“〃BC,FH=1.

所以NE”尸（或其补角）是异面直线4/9,8c所成的角.

因为“=亚，所以£“2+F42=EF2,

所以。EF"是等腰直角三角形，EF是斜边，

所以NE”尸=90。，即AD与8c所成的角是90°,

所以AC_L8C.

【提分秘籍】

基本规律

1.线线垂直

（1）方法1:利用平行关系，把两条要证的直线平移在一个平面内，计算勾股定理证明垂直

（2）转化为证明线面垂直。证明一条线垂直于另外一条线所在的某个平面。

【变式训练】

1.如图，在三棱柱ABC-A/C中，侧面AB4A为矩形，AB=\,AA,=y/2,。是的中点，BD与AB1交

于点。，且C。，平面AB4A

⑴证明：BC1ABI；

⑵若OC=COA，求三棱柱ABC-ABO的高.

【答案】（1）证明见解析；（2）显.

2

【解析】（1）要证明BC，A瓦，由于矩形明与B中，的=也,/3=1,。是44中点，可证得又

COJ•平面488出，则有COLAq,于是可得AB|_L平面C8O,从而得线线垂直；

（2）三棱柱ABC-A4G的高,根据等体积法Vc-ABA=求得.

【详解】（1）证明：由题意3。=〃序+4>2=旦,AB\=g.

2

AODOAD11卡Ji

且AAO£>\B,1OBOuD=LBD=LAO=±

OB,OBBB}236'八"3

222

AO+OD=AD^以ABt1BD.

又COJ•侧面4叫A，AB,ICO，又BD与CO交于点0,所以d片1平面C8O

又因为3Cu平面C8O.所以BCLAB—

c

(2)在矩形ABBH中，由平面几何知识可知04=立,08=逅---OC=42OA，：.OC=^-,

333

AC=1,BC=^-,S^BC=^设三棱柱A3C-AAG的高为/?，即三棱锥A-ABC的高为力

33

乂SA4ft4,=,由"c-A»A=〃-AM得S&ABc.h=研-0C,:-h=

2.如图，已知正方体48co-AMCQi.

(1)求AG与8c所成角的大小；

(2)若E,尸分别为棱AB,AO的中点，求证：AC.1EF.

【答案】(1)60°(2)证明见解析

【分析】(1)根据正方体的性质，证出AC//AG，由此得到ZBC4就是AG与80所成的角.然后在正三角

形AABC,中加以计算，可得AG与BC所成角的大小；

(2)平行四边形AAGC中可得AC//4G，可证EF//BD,又AC18O即可得证；

【详解】解：⑴如图，连接4C,做，山几何体"CO-AAGP是正方体，知四边形MGC为平行四

边形，所以AC//AG，

从而AC与8c所成的角为AG与8c所成的角，

由AB|=AC=BC，可知NB1C4=60。.

故AC与耳c所成的角为60。.

(2)如图，连接80，易知四边形AAGC为平行四边形，所以AC//AG，

因为E尸为AAB£)的中位线，所以EF//BD.又AC」BD,

所以EF1AC,所以

【题型二】线面垂直

【典例分析】

如图所示，在直三棱柱ABC—44G中，AB=BBl=BC,4(；，平面48。，。为AC的中点.

(1)求证：8。〃平面A8。；

⑵求证：8。J平面4期A；

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【分析】(1)利用线面平行判定定理去证明4c〃平面AB。；

(2)利用线面垂直判定定理去证明片G■1平面ABB出；

【详解】(1)连接A4与AB相交于M,则M为A4的中点.连接M£),

又。为AC的中点，〃〃。，

又B,C<Z平面AB。，MDu平面A2。，〃平面A?。.

(2)•••48=与8,.•.四边形ABBM为正方形，

4B_LAq.又平面AB。，48u平面A?。

二AG^AB,又AC|CAB|=A,Agu平面4B£,AB|U平面ABC

二ABJL平面ABC,又B|Gu平面AB©,

又在直三棱柱ABC-ABC中，BB,IB,CI(A、BcBB、=B,平面458人.

