初中数学中考压轴题拔高尖子生辅导

努力的你，未来可期！

初中数学中考压轴题拔高尖子生辅导

—.解答题(共30小题)

1.(2014・犍为县一模)如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A(2,m),B(-3,n)为两动点，其中m>l,

连接OA,OB,OA±OB,作BC_Lx轴于C点，AD_Lx轴于D点.

(1)求证：mn=6；

(2)当SAAOB=10时，抛物线经过A,B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

(3)在(2)的条件下，设直线AB交y轴于点F,过点F作直线1交抛物线于P,Q两点，问是否存在直线1,使

SAPOF：SAQOF=1：2?若存在，求出直线1对应的函数关系式；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

专题：代数几何综合题；压轴题.

分析：(1)根据A、B的坐标，可得OC、OD、BC、AD的长，由于OA_LOB,可证得△BOO△OAD,根据相

似三角形所得比例线段，即可证得所求的结论.

(2)欲求抛物线的解析式，需先求出A、B的坐标；根据(1)的相似三角形，可得3OA=mOB,用OB表

示出OA,代入△OAB的面积表达式中，可得到OB?的值，在RtABOC中，利用勾股定理可求得另外一个

OB2的表达式，联立两式可得关于m、n的等式，结合(1)的结论即可求出m、n的值，从而确定A、B

的坐标和抛物线的解析式.

(3)求直线1的解析式，需先求出P、Q的坐标，已知SAPOF：SAQOF=1：2,由于两三角形同底不等高，

所以面积比等于高的比，即P、Q两点横坐标绝对值的比，可设出点P的坐标，然后根据两者的比例关系表

示出点Q的坐标，由于点Q在抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得点P、Q的坐标,

进而可利用待定系数法求得直线1的解析式.

解答：证明：(1)：A,B点坐标分别为(2,m),(-3,n),

BC=n,OC=3,OD=2,AD=m,

又;OA±OB,易证△CBCH△DOA,

.空旦萼，

一而.AF

••彳G，

/.mn=6.

解：(2)由(1)得，OA专B0，又S/kAOB=10,

■^OB*OA=10,

即BO・OA=20,

/.mBO2=60,

又「OB2=BC2+OC2=n2+9,

m(n2+9)=60,

又mn=6①，

/.m(n2+9)=mn•n+9m=6n+9m=60,

拼搏的你，背影很美!

2n+3m=20②，

①②联立得，m=6(m=>|不合题意，舍去)，n=l；

，A坐标为(2,6),B坐标为(-3,1),

易得抛物线解析式为y=-x2+10.

(3)直线AB为y=x+4,且与y轴交于F(0,4)点，

OF=4,

假设存在直线1交抛物线于P,Q两点，且使SAPOF：SAQOF=1：2,如图所示,

则有PF：FQ=1：2,作PM^y轴于M点，QN，y轴于N点，

；P在抛物线y=-x2+10±,

二设P坐标为(t,-t2+10),

贝I]FM=-t2+10-4=-t2+6,易证△PMF-△QNF,

.PMMFPF1

QN=2PM=-2t,NF=2MF=-2t2+12,

ON=-2t2+8,

二Q点坐标为(-2t,2t2-8),

Q点在抛物线y=-x2+10上,2t2-8=-4t2+10,

解得t=-我，(t=正舍去)，_

，P坐标为(-、巧，7),Q坐标为(2如,-2),

•••易得直线PQ为y=-后+4；_

根据抛物线的对称性可得直线PQ的另解为y=V3x+4.

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、图形面积的求法以及用待定系数法确定函数解析式

的方法，在(3)题中，能够将三角形的面积比转化为P、Q两点横坐标的比例关系是解决问题的关键.

2.(2014•昆山市二模)已知：如图1,抛物线y=-x?+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两

点，与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；

(2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得APAC的周长最小.请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；

(3)如图2,若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DELx轴，垂足为E.

①有一个同学说："在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q

时，折线D-E-0的长度最长这个同学的说法正确吗？请说明理由.

②若DE与直线BC交于点F.试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能,

请简要说明理由；

考点：二次函数综合题.

专题：综合题；压轴题.

