高中数学说题教案

高中数学说题

“教师说题”是近年来新兴的一项教研活动。概括地说：“说题”是指执教者在精心做

题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解

题规律。说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学

生的“学”与研究“考试命题”三者结合。开展说题活动能促进教师加强对试题的研究，从

而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。

“说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，直

接进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。

一、“说题”要注重“题”的选择

美国数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏”。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没

有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的

深入浅出，落实学生学的“有效”。说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。

因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”。

二、“说题”之“五说”

教师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学

观点上看说题”。我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。即一说“题目立意”、二

说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。

说题稿

东北育才学校王成栋

问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题

已知函数/(x)=lnx-ar2+(2-a)x.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)设4>0,证明：当0<x<L时，/(-+%)>/,(--%)；

aaa

(in)若函数y=/(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为证明：

/(朝)<°.

说题目立意

(1)考查求导公式(包括形如/(ox+。)的复合函数求导)及导数运算法则；

(2)考查对数的运算性质；

(3)导数法判断函数的单调性；

(4)考查用构造函数的方法证明不等式；

(5)考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。

说解法

(I)解：/(幻的定义域为(0,+8),(解决函数问题，定义域优先的原则)

/,(x)=--2ar+(2-a)=-(lv+1)(ar~l).(常见函数的导数公式及导数的四则运算)

XX

(i)若QWO,则，(x)>0,所以/(幻在(0,+8)单调递增；

1

(ii)若。>0,则由/(幻=0得1=一，

a

当xw(O,L)时，/'(x)>0,当xe(',+8)时，/,(%)<0(导数法研究函数单调性，涉

aa

及分类讨论的思想)

：./(%)在(0,L)单调递增，在(L,+8)单调递减.

aa

综上，当aK0时，/(x)在(0,+8)单调递增；

当a>0时，/(处在(0」)单调递增，在(',+oo)单调递减.

aa

归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错

点二是分类讨论的分类标准的选取。

(II)分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造

的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“〃!+幻>/•(■!■-幻”的不等式叫二元的不等

aa

式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。

解析：方法一：构建以x为主元的函数

设函数g(x)=/(-+x)-/(--x),(构造函数体现划归的思想)

aa

则g(x)=ln(l+ax)—ln(l-以)—2以，(这是本题的难点，很多学生不知要吧g(x)朝何方

象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有

利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复

合函数求导，只需掌握型。)

g\x)=-^—+———2a=2a『(/(如+。)型的复合函数求导)

1+ax\-ax1-ax

当0vxv4时,g'(x)>0,而g(0)=0,所以g(x)>0.

a

故当0<x<，时，f(L+x)>f(L-xy

aaa

方法二：构建以。为主元的函数

设函数g(a)=/d+x)-/d—x),则

aa

g(a)=ln(l+ax)-ln(l-ax)-lax

、,、xxc2x3a2

g(«)=------+--------2x=-~~—

1+axi-axl-a^x

由解得0<a<，

ax

1,

当0<Q<—时，g(q)>0,而g(0)=0,所以g(a)>0

x

故当0<Q<一,f(--FX)>/(---X).

xaa

归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将

不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。

(Ill)分析：判断了'(Xo)的正负，由(I)中单调性，可知，即确定五乜•与L的大小

2a

22

关系，又可等效成判断-一国与々的大小关系，根据(1【)中不等式可确定了(一-七)与

aa

/(乙)的大小关系，结合(I)中/(%)单调性，问题迎刃而解。

解：由(I)可得，当a<00寸，函数y=/(x)的图像与x轴至多有一个交点，

故a>0,从而/(幻的最大值为/己),月/(3>0.

aa

不妨设A(玉,0),B(X2,0),0(玉<工2，则°<不<-<^2.(结合图象分析更方便)

a

211

由(II)得f(——$)=/(—+——xl)>f(xl)=f(x2)(注意前后两问的衔接)

aaa

又/(X)在d,+8)单调递减

a

所以马>2-％,于是与=土卫>'.(利用函数性质脱掉函数符号)

a2a

由⑴知,f\xo)<O.

归纳小结：本小问解决主要是建立在第(I)(11)问的基础之上的，分析问题中注意数形

结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生

要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境

界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。

说数学思想方法

数学思想：(1)分类讨论思想(2)转化划归思想(3)数形结合思想

数学方法：(1)导数法确定函数单调性(2)构造函数法证明不等式

说试题背景来源

我认为,2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处:一方面来源于09、

10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将

11年辽宁省理科21题与09、10年辽宁理科21题对比分析：

2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，

从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。

首先从题干上分析：

09年辽宁省理科21题题干：f(x)=-x2-ax+(a-\)\nx,a>l

10年辽宁省理科21题题干：/(x)=(a+l)lnx+G：2+1

11年辽宁省理科21题题干：/(x)=lnx-ar2+(2-o)x

这三年都以/(x)=g(x)+〃(x)型出现，其中g(x)为对数Inx的形式，入。)为二次函

数型。略有不同的的是参数。出现的位置稍有不同。

另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的讨论，应该说，这是课改后辽宁高考

数学在这类试题上命题思路上的延续与继承。

从这三年的最后一问来看，

09年(II)证明：若a<5,则对于任意玉,々€(0,+8)),玉工工2,有丛义—“士)》_]

大一々

10年(II)设a<-4.如果对任意X],/e(0,+oo),I/(x,)-/(x2)>41-x2|,求a的

取值范围.

11年(口)若函数y=/(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段A3中点的横坐标为公,证

明：/,U0)<0.

09年与10年问题本质相同,都是割线斜率或斜率的绝对值大于或大于等于某一常数(就

是函数在某点处的导数)，稍有不等同的只是问题形式，09年是不等式证明题，10年为不等

式恒成立问题。11年在09年、10年基础之上有所创新与发展，将割线斜率变成了导数小于

0,其实「(与)<。中的“0”在本题中仍为割线斜率，即曲线的割线的斜率为0,由此

我们不难看出，出题人的命题思想与意图。

另外，我们再来研究10年天津高考数学理科21题

已知函数/(x)=xe7(xeR).

.(I)求函数/(x)的单调区间和极值；

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称.证明当x>l

时，/(x)>g(x)；

(III)如果再N/，且/(%)=/(9)，证明X]+龙2>2.

与辽宁试题相比较，不同之处在函数种类不同，问题的实质及解法完全相同。

-一般来说，高考试题来源可能有四个方面：一教材试题，二经典试题的改编，三往年高

考试题的改编，四竞赛或高等数学试题的下放。通过以上两个方面对试题来源的分析，我们

有充分的利由认为11年辽宁省试题来源于往年高考试题的改编。

题目的几何背景：

无论是函数/(x)=xe、还是/(x)=Inx-a/+3—2)x(a>0)其实都是先减后增

的单峰函数，利用图象的对称平移变化，就能出现在x的指定的某一范围下，/(x)、g(x)

两函数图象的端点处的函数值相同，图象有高低，也就产生了我们的试题中的第(II)问。

由于/(%)为单峰函数，图像关于直线x=/(/为函数的极值点)不对称，导致直线y=m

(或x轴)与曲线相交时，交点A、B到直线x=x0的距离不等，进而出现A8重点M在

x=%的右侧，也就出现试题中的第(IH)问。

说问题变式与拓展

对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以

变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。

问题变式一：已知函数/*)=111n一52+(