...4C]_L平面A881A

【提分秘籍】

基本规律

2.线面垂直

(1)定义法：证明一条直线垂直于一个平面的两条相交直线。

(2)面面垂宜性质法：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

【变式训练】

1.如图，在三棱柱ABC-AB©中，他，平面A8C,O,E分别为AC,4G的中点，AB=BC=6，AC=A4,=2.

⑴求证：ACJ■平面BOE；

（2）求点。到平面A8E的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）立

3

【分析】（1）通过证明AC_L£）B.AC}.DE,得证ACJ_平面

（2）由V『BE=VETBD，利用体积法求点D到平面ABE的距离.

【详解】（1）证明：•••AB=3C,D,E分别为AC,AG的中点，

/.AC±DB,且。E//4A，

又1平面ABC,DE±平面ABC,

又ACu平面ABC,，4C_LDE,

又ACJ_£>8,且£>EcZ）B=r>,£>E,Z）8u平面BOE,

，AC_L平面8£>E.

（2）VACLDB,AB=5AC=2AD=2,

BD=^AB2-AD2=2>

22225XLX2=1

BE=>JDE+BD=2y[2-AE=^DE+AD=y[5>AA8D=^-

在一ABE中，AB=AE=5BE=2近,

...BE边上的高为&布-（母）2=V3.

；.Sw=；x2应*百=技

设点D到平面ABE的距离为d,

根据勿-语=%-，得：xAxd=gxlx2,解得"=尬，

333

所以点D到平面ABE的距离为逅.

3

2.如图，在直三棱柱A8C-AfG中，ZBAC=90°,AB=AC=^AA,=2,4£=；的，D为棱CC的中点,

厂为棱BC的中点.

B

（1）求证：BE，平面AB,C；

（2）求三棱锥8-DEF的体积.

【答案】（1）证明见解析（2片

【分析】（1）由题设易证aAEB.：.B/回，结合直棱柱可得BE，,再由线面垂直的性质、判定证AC，5E,

最后由线面垂直的判定证结论；

（2）由线面平行的判定证想〃平面BCC6,再由乙一,加=匕一皿=匕一皿,.=七一八"及棱锥体积公式求体积

即可.

1111AEAB

【详解】（1）,.,46=4X4,AB=AC=2A4,，AA]=BBI,AE=-AB,AB=—,则^'=^".

VABC-AB©为直三棱柱,故侧面ABB,A,为矩形，"AB=ZABB,=90°,

综上一A.EBBABl,故NBAA=NAEB,又NEBA+NAEB=90°，,NEBA+ZBAB,=90°,则BE1AB,.

M±平面ABC,ACu平面ABC,

AA^AC,又ACLA8,MAB=A,A4IU平面ABu平面AB^A，

•••AC_L平面AB4A，又BEU平面ABB/,则AC_L8E.

,；AB,nAC=A,AB|U平面ABC，ACu平面AB。，3E_L平面ABC.

连接AF,AA"BB、,M<z平面BCC.B,.叫u平面BCC.S,,二A4,//平面BCC.B,,

BC

...三棱锥B-OEF的体积匕““=匕一皿=匕-皿=%--CO.•.•AB=AC=2,/R4c=90°,F为

8c的中点，BC=2jLAFJ.BC,，AF=BF=6，：.S博BF=；・BF-AF=g・^-sfi=l,

\1?

•••三棱锥B-DEF的体积VB_DEF=VD.ABF=-SAABF-CD=-X\X2^-.

【题型三】面面垂直

【典例分析】

如图，在空间四边形ABC。中，AB=BC,CD=DA,E,F,G分别是CO,DA,4c的中点，求证：平面

8EFJ_平面BGD.

【答案】证明见解析

【分析】利用线面垂直即可证明得到面面垂直.

A

F

【详解】

连接8G,EF,"：AB=BC,G为AC中点，所以ACLBG,又由CO=D4,

同理可证ACLOG,X'--BGQDG=G,BG,OGu平面BG。

，AC_L平面BGD.