分析：(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x?+bx+c中即可确定b、c的值，然后配方后即可确定其顶

点坐标；

(2)连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式，最后求得

其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标；

(3)①设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,求得L的最大值后与当点D与Q重合时

L=9+2=ll〈亚相比较即可得到答案；

4

②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得至IJEF=DF,CF=BF.然后根据DEIIy轴求得DF,得至UDF>

EF,这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形.

解答：解：(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x?+bx+c中，

f0=_1-b+c„(b=4

得Q,z得，y=-x9-+4x+5.

0=-25+5b+c1c=5

'.4y=-X2+4X+5=-(x-2)2+9,Q(2,9).

(2)如图1,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.

AC长为定值，，要使APAC的周长最小，只需PA+PC最小.

・点A关于对称轴x=2的对称点是点B(5,0),抛物线y=-x?+4x+5与y轴交点C的坐标为(0,5).

二由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小.

设直线BC的解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入5k+5=0,得k=-l,

y=-x+5,...当x=2时，y=3,...点P的坐标为(2,3).

(3)①这个同学的说法不正确.

•.•设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,则

L=-t2+4t+5+t=~t2+5t+5=~(t-

•.・a<0,.•.当七=1时'L最大值若.

而当点D与Q重合时，L=9+2=U<->

4

该该同学的说法不正确.

②四边形DCEB不能为平行四边形.

如图2,若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF,CF=BF.

•.•DEMy轴，.,.迈0=1，OE=BE=2.5.

EB-BF

当XF=2.5时，yF=-2.5+5=25即EF=2.5；

当XD=2.5时，yD=~(2.5-2)2+9=8.75，即DE=8.75.

DF=DE-EF=8.75-2.5=6,25>2.5.即DF>EF,这与EF=DF相矛盾，

四边形DCEB不能为平行四边形.

图1图2

点评：本题考查了二次函数的综合知识，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点的确定方法及有关的几何知识.在

求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

3.(2014•河西区模拟)已知抛物线y=x?+bx+c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交于点B.

(1)如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SAABM=3,求点M的坐标；

(3)如图2,若点P在第一象限，且PA=PO,过点P作PDLx轴于点D.将抛物线y=x?+bx+c平移，平移后的抛

物线经过点A、D,该抛物线与x轴的另一个交点为C,请探究四边形OABC的形状，并说明理由.

考点：二次函数综合题.

专题：压轴题.

分析：(1)首先求出b的值，然后把b=-2及点B(3,6)的坐标代入抛物线解析式y=x?+bx+c求出c的值，抛

物线的解析式即可求出；

(2)首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为(x,x2

-2x+3),过M点作y轴的平行线交直线AB于点N,则N(x,x+3),根据三角形面积为3,求出x的值,

M点的坐标即可求出；

(3)由PA=PO,OA=c,可得pD奇，又知抛物线y=x?+bx+c的顶点坐标为p(4c-b),即可

22

求出b和c的关系，进而得到A(0,lb),P(--lb，lb),D(-lb，0),根据B点是直线与抛物

线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A,可设平移后的抛物线解析式为产x2+mx+*b2,

再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合

ZAOC=90。即可证明四边形OABC是矩形.

解答：解：(1)依题意，-—^=1，

2X1

解得b=-2.

将b=-2及点B(3,6)的坐标代入抛物线解析式y=x?+bx+c得6=32-2X3+C.

解得c=3.

所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3.

(2)抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A,

A(0,3).

B(3,6),

可得直线AB的解析式为y=x+3.

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为(x,X2-2X+3),过M点作y轴的平行线交直线AB于点N,则N

-

SA=SA+SA=^MN*IXRXA|=3-

△ABMANN△BMN2BA

•■•■|[x+3-（x2-2x+3）]X3=3-

解得Xl=l,X2=2.

故点M的坐标为（1,2）或（2,3）.

(3)如图2,由PA=PO,OA=c,可得PD专.

2

•.•抛物线y=x?+bx+c的顶点坐标为P(-微，，

二抛物线y=x？+bx+.b?，A(0,P(彳/)，D(0)，

可得直线OP的解析式为尸-lbx.

2

■.•点B是抛物线y=x+bx+-1b2与直线行-,bx的图象的交点，

令-x2+bx+-^b2-

解得x,=-b,=--•

X1*xXo22

2

可得点B的坐标为(-b,lb).

