高中数学：6-10平面向量的应用（学案）

第10讲平面向量的应用

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课程标准课标解读

1.掌握利用向量法解决平面几何中的垂

通过本节课的学习，要求能向量方法这一工具解决与平

直、平行、长度、夹角、面积等问题.

面几何、三角函数、物理学中的相关问题，使得问题的

2.掌握利用向量法解决实际问题，如：力

处理简便.

的大小、速度、位移、做功等问题.

3%知识精讲

知识点

一、向量在平面几何中的应用

1.利用向量研究平面几何问题的思想

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几

何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰,

便于操作.

2.向量在平面几何中常见的应用

己知。=。,凶）,6=（孙>2）•

（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件:

a//b<^>a=Ab<^>x^y2-x2y1=0（6#0）.

（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂

直等，常用向量垂直的条件：

a_Lb=a・b=0<=>+x%=。（其中a,6为非零向量）.

（3）求夹角问题，若向量。与b的夹角为利用夹角公式：

（其中a,6为非零向量）.

（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：

2222

Ia|=收+靖，或|A81=|AB|=7（X3-x4）+（y3-y4）（其中A,8两点的坐标分

别为（毛,%），（占，必）.

（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐

标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.

3.利用向量解决平面几何问题的步骤

（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几

何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究儿何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向

量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，

则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论.

二、向量在物理中的应用

向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、

功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体操作时，

要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象.

1.向量与力

向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，

但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量

平移到同一作用点上.

2.向量与速度、加速度及位移

速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.解决速度、加速度

和位移等问题时，常用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐

标运算来处理.

3.向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的

数量积，W=f-s=|F|」s卜cos<9（6>为尸和s的夹角）.

动量，“y实际上是数乘向量.

【即学即练1】设点。是正三角形A3C的中心，则向量AO，B0,0（?是（）.

A.相同的向量B.模相等的向量C.共线向量D.共起点的向量

【答案】B

【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，而这三

个向量的方向不同，起点不同，所以它们只有模长相等的一个条件成立.

【详解】O是正A8c的中心，

二向量04，OB,0。分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的，

。是正三角形的中心，

.•.o到三个顶点的距离相等,

即|OA|=|OB|=|OC],故选：B.

【即学即练2】.用力F推动一物体水平运动设尸与水平面的夹角为。，则对物体所做

的功为（）

A.\F\-sB.Feos<9C.F-ssin0D.|F|-p|cos6»

【答案】D

【分析】直接用向量的数量积即可求得.

【详解】力F对物体所做的功为W=/7=rH"cose.故选：D.

【即学即练3】物体受到一个水平向右的力6及与它成60。角的另一个力F.的作用.已知耳的

大小为2N,它们的合力户与水平方向成30。角，则鸟的大小为（）

A.3NB.局C.2ND.-N

2

【答案】C

【分析】如图所示，即得解.

【详解】

由题得Z40B=60,NAOC=30，所以ZBOC=NBCO=30,所以08=3C,

所以|加H/I，所以K和耳大小相等，都为2N.故选：C

【即学即练41在A3C中，ABCB<0,贝UA3C的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

【答案】B

【分析】由A8-CB=|A8|・|CB|cos8<0,可得cosB<0,分析即得解

【详解】由题意,ABCB^AB\\CB\cos<AB,CB>=\AB\\CB\cosB<0

:.cosB<0,乂Bw（0,乃）.-.B为钝角.则ABC的形状是钝角三角形.故选：B

【即学即练5】如图所示，若。是内的一点，且求证：ADA.BC.

【答案】证明见解析

【分析】设。工，」=。a］，A=才，根据向量加法得

计算＞-L结合条件可得＞：=［，，即可证明.

【详解】设备=/AC=b＞AD=e^而工，BC=3贝**，E7,

所以蓝-产G+X+，)2=＞+2cW-广

由条件知:W斗滔所以7/：才，即：(K力=0,即加a=0,所以A。，

BC.

【即学即练6］已知AB=(4,3),BC=(〃?,2),当实数，”为何值时，“A8C为等腰三角形？

【答案】a=T,—即,±后

O

【分析】首先根据题意求出AC=(4+肛5),进而求出,目,,。,卜4,然后分类讨论

|AB|=|BC|,|AB|=|AC|,|BC|=|/IC|,分别列出方程，求解即可求出结果.