■:E,尸分别为CD,D4的中点，.,.EF//AC,BGD.

又「E尸u平面BEF,平面8EFJL平面BGD.

【提分秘籍】

基本规律

面面垂直证明：

定义法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

【变式训练】

1.如图，在四棱锥产一/1BCQ中，AD//BC,ABYAD,平面平面ABC£>,E,尸分别为棱P£）,4。的

⑴求证：平面CM_L平面外£>；

⑵若AB=2,求几何体B4BCEF的体积.

【答案】（1）证明见解析⑵儿也

3

【分析】（1）得到四边形ABCF为平行四边形，AB//CF,从而得到CFLAD,由面面垂直得到线面垂直,

进而得到面面垂直；

（2）作出辅助线，转化为两个三棱锥，分别求出这两个三棱锥的体积，相加即可

【详解】（1）因为尸为4。的中点，所以4F=gAO,又=所以AF=BC,

因为4）〃8C,所以四边形ABC尸为平行四边形，所以AB//CF,

因为ABJ_AO,所以CF_LAQ,

因为平面PADJ_平面ABCD,平面RLDc平面ABCD=AD,CFu平面ABCD,

所以CFL平面PAD,

又CFu平面CEF,所以平面CEF_L平面力£>.

（2）连接PF,因为24=尸。，尸为AD的中点，所以PFLAD,

因为平面•平面A8CD,平面Q4Z)c平面A88=A。,尸尸u平面PAD,

所以PF,平面A8CD,

因为AB=2,所以4)=4,所以在..F4Z)中，AF=FD=2,PA=PD=24,又尸产_LA£>,

所以PF=>]PA2-AF2=2>/2>

2+4

梯形ABCD的面积为E=亍x2=6,

所以四棱锥P—ABCD的体积K=gs「PF=gx6x2&=4应.

因为E为棱PD的中点，故三棱锥E-FCD的高为gpF=0,

故所求几何体的体积丫=乂-匕=4&-手=华.

2.如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,ABLAD,CD^IAB,平面皿>J_底面ABCQ,PAYAD,E

和尸分别是C£>和PC的中点.求证：

(1)24，底面48。0；

(2)平面班产_L平面PCO.

【答案】(1)证明见解析⑵证明见解析

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可；

(2)首先证明出四边形相即为矩形，从而得到班:_LCD,ADLCD,再利用线面垂直的判定定理得到

CD1平面2D,再利用线面垂直的性质定理得到PA_LCD，再次证明CD1平面尸4£),从而CZ)_LP£),

最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.

【详解】(1)因为平面PA£>_L底面ABC£>,PAA.AD,

平面HLDc底面ABCD=AD,Elu平面PA£>,

所以PAL底面ABCD

(2)ABHCD,CD=2AB,E为8中点，

AB!/DE,ABDE,则四边形ABED平行四边形，

ABA.AD,所以四边形ABED为矩形，

BELCD,ADA.CD.

PA_L底面A3CO,8<=平面48。£>,，必_10).

又・丛,4。<=平面抬£),且24cAz)=A,

\a>A平面PAD,J£)u平面尸A£>,：.CDLPD.

E和尸分别是CD和PC的中点，.•.「£)〃£■尸，.•.8,EE.

又QCDLBE,EFBE=E,EF,BEu平面期小，

\CD入平面BEF,C£)u平面PCD,

，平面BEVJ_平面PCD

【题型四】翻折1：线线垂直

【典例分析】

在.ABC中，NACB=45。，BC=3,过点A作的>28C,交线段8c于点。(如图1),沿A。将△AB。折

起，使/比9=90。(如图2)点E,M分别为棱BC,AC的中点.

(2)求三棱锥A-88的体积最大值.

【答案】(I)证明见解析(2)：

【分析】(1)利用线线垂宜证明线面垂直，再利用线面垂直及平行关系证明线线垂直;

(2)通过线面垂直找到三棱锥的高，建立锥体体枳函数，利用导数法求最值即可.