2

2

由平移后的抛物线经过点A,可设平移后的抛物线解析式为y=x+lnx+-lbZ

将点D(-为0)的坐标代入产x2+mx+32,得

22

则平移后的抛物线解析式为y=x

令y=0,即J2=o-

解得x『-b,x2~~^b-

依题意，点C的坐标为(-b,0).

2

则BC=lb.

贝l|BC=OA.

又BCIIOA,

四边形OABC是平行四边形.

•••ZAOC=90°,

四边形OABC是矩形.

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题设计抛物线解析式得求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及

矩形的判定，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大.

4.(2014・资阳二模)如图已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，，点B的对应点为B，，若四边形AA，B，B为菱形，求平移

后抛物线的表达式；

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB，的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B，、C、D为顶点的三角形

与△ABC相似.

考点：二次函数综合题；两点间的距离公式；相似三角形的判定与性质.

专题：综合题；压轴题；分类讨论.

分析：(1)已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值.

(2)根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形AA，B，B一定为平行四边形，若四

边形AA，B，B为菱形，那么必须满足AB=BB，，由此可确定平移的距离，根据"左加右减”的平移规律即可求

得平移后的抛物线解析式.

(3)易求得直线AB，的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、

AC、B，C的长；在(2)题中已经证得AB=BB\那么NBAC=NBB，C,即A、B，对应，若以点B\C、D

为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①NB，CD=NABC,此时△B,CD”△ABC,

②NB,DC=ZABC,止匕时△B，DO△ABC；

根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标.

解答：解：(1)由于抛物线经过A(-2,4)和点B(1,0),则有：

(4

f"n=4,解得

lirrl-2itrl-n=0门="

故m=--,n=4.

3

(2)由(1)得：y=-&之-及+4=--(x+1)2+—；

3333

由A(-2,4)、B(1,0),可得AB=J(i+2)2+(。-4)2=5；

若四边形AA，B，B为菱形，贝IjABuBB♦S,即B，(6,0)；

故抛物线需向右平移5个单位，即：

y=-9(x+1-5)2+回=-❷(x-4)?+西.

3333

(3)由(2)得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；

•••A(-2,4),B，(6,0),

直线ABZ：y=--x+3；

2

当x=4时，y=l,故C(4,1)；

所以：AC=3遥，B(C=V5-BC=V10；

由(2)知：AB=BBZ=5,即NBAC=NBB，C；

若以点B\C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：

①NB,CD=ZABC,则4BQDs&ABC,可得：

义上皿，即亚上』B，D=3,

AB~AC5-3A/5

此时D(3,0)；

②NB,DC=ZABC,贝必B，DO△ABC,可得：

BLC-BL-D,即WLS,B，D=g

AC-AB3V5~53

此时D(型，0)；

3

综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D(3,0)或(生，0).

3

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知

识；(3)题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解.

5.(2014•南充模拟)如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2,OC=OE=4,

B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M,点P为线段

FG上一个动点(与F、G不重合)，PQI1y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)判断ABDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、0、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此

时点P的坐标；

(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能,

请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

专题：代数几何综合题；压轴题；待定系数法.

分析：(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

(2)根据勾股定理的逆定理，即可证得ABDC是直角三角形；分OP=OC,PC=OC,OP=PC三种情况即可

求得P的坐标；

(3)设点P为(x,x+2)Q(x,-X2+3X+4),贝I]PQ=-X?+2X+2,根据PQNM是菱形，贝IPQ=MN,即可

求得PM的长，判断是否成立，从而确定；根据②的解法即可确定P的坐标.

解答：解:(1)B(-1,0)E(0,4)C(4,0)设解析式是y=ax?+bx+c,

a-b+c=O

可得,c=4，

k16a+4b+c=0

a=-1

解得＜b=3，

、c=4

y=-X2+3X+4；

（2）ABDC是直角三角形，

•••BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=（BO+CO）2=25

BD2+DC2=BC2,

:BDC是直角三角形.