【详解】因为AB=(4,3),8C=(肛2),所以AC=A8+8C=(4,3)+(%,2)=(4+,〃,5),

则网=5,忸牛d府+4,“卜J(4+〃?y+25,若|叫=,4,则5=，＞+4,即机=±百;

若卜用=卜4,则5=44+.)2+25,即，yT；若|BC卜则〃2+4=44+〃?)2+25，

37

gp^=--.

综上：，”的取值为-4,-名,土历.

O

Q能力拓展

考法01

1.平面几何中的垂直、平行问题

对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0),而对于这

一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.

【典例1】求证：直径所对的圆周角为直角.

【答案】证明见解析

【分析】

设圆心为。，圆半径为r,4?是圆的一条直径，点C是圆上不同于A,B的点，通过计算

CACB=0即可求证.

【详解】证明：如图，设圆心为O,圆半径为，A5是圆的一条直径，点C是圆上不同于A,

3的一点，则ZACB是宜径A3所对的圆周角.

由CA=CO+OA,CB=CO+OB，其中04+08=0，

得C4CB=(CO+OA)(CO+OB)=CO，+CO(OA+OB)+OAOB=产-产=0.

则C4_LC3,即NACB为直角.

所以直径所对的圆周角为直角.

【典例2］如图，已知A。,BE,CF是ABC的三条高，且交于点0,DGLBE于点G,

DH1.CF于点H,求证：HG//EF.

【答案】证明见解析

【分析】先由题意，得到G£j〃AE,设04=20万(/1X0),根据三角形相似，推出AE=2Dd，

AF=ADH，再由向量的线性运算，得到FE=4HG，即可得出结论成立.

【详解】证明：由题意，DG工BE，AELBE，：-GD"AE.

设OA=/IOD(2HO),则AE=/IDG.

同理A尸=义。”.

于是FE=AE-AF=A.(DG-DH)=AHG.

:.FE//HG,:.HG//EF.

【点睛】本题主要考查向量的应用，熟记向量的共线定理，以及向量的线性运算法则即可,

属于常考题型.

【典例3］已知A(l,2),B(4,0),C(8,6),£>(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.

【答案】矩形

【分析】根据通=反可得四边形为平行四边形，再根据茄.明=0可得四边形为矩形.

【详解】因为A8=(4,0)-(1,2)=(3,-2),OC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),

所以AB=OC，所以四边形ABC。是平行四边形.

因为=(5,8)-(1,2)=(4,6)，所以AB•AO=3x4+(-2)x6=0,

所以AB_LAO,所以四边形ABC。是矩形.

因为|AB|=JiQ.14。|=2V13,|AB\A4。I,所以四边形ABC。不是正方形.

综上,四边形A3CO是矩形.

【点睛】本题主要考查了利用向量共线与垂直的应用，属于中等题型.

【典例4】如图，在正方形A8C。中，E,F分别是AB,3c的中点，求证：AFLDE.

【答案】证明详见解析.

【解析】方法一设A£)=a,A3=》，则|。|引力,。/=0,

又£>E=ZM+AE=-a+g,AF=AB+BF=b+^,

所以A尸•。后=3+2>(-0+2)=-!，-3°/+工=-」|<1|2+_1传|2=0

2224222

故AFLOE，WAFLDE.

方法二如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,

则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以AF=(2,1),OE=(1,-2).

因为AFOE=(2,l)・(l,-2)=2-2=0,所以AF_LOE，即AF_LD£

【名师点睛】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：

(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向

量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；

(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平

行等问题转化为代数运算.

一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.

考法02

2.平面几何中的长度问题

平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向

量，利用向量知识求解.

【典例5】若平行四边形两邻边的长分别是46和46，它们的夹角是45。，则这个平行四

边形较长的那条对角线的长是.

【答案】4715

【分析】先利用题中的条件和两个向量的数量积的定义求出及AB-AD?的值，再

根据AC=|AC卜=J（A8+AO『,求出AC的值.

【详解】如图所示：设平行四边形AB8中，AB=4娓,AD=4也,NBAD=%则AC

4

为平行四边形中较长的对角线，由于AC=AB+AO，0.AB2=96-AD2=48-

AB-AD=4>/6x4A/3COSABAD=48.

AC=|AC|=JA?=&AB+AD）'=\lAB2+AD2+2ABAD=，96+48+2x48

=7240=4^,故答案为4后.

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量在几何中的应用，求向量的模的方法，

体现了数形结合的数学思想.