【详解】(1)在ABC^,M,E分别为AC,8c的中点，则ME〃他，

折叠前AD28C则折叠后A。，。。，又一比Q=90。即CD_L8£),且ADBD=D,

又AOu平面ACB,Mu平面AOB,所以CD_L平面ACB,

又ABu平面AC8,所以CD_LA8,而ME〃他，所以CD_LA/E；

(2)设8O=x(0<x<3),贝lJCD=3-x,

因为A£>_LCQ,A。/3D,且GDIBD=D,

又COu平面8OC,8£>u平面8DC,所以">，平面83C,

所以为三棱锥A-BCD的高，

在八48中，ZACD=45°,ZADC=90°,所以AD=CD=3—x,

所以匕-BCD=gx《x(3-x)2=：x(3-x)2(0<x<3),

32o

则U=；(3-x)(l-x),令y，=0解得x=l或x=3(舍去)，

令丫'>0%用得Ovxvl,令S<0解得l<x<3,

所以匕-B8=!x(3-x)2在(0,1)上单调递增，在(L3)上单调递减，

6

故当x=l即当6£>=1,8=2时一，VA-BCD取最大值，

…嗑X=31X(3-1)2=]

此时63

【变式训练】

1.在.ABC中，ZACB=45,BC=3,过点A作AD/8C,交线段BC于点。(如图1),沿A。将△AB。折

起，使N3L>C=90(如图2),点E、例分别为棱BC、AC的中点.

A

A

图1图2

⑴求证：CD1ME；

(2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积.

【答案】(1)证明见解析(2)：

6

【分析】(1)由8。证得平面A3。，从而CDLAB,又MEHAB,即可得证；

⑵设比>=x(O<x<3),可证45_L平面BCD,可得展》f。以属广加-6/+”)，利用导数法

求最值，可知x=BD=l,又比)立平面AC。，利用等体积法，由匕一”加=%—求得答案.

【详解】(1)CDLAD,CDA.BD,ADBD=D,AD,8£>u平面ABD,

\8八平面ABO,43匚平面人8。，.・.8_1_48

又-分别为AC、BC的中点，，ME7/A8,.•.8_LME.

(2)图I所示的，ABC中，设3Z)=M()<x<3),则C〃=3-x,

ADVBC,ZAC8=45，,">C为等腰直角三角形，.・.4)=8=3-%.

折起后AOLOC,ADJ.BD,且BOIOC=D,BD、£>Cu平面8C£>,

.•.ADJL平面BCD,又NBL>C=90,.•.S8C0=：X(3-X),

VA-BCD=\AD-%CD=；x；x(3-xf=；(丁一6f+9x),XG(O,3),

JjZO''

令F(X)=：(X3-6X2+9X),xe(0,3),f'(x)=g(x-l)(x-3),

当Ovx<l时，/«x)>0,/(x)单调递增；当l<x<3时，/'(x)v0,〃x)单调递减，

.•.x=8D=l时，/(x)取最大值，即三棱锥A-8co的体积最大，

AQ_L平面BCD,8£>匚平面3。，,8£)_14。，

又BDLDC,ADDC=D,AD,£>。<=平面40),，8£>_1平面4。0,

因为E为线段8c的中点，所以E到平面ACO的距离g8。=；,

5

AAO,W=1S<MCO=91X2X2=1,又VA_MDE=VE_ADM=1x-|S^ADM=1‘故三棱锥A-MDE的体积为"

2223266

2.如图所示，在直角三角形ABC中，/ABC=9。，DE〃BC,BD=2AD=4,DE=1,将VAZJE沿OE折起到

△PDE的位置，使平面PDEJ_平面BCED，点M满足CM=IMP.

⑵求点”到平面PBE的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)逑i

21

【分析】(D根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直;

(2)运用等体积法求解.