点A坐标是（-2,0）,点D坐标是（0,2）,

设直线AD的解析式是y=kx+b,贝内-2k+b=0,

[b=2

解得：4二1,

lb=2

则直线AD的解析式是y=x+2,

设点P坐标是（x,x+2）

当OP=OC时x2+（x+2）2=16,

解得：x=-1±A/7（x=-1-有不符合，舍去）此时点P（-1+J7，1+\,即）

当PC=OC时（x+2）2+（4-x）2=],方程无解；

当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，

.•.点P横坐标是2,得点P坐标是（2,4）；

当APOC是等腰三角形时，点P坐标是（-1+6，1+6）或（2,4）；

（3）点M坐标是（W,I），点N坐标是（£,-?§）,/.MN=H,

22244

设点P为（x,x+2）,Q（x,-X2+3X+4）,贝！JPQ=-x2+2x+2

①若PQNM是菱形，贝i]PQ=MN,可得xi=0.5,X2=1.5

当X2=1.5时，点P与点M重合；当xi=0.5时，可求得PM=、历，所以菱形不存在.

②能成为等腰梯形，作QHLMN于点H,作PJLMN于点J,则NH=MJ,

贝l|氏（-X2+3X+4）=X+2-1,

42

解得：x=2.5,

此时点P的坐标是（2.5,4.5）.

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，和菱形，等腰梯形的

判定.

6.(2014•河南模拟)点P为抛物线y=x2-2mx+m2(m为常数，m>0)上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转

90。后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，点Q为点P旋转后的对应点.

(1)当m=2,点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a；

(3)如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分NAQC,AQ=2QC,当QD=m

时，求m的值.

考点：二次函数综合题.

专题：综合题；压轴题.

分析：(1)首先根据m的值确定出原抛物线的解析式，进而可求得P、G的坐标，过P作PE^x轴于E,过Q

作QF^x轴于F,根据旋转的性质知：AGQFVAPGE,则QF=GE、PE=GF,可据此求得点Q的坐标.

(2)已知了Q点坐标，即可得到QF、FG的长，仿照(1)的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线

的解析式中，可求得a、b、m的关系式.

(3)延长QC到E,使得QC=CE,那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四边形OEDQ是平行四边

形(或证AQCDVAECO),那么QD=OE=m,而AQ=QE,且QO平分NAQC,易证得△AQOV&EQO,

则0A=0E=m,即A点坐标为(0,m),然后将点A的坐标代入(2)的关系式中，即可求得m的值.

解答：解：(1)当m=2时，y=(x-2)

则G(2,0),

•・•点P的横坐标为4,且P在抛物线上，

将x=4代入抛物线解析式得：y=(4-2)2=4,

P(4,4),

如图，连接QG、PG,过点Q作QF^x轴于F,过点P作PELx轴于E,

依题意，可得AGQFV△PGE；

贝!IFQ=EG=2,FG=EP=4,

FO=2.

Q(-2,2).

(2)已知Q(a,b),则GE=QF=b,FG=m-a；

由(1)知：PE=FG=m-a,GE=QF=b,即P(m+b,m-a),

代入原抛物线的解析式中，得：m-a=(m+b)2-2m(m+b)+m2

m-a=m2+b2+2mb-2m2-2mb+m2

a=m-b2,

故用含m,b的代数式表示a：a=m-b2.

(3)如图，延长QC到点E,使CE=CQ,连接OE；

,「C为OD中点，

：OC=CD,

•/NECO=ZQCD,

/.△ECOM△QCD,

/.OE=DQ=m；

「AQ=2QC,

/.AQ=QE,

vQO平分NAQC,

/.Z1=Z2,

△AQOM△EQO,

/.AO=EO=m,

:A(0,m),

「A(0,m)在新的函数图象上，

/.0=m-m2

mi=l,m2=0(舍)，

/.m=l.

点评：此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，难度较大.

7.(2014•海拉尔区模拟)如图，已知直线丫=1空-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点，且点A(1,-4)为

抛物线的顶点，点B在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)若点Q是y轴上一点，且AABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

考点：二次函数综合题.

专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论.

分析：(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点，那么可

以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.

(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在APOB和APOC中，已知的条件是公共边OP,若OB与

0C不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC,那么还要满足的条件为：

ZPOC=ZPOB,各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线丫二-x与抛

物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.

(3)分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论.找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求

解即可.

解答：解：(1)把A(l,-4)代入y=kx-6,得k=2,

y=2x-6,

令y=0,解得：x=3,

B的坐标是(3,0).

---A为顶点，

•••设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4,

把B(3,0)代入得：4a-4=0,

解得a=l,

y=(x-1)2-4=x2-2x-3.