【典例6]如图，平行四边形ABCO中，已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC

的长为.

【答案】x/6

【解析】设AO=a,AB=/>,则8。=。一"AC=a+/>.

.".\BD\=\a-h|=7la|2-2a-b+\b\2=Jl+4-2a-b=^5-2ab，

：.\BD|2=5-2a/>=4,：.2ab=l.

：.\AC\=\a+b|=7l«|2+2ab+\b^=y]5+2a-b=46,即AC=指-

【名师点睛】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选

择基底，向向量的数量积转化，利用公式求解；二是建立平面直角坐标系，确定相

应向量的坐标，代入公式求解，即若a=（x，y），则|a|=&2+y2.

考法03

3.平面几何中的夹角问题

【典例7】等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐

标系，设A（2a,0）,B（0,2a）,则尸（a,0）,E（0,“），；.AE=（-2a,a）,BF=（a,-2a）.设向量

的夹角为。，

【名师点睛】根据己知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为X

轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向

量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.

【典例8】在四边形ABC。中，已知A（0,0）,8（4,0）,C（3,2）,£>（1,2）.

（1）判断四边形A8CD的形状；

（2）若AE=2EC，求向量EB与EC夹角的余弦值.

【答案】（1）四边形A38是等腰梯形.（2）福

【分析】（1）由题可得A8=2OC,且|而|=|明，即可判断四边形的ABCD的形状;

x=2

(2)设E(x,y),AE=(x,y),EC=(3—x,2-y),由AE=2EC可得，4,即可求得EB和EC,

进而求解即可.

【详解】（1）由题，因为Z>C=（2,0）.AB=（4,0）,所以A》=2DC,

又因为卜4=5/1再=右,[84=/3-4）2+4=6,所以四边形/188是等腰梯形

（2）设E（x,y）,所以AE=（x,y）.EC=（3-x,2-y）,

因为荏=2『；二岁》解得二，所以叫2闻衣

EBEC二乙§5

设向量EB与EC夹角为氏则cos0网•回广+[丘

故向量EB与EC夹角的余弦值为《

【点睛】本题考查向量在几何上的应用，考查向量的夹角，考查运算能力.

考法04

4.平面向量在物理中的应用

【典例9】河水的流速为2m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸,

则小船的静水速度为（）

A.10m/sB.2\/26m/sC.4\/6m/sD.12m/s

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得到匕=U-HWM=0,结合向量的运算，即可求解.

【详解】设河水的流速为匕，小船在静水中的速度为匕，船的实际速度为丫，

则同=2,问=10Q_LH,1/=匕+匕，所以％=吁匕,丫•匕=0,

所以问="?—2>/+匕2=2>/^（mis）,即小船在静水中的速度大小为故选:

B.

【典例10】若一个质点同时受到同一平面内三个力耳，F.5的作用，其中闺|=2N,方

向为北偏东30。；|E|=4N方向为北偏东60。；|玛|=6N,方向为北偏西30。建立如图所示的

平面直角坐标系，则合力F=.

【答案】（2痒2,2+4省）

【分析】分别求出耳，尸2,月的坐标，即得合力F.

【详解】

由题图可知月=(1,6),F,=(2>/3,2),招=(—3,3g),

所以尸=月+工+居=(26-2,2+46).

故答案为(26-2,2+4石)

【点睛】本题主要考查平面向量的物理应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【典例11】两个力耳=，•+/,玛=4i—5J作用于同一质点，使该质点从点4(20,15)移动到

点8(7,0)(其中i、j分别是x轴正方向、)，轴正方向上的单位向量，力的单位：N,位移

的单位：m).求：

(1)£，居分别对该质点做的功；

(2)£,鸟的合力尸对该质点做的功.

【答案】(I)耳对该质点做的功为-28(N-m),居对该质点做的功23(N.m);

(2)-5(N-m).

【解析】

(1)根据题意，求出位移AB，结合功的计算公式，即可求解；

(2)根据题意，求出合力尸，结合功的计算公式，即可求解.

(1)

UUH

根据题意，4=i+j=(l,l),f；=4/-5；=(4,-5),A3=(T3,T5),

故片对该质点做的功叱=丹•=-13-15=—28(N.m)；

入对该质点做的功%=£-A8=T3X4-15X(-5)=23(N-m).

(2)

根据题意，£,乙的合力/=4+6=(5,7),

故”，用的合力户对该质点做的功W=QAB=5X(_13)-4X(T5)=-5(N-m).