【详解】(1)

在直角三角形ABC中，因为£>E/ABC,AB_LBC,所以DE1AB,

即在四棱锥P-DBCE中，DE1PD,DE1BD,PDoBD=D,/>/)u平面PQ8,3£>u平面PD8,

所以/平面PDB,从而BC幺平面PDB,

如图，在8C上取•点尸，使得b=23F,连接EF,MF,

因为30=24),所以8C=3OE=3,所以班'=1=OE,

又BFI/DE,所以四边形BFED是矩形，所以BD”EF,80a平面所u平面MEF,..8。〃平面

MEF,

在-PBC中，CM=2MP,CF=2BF,所以叱<=平面〃£尸,尸8<£平面河£尸，；.尸8//平面”所，

乂因为所cA/尸二尸，5£)u平面PB。，PBu平面PBD,所以平面PB。〃平面Affi/，

所以8c工平面用£户，故BCLME；

(2)连接BM,因为平面P£>E_L平面8CED,交线为DE,^.PD±DE,所以PD_L平面5C££),

所以三棱锥P-BCE的体积/_BC£=；x；8CxBDxPO=gxgx3x4x2=4,所以

_1_1_4

KM-PHE=l^C-PBE=5Vp_BCE=">

在ARBE中，计算可得PE=逐,PB=2石,BE=Vi7,由余弦定理得cos/BPE=叁,所以sin/BPE=叵，

55

S"RF=LpExPBsinNBPE=Lx百x2&叵=后,

PBE225

设点M到平面PBE的距离为d,则%故〃=率还=耳；

3SPBE21

综上，点M到平面P8E的距离为生旦.

21

【题型五】翻折2：线面垂直

【典例分析】

在平行四边形ABCZ)中，A8=6,BC=4,ZBAD=60°,过点A作C£)的垂线交8的延长线于点E,连

接£B交A£)于点F,如图①；将VAOE沿4£>折起，使得点E到达点尸的位置，如图②.证明：直线

平面3FP；

①②

【答案】证明见解析

【分析】根据题中的条件得到折叠后尸利用线面垂宜的判定定理即可证明;

【详解】图①中，根据已知条件可得，DE=2,AE=26,BE=46.

因为NDAB=ZADE,NDFE=ZAFB,

所以△ABFs/^DEF,所以--===—.

AFBFAB3

所以AF=3,BF=3拒,

因为AF'+B尸2=482,所以即3EJ_AD.

在图②中，因为尸产_LAD,BF±AD,

PFcBF=F,PFu平面BFP,BFu平面3fP,所以AZ）_L平面班P.

【变式训练】

1.如图（1）,已知边长为2的菱形ABC。中，ZDAB=60,沿对角线30将其翻折，使NA8C=90,设此

时AC的中点为0,如图（2）.

图⑴图（2）

⑴求证：DOJ.平面A8C；

（2）求点A到平面88的距离.

【答案】（1）证明见解析⑵2匹

3

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可证得”＞，AC；根据长度关系，可利用勾股定理证得00,50,

由线面垂直的判定可证得结论；

（2）利用等体积转化，即匕YCO=%TBC，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.

【详解】（1）连接30,DO.

四边形ABC。为菱形，.,./1£）=C£）,又。为AC中点，.•.DO_L4C；

在菱形ABC。中，ZDAB=60,:.BD=AB=2,

AB=BC=2,/ABC=90,AC=272.BO=~AC=-j2,

又DO=jAD2_A02=叵,:.DO2+BO-=BD-,..DOA.BO；

ACBO=O,AC,3Ou平面ABC,ZX＞_L平面43c.

[],79

(2)由(1)知：DO,平面ABC,.•.匕LJ＞ZiOL.=—SO=—/x2x2x&=-^c-；

363

设点A到平面BC£＞的距离为"，

S=x2x2xsin60

BCD2=G'...VA_BCD=VD-ABC=；SBCD，d=gd=2^.

解得：d=2匹，即点A到平面5。的距离为侦.

33

2.如图（1）,在边长为4的正三角形A3C中，D,E分别为AB,AC中点，将VAZJE沿。E折起，使二面角

A-DE-3为直二面角，如图（2）,连接AB,AC.