(2)存在.OB=OC=3,OP=OP,.,.当NPOB=NPOC时，△POB」△POC,

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x.

设P(-m,m),贝!|-m=m2-2m-3,解得m=^——^12(m=舍)，

22

22

(3)①如图，当NQiAB=90。时，ADAQISADOB,

二里弛，即返4,二DQ.2

0DDB63^52

OQi=I,即Qi(0,-2)；

22

②如图，当NQ2BA=90。时，△BOQ2s△DOB,

-0B_0Q2an3_0Q2

0DOB63

OQ2=W,即Q2(O,♦)；

22

③如图，当NAQ3B=90。时，作AE_Ly轴于E,

则4BOQ3s△Q3EA,

.0B_°Q3即303

"Q3E而，4-0Q3~T'

,OQ32-4OQ3+3=0,.1OQ3=1或3,

即Q3(0,-1),Q4(0,-3).

综上，Q点坐标为(0,-I)或(0,2)或(0,-1)或(0,-3).

22

点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用

等重点知识.（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论.

8.（2014•句容市一模）如图，R3AOB中，ZA=90°,以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上,

OA=2,AB=8,点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O,且经过C点.

（1）填空：直线OC的解析式为y=2x；抛物线的解析式为y=x?；

（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点0、C）,抛物线与y轴的交点为

D,与AB边的交点为E；

①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理

由；

②设ABOE的面积为S,求S的取值范围.

考点：二次函数综合题.

专题：几何综合题；压轴题；存在型.

分析：（1）本题须先求出点C的坐标然后即可求出直线OC的解析式和抛物线的解析式.

（2）①本题首先需根据抛物线的移动规律设出抛物线的解析式，再根据平行四边形的性质即可得出m的

值.

②本题需先求出4BOE的面积S与m的关系，再根据m的取值范围即可求出S的取值范围.

解答：解：（1）・；OA=2,AB=8,点C为AB边的中点

二点C的坐标为（2,4）点，

设直线的解析式为y=kx

贝U4=2k,解得k=2

•••直线的解析式为y=2x,

设抛物线的解析式为y=kx2

则4=4k,解得k=l

二抛物线的解析式为y=x2

(2)设移动后抛物线的解析式为y=(x-m)2+2m

当OD=BC,四边形BDOC为平行四边形，

OD=BC=4,

①则可得x=0时y=4,

m2+2m=4,

(m+1)2=5

解得nF-1+V5.nF-1-V5(舍去)，

所以方-1+忘

y=(x+1-V5)2+2x(-1+遍)

=(x+1-巡)2-2+2旗，

②,：BE=8-[(2-m)2+2m]

=4+2m-m2.,.SABOE=—BE»OA

2

J(4+2m-m2)x2

2

=-m2+2m+4

=-(m-1)2+5,

而0<m<2,

点评：本题主要考查了二次函数综合应用，在解题时要注意结合题意求出抛物线的解析式并能列出方程是本题的

关键.

9.(2014•鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=-9(x-2)2+c与x轴交于A、B两点(点A

9

在点B的左侧)，交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MHLx轴于点H,MA交y轴于点N,sinNMOH=2舍.

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)过H的直线与y轴相交于点P,过O,M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E,F,若噩工时，求点P的

HF2

坐标；

(3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD,Q为(1)中的抛物线上的一动点，直线NQ

交x轴于点G,当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q,使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件

的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题；勾股定理；相似三角形的判定与性质.

专题：综合题；压轴题；存在型；数形结合.

分析：(1)由抛物线y=-3(x-2)2+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴的正半轴于点

9

C,其顶点为M,MH^x轴于点H,MA交y轴于点N,sinNM0H=2舍，求出c的值，进而求出抛物线

方程；

(2)如图1,由OE_LPH,MF±PH,MH±OH,可证△OEH”△HFM,可知HE,HF的比例关系，求出

P点坐标；

(3)首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NGI1MD,直线

QG解析式.

解答：解：⑴为抛物线y=-&(x-2)2+c的顶点，

9

/.M(2,c).

OH=2,MH=|c|.

Va<0,且抛物线与x轴有交点，

c>0,

/.MH=c,

•/sinZM0H=以后,

_5

.MH_2&

'ON飞".

OM=2^C,

2

OM2=OH2+MH2,

MH=c=4,

M(2,4),

二抛物线的函数表达式为：y=-9(x-2)2+4.

9

(2)如图1,/OE±PH,MF±PH,MH±OH,

/.ZEHO=ZFMH,ZOEH=ZHFM.

/.△OEH~△HFM,

.亚里

.而诬了

..HELI

•1——f

HF2

MF=HF,

ZOHP=ZFHM=45°,

0P=0H=2,

P(0,2).

(3)-/A(-1,0),

D(1,0),

M(2,4),D(1,0),

二直线MD解析式：y=4x-4,

ONIIMH,△AON-△AHM,

.AhLON_AO_l

ATMITAH"3?

AN=至，ON=&N(0,g).

333

如图3,若AANGSAAMD,可得NGIIMD,

直线QG解析式：y=4x+—,

3

如图4,若AANGJAADM,可得里理

ADAM

AG3,

6

G0),

6

综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y=4x+&gy=-&x+g

3193

点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会应用三角形相似定理，本题步骤

有点多，做题需要细心.

10.(2014•苏州模拟)已知，在RtAOAB中,ZOAB=90°,NBOA=30。，AB=2,以O为原点，OA所在直线为x

轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将R3OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点

C处.

(1)求点C的坐标和过0、C、A三点的抛物线的解析式；

(2)P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、0、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；

(3)M(x,y)是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标.

考点：二次函数综合题.

专题：计算题；压轴题；分类讨论.

分析：(1)在RtAOAB中，己知NBOA的度数和AB的长，可求出0A的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC

由AOAB折叠所得，那么NBOA=NBOC、且OA=OC,过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通

过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式.

(2)以P、0、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、

③OC=OP；

首先设出点P的坐标，在用表达式表示出AOPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可.

(3)在直线OB两边，到OB的距离等于近的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可.

解答：解：(1)由已知条件，可知OC=OA=—皿_=2如,ZCOA=60°,

tan30°

C点的坐标为(如,3),

设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

'c=0fa=-1

贝12a+2炳b+c=O,解得＜

3a+V3b+c=3c=0

所求抛物线的解析式为y=-X2+2A/3X.

（2）由题意，设p（V3-y），则：

OP2=y2+3>CP2=（y-3）2=y2-6y+9,OC2=12；

①当OP=CP时，6y=6,即y=l；

②当OP=OC时，y2=9,即y=±3（y=3舍去）；

③当CP=OC时，y2-6y-3=0,即y=3±2返；

••.P点的坐标是（如,1）或（如,-3）或（.如,3-2如）或（«,3+273）;

过A作ARJ_OB于R,过O作ON_LMN于N,MN与y轴交于点D.

•••ZOAB=90°,ZBOA=30°,AB=2,

OA=2-\/3>OB=4,

由三角形面积公式得：4xAR=2历2,

AR=«，

•••△MOB的面积等于△OAB面积，

在直线OB两边，到OB的距离等于«的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点,

ZNOD=ZBOA=30°,ON=V5，

贝OD=2,

求出直线OB的解析式是y=亨，

则这两条直线的解析式是y=Y£+2,y=盘-2,

33

占与x+2

f尸V392

解o

y=-X2+2A/3Xy=-X2+2V3X

f一亚

X1=V3X=2V3x43

解得:3

y1=3y3=0

此时，Mi（J3,3）、M2（3）.M3（2«,0）.M4（-立，-I）.

3333

点评:该题主要考查：利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面

积的解法等基础知识；类似（2）题的等腰三角形判定题，通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论，以免

漏解.

11.(2014•邻水县模拟)已知：如图，抛物线y=ax?+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是

C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设P(X,y)(0<x<6)是抛物线上的动点，过点P作PQIIy轴交直线BC于点Q.

①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？

②是否存在这样的点P，使AOAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

专题：压轴题；动点型；开放型.

分析：(1)已知了A,B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式.

(2)①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在(1)中己经求出，而一次函数可根

据B,C的坐标，用待定系数法求出.那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就

是关于PQ,x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值.

(3)分三种情况进行讨论：

当NQOA=90。时，Q与C重合，显然不合题意.因此这种情况不成立；

当NOAQ=90。时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；

当NOQA=90。时，如果设QP与x轴的交点为D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD・DA.由此可得出关于

x的方程即可求出x