（1）求四棱锥4-8CE。的体积；

（2）在图（2）中，过点E作平面EFG与平面AB。平行，分别交BC,AC于尸，G.求证：EG_L平面A8C.

【答案】（1）3（2）证明见解析

【分析】（1）作。E中点。，连接AO,证明40,平面8CEO,结合锥体体积公式求解；

（2）根据面面平行性质定理证明AB〃FG,BD//EF,由此可证OFJ_3C,根据线面垂直判定定理证明

5C/平面AOF,根据平面几何结论证明EG，AC,由此证明EG,平面ABC.

【详解】（1）作OE中点。，连接A0,由已知；.AO，DE.因为二面角A-DE—3为直二面角，

所以平面ADE_L平面BC£>£,又平面ADE「平面BCDE=DE,AOu平面ADE,

二人。_1平面8CEZ）.由已知A£>=AE=DE=2,3C=4,A0=#>,梯形8CEZ）的高为G，

所以四棱锥A-BCEE）的高为6，梯形BCE£>的面积S=；x（2+4）xg=36,

所以四棱锥A-3CED的体积=；x3Gx石=3

(2)..,平面EFG〃平面A5O,平面EFGn平面ABC=FG,平面ABDA平面A^C=AB,

AB//FG,同理BD〃Eb,又DEHBF,...四边形班'£©为平行四边形，VBF=DE=^BC,

二厂为8c中点，；.G为AC的中点，又区4=EC,AEGYAC,

：AOJ_平面BCE。，8Cu平面8CED,AAOIBC,又OF1BC

VAOdFO=O,：.BCAOF,Wu平面AOF,

二BCLAF,；点G为直角三角形AFC的斜边AC的中点，；.GF=G4,

因为E4=EF=2,GE是公共边，:.AGEAmAGEF,：,ZFGE=ZAGE=90°,

故EGIGF,又EG_LAC又ACcGF=G,AC,GFu平再jABC,

，EG_L平面ABC.

【题型六】翻折3：面面垂直

【典例分析】

已知45c为等边三角形，其边长为4,点。为边AC的中点，点E在边A3上，并且。EJ_A8,将VA£>E

沿。E折起到KZE.

（1）证明：平面A'8E_L平面BCOE；

1IBP

（2）在棱8c上取一点P,使匕DE=5匕fCDE，求花•

【答案】（1）证明过程见解析（2），

【分析】（1）由折叠后位置关系不变得到线线垂宜，证明线面垂直，面面垂直；

（2）先根据体积关系得到四边形的面积为四边形面积的一半，作出辅助线，结合三.角形面积

7

公式求出CP=3,从而得到比例关系.

【详解】（1）因为DE_LAB,所以折叠后OE_LAE,DELBE,

因为A'Ec应;=E,4'E,8Eu平面A’8E，所以。E_L平面ABE，因为，>Eu平面8C£>E,

所以平面ABE1平面BCDE-.

（2）要想％吠=；%，_"只需四边形曲E的面积为四边形面积的一半，

连接8。，则AO=2,3Q=26，故DE=A0sin6Oo=g,AE=A0sin3Oo=l,

故SABC=5A。'=jx4x2^/^=,SADE=—AE-DE-,

2222

故四边形BCDE的面枳为46-中=普，

所以边形5尸■的面积为上正，SCDP=—.

4CDP4

4_7

由三角形面积公式得1C»CPsin60o=走CP=2叵，解得CP=：,烂=一=：.

2242\PC77

【变式训练】

1.如图1,由正方形A8CO与正三角形ABE组成的平面图形，其中AB=2啦，将其沿AC，45折起使得。，

图1图2

（1）证明：平面PACJ•平面A8C；

（2）若点M是线段”上，且PM=；PA,求三棱锥尸-用8c的体积.

Q

【答案】⑴证明过程见解析⑵]

【分析】（1）根据勾股逆定理定理和线面垂直判定以及面面垂直判定即可求解；（2）根据三棱锥的体积公

式和几何体的体积差即可求解.

连接AC与BD相交于点。，由正方形的性质知POLAC且AO=OC,

乂AB=20四边形ABCD正方形与三角形ME是正三角形，所以尸O=gJ（2夜尸+（2夜『=2,又

OB=PO=2,

PB=EB=2y/i,所以尸32=/3。2+。52,所以尸0,08,又因为POJ_AC,AC/。8=。，且立线AC和宜

线OB在平面ABC内，所以P01平面ABCPOu平面PAC,所以平面尸AC1•平面ABC.

（2）%MBC=%极一Vw=gsA"c.|PO|-gS"c（||PO“=tS"L|PO|="x｝（2虎）x（2点）x2=1.

2.如图1,在直角梯形ABC。中，A8//CC,ND48=90,C£>=248=2A£）=4,点E,尸分别是边8C,8的

中点，现将△的沿E尸边折起，使点C到达点尸的位置（如图2所示），且BP=2.

图1图2

（1）求证：平面4>E_L平面ABD；

⑵求点8到平面AOP的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)拽1

11

【分析】(1)连接5£>,3尸，巾等腰三角形的性质和勾股定理，证明PEJ_即，PELBE,可证得产石,平

面AB£>,即可证得平面APE_L平面ABD

(2)取A£>的中点0,连接OE,OE,PO,由勾股定理求尸。,帖,尸。，UL'-ABD，利用体积法求点B

到平面A。尸的距离.

【详解】(1)证明：由题意，连接即,8尸，因为CD=2AB=24)=4,ABHCD,

N7M8=90,F是边CD的中点，所以3k=B=2,则BC=2&，

又E是边8c的中点，则所18C,在折起中产石，所.

又BE?+PE?=+(&)2=4=B尸2,所以PELBE,

又BEEF=E,BEu平面ABD,E/u平面4®，

故PE_L平面钻£>,又PEu平面APE,所以平面APEJL平面ASD

而OE=g(AB+OC)=3,OD=^AD=\,所以DE=dOE。+OLf=加,同理4£：=布,

所以PO=y]PE2+DE2=2y/3,PA=yJPE2+AE2=26,PO=>]PE2+OE2=而，

所以.皿>是等腰三角形，所以5ft又匕«。=匕_,皿，即

PAD-h=\sABD-PE,所以屋啰产=/2义2*62反,即点8到平面ADP的距离为复空.

33而一1111

【题型七】垂直探索性型

【典例分析】

如图，在直三棱柱ABC-AAG中，ABC=90,AB=BC=\,M=3,M为棱AC上靠近A的三等分点,

N为棱AA上靠近A的三等分点.

⑴证明：MN//平面BBCC；

(2)在棱上是否存在点D,使得G。，面gMN?若存在，求出BQ的大小并证明；若不存在，说明理由.

B.D=-

【答案】（1）证明见解析⑵存在，9

【分析】（1）利用线血平行的判定定理即可求解.

（2）利用线面垂直的性质定理即可求解.

（1）取棱3c上靠近8的三等分点M,连接”,8M,

又“为棱AC上靠近A的三等分点，N为棱AA上靠近A的三等分点.

22

:.MMJ/^AB,NBJ/-AB.:.MMJINB、,且"M=N4

所以四边形MM百N是平行四边形，/.MN//M心

又NMz平面陷gu平面「.MN//平面8BCC；

（2）由直三棱柱的性质及NA8C=90,可知4N，侧面33CC,又侧面..B.N1C.D

由已知片M|_LG。，.・・/BBTMI+NBTDC\=90又NBGD+/BpCi=90,=ABBXMX

Ji/fBM[31.二tanNB[C\D=二J■所以B,D=—

tanZ/BDBn.M.=——L=J=_，118c='i。9"i。产

11BB.39M'

*-尹匕Jc

【变式训练】

如图，在四棱锥尸—ABCD中，侧棱尸底面ABC。，底面ABCD是直角梯形，AB//DC,ADLDC,

且AB=A£>=1,PD=DC=2,E是PC的中点.

PB

⑵在线段依上是否存在一点Q’使得PC，平面OEQ?若存在’求出迹的值：若不存在‘请说明理由.

理=3

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，曲

【分析】（1）取尸£>中点尸，由斡〃/=证得四边形£R钻为平行四边形，进而证得BE〃AF,

即可证得3E〃平面PAD;

PB

（2）存在点。，3=3,先求出PQ,PE,再由余弦定理求得。石，结合勾股定理证得QE_LPC,又OE,PC,

QB

即可证得PC_L平面。EQ.

取尸。中点F,连接EF,A尸，因为E是PC的中点，则E尸DC,EF=\DC=\,5LABDC,AB=\DC=\,

22

则E尸〃AB,M=AB,则四边形£K4B为平行四边形，则BE〃A。又AFu平面R4Z>,BE<Z平面PAD,

则3E〃平面PAD：

存在点Q,使得PC_L平面。EQ,此时右=3,证明如下：

QB

连接BZ),易得BD=e，8c=#+(2-1)2=0,又P£>_L底面ABC。，CO,3Ou底面ABC。，则

PD1DC,PD1DB,

则PC=V?^=2夜，PB“22+(我丫=R，则PB?+蹂2=PC?,PB1BC,又

PQ=|PB=半,PE=；PC=0,

cosZBPC=—=—.由余弦定理得，QE?=PQ?+PE2-2PQ-PEcosNBPC=；,QE2+PE2=PQ2,

PC23

QE±PC,又DELPC,QEcDE=E,QE,DEu平面DEQ,则PC,平面DEQ,故存在点Q,使得PCJ_

PB

平面QEQ,此时含=3.

【题型八】垂直应用1:线面角

【典例分析】

已知三棱柱ABC-A4G中，平面AACCJ平面ABC,ZABC=90。，M=AC=AC=2,BC=\,E是A8

的中点.

A\

E

B

(1)求证：BG平面AEC；

(2)求直线AC与平面AAB所成线面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵

13

【解析】⑴取AG,AC的交点O,连接EO证明g〃即即可.

(2)利用等体积法求C到平面AAB的距离，再计算直线AC与平面AAB所成线面角的正弦值即可.

【详解】⑴取AC,,AC的交点。,连接EO,因为三棱柱ABC-中有rACC,A,.故。为AQ中点，又E是

A3的中点，故OE为A8C冲位线.故OE//8G.

因为OEu平面AEC.8cl<2平面4£€\故8。1平面4建0

（2）取AC中点尸，连接AREP.因为伍=AC=AC=2.故AP，AC.AP=K.

又AC=2,8C=l,ZABC=90°,故他=^7^=6.

又平面4ACG-L平面ABC,且平面AACC|c平面ABC=AC,故\P1平面ABC.

故匕…c=gsMAP=；xgxgxlx>/^=g.

\E=yjA^+EP2=JsTJ=半.因为AB，BC,BCUEP,故AB±EP,

又API平面ABC.AB1平面ABC,故AP，AB,又APcEP=P.

故AB_L平面4EP.又/\Eu平面4EP,故AB1A,E.

故sAAB=/XABxJ3x^-=^j—•

设C到平面4AB的距离为〃，则

_1,__14,1x/39,1,2x/39

VvC-ABA,-^ScABA,.6_匕v-"<7_］，故§x—^—./!=5=>〃=—^—.

h2后由

故直线AC与平面AAB所成线面角的正弦值sin。=2=—R—=卫.

AL_L^L_1r

【提分秘籍】

基本规律

线面角：

计算线面角，一般有如下几种方法：

(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，

即可确定线面角；

(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度〃，从而不必作出线面角，

则线面角。满足sin。=彳3为斜线段长)，进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线/的方向向量，”为平面的法向量，则线面

角6的正弦值为sin。=卜05

【变式训练】

如图，在四棱锥尸-ASC£＞中，PA_L平面ABC。，底面A3CD是菱形，ZABC=60°,PA=20，E是线段PC

上的动点.

(1)若E是线段PC中点时，证