【典例12］如图所示，一个物体受到同一平面内三个力耳，F2,居的作用，沿北偏东45的

方向移动了8m,其中闵=2N,方向为北偏东30;|同=4N,方向为北偏东60；闾=6N,

方向为北偏西30,求合力厂所做的功.

【答案】24向

【解析】

【分析】

如图建立平面直角坐标系，求出E，E，耳以及位移G的坐标，进而可得合力尸=6+5+鸟

的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算W=F-s即可求解.

【详解】

如图建立平面直角坐标系，

由题意可得6=(1,G)，E=(26,2),鸟=(一3,36)，位移s=k点,4忘)，

所以尸=片+鸟+工=(26-2,2+46),

所以合力厂所做的功为卬=尸7=(26-2卜4a+(2+46b4夜=24向，

考法05

5.利用向量解决其他问题

【典例13】已知A,8是圆心为C,半径为右的圆上的两点，且|AB|=石，则

ACCH=.

【答案】-：

2

【分析】

根据求得NAC8=6O,结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】

由题意，圆C的半径为石，且,身=逐，可得48=60,

所以AC.CB=C8=-|G4HC@COSZACB=_6xbxg=_|.

故答案为：-2.

2

【典例14】在四边形ABCZ)中，已知A8=(4,-2),AC=(7,4),人。=(3,6),则四边

形ABCD的面积是.

【答案】30

【分析】

先证明四边形A8c。为矩形，然后即可求出面积.

【详解】

BC=AC-AB=[3,6)=AD,又因为8C=(4,-2>(3,6)=0

所以四边形A8CQ为矩形，所以卜@=,2+(-2『=2/」8C卜，3?+62=3百

所以5=网.|叫=2石x3石=30.

故答案为：30.

【典例15】若一个四边形以。(0,0)、A(2,0),8(3,3)、C(0,l)四点为顶点，则这个四边形

(选填“是”或“不是”)梯形.

【答案】不是

【分析】

根据题设，得到OCHAB，且OAHCB，即可得到答案.

【详解】

由题意，四边形以0(0,0)、A(2,0),8(3,3)、C(0,l)四点为顶点，

由OC=(0,1),4B=(1,3),所以°C与A8不共线，即4B与OC不平行；

由04=(2,0),CB=(3,2),所以。4与C2不共线，即OA与CB不平行；

由OB=(3,3),AC=(-2,1),所以08与AC不共线，即OB与AC不平行，

所以这个四边形不是梯形.

故答案为：不是.

【典例16】点。是△ABC所在平面内的一点，满足。==，则点O

是MBC的心.

【答案】垂

【分析】

根据向量数量积的运算律可整理出0a。4=0，即OBLAC；同理可得OALBC,

OC_LAS,由乖心定义可知。为垂心.

【详解】

OAOB=OBOC.-.(OA-OC)(9B=0,即gCA=0

:.OBLAC

同理可得：OALBC,OCYAB

•・・点。为AABC的垂心

本题正确结果：垂

【点睛】

本题考查三角形垂心的判断，关键是能够通过向量数量积的运算律整理出垂直关系.

【典例17】已知位置向量”=（0,-1）力=（3,—3）,。=（2,2）的终点分别为人.8,（7,试判断入4次7

的形状.

【答案】A/WC为等腰直角三角形

【分析】

根据题意可设OA=a=（0,-1）,。8=。=（3,-3）,OC=c=（2,2）,根据平面向量的加法儿何意

义可以求出A8,4C,求出它们的模以及计算出它们的数量积，最后可以判断出A43C的形状.

【详解】

OA=a=（0,-l）,OB=6=（3,—3）,OC=c=（2,2）,AB=AO+OB=（3,-2）,

AC=AO+OC=（2,3）.|AB|=^32+（-2）2=V13,AC=V22+32=V13

43-AC=0nAB_LAC,所以AABC为等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查了利用平面向量的模和平面向量的数量积判断三角形形状问题，考查了数学运算能

力.

M分层提分

题组A基础过关练

1

1.在Rf-A8C中，斜边3c长为2,O是平面A8C外一点，点P满足OP=OA+］（A8+AC）,

则IAP|等于（）

A.2B.1C.gD.4

【答案】B

—►1一__

【分析】利用向量的减法可得4P=5（AB+AC）,从而可得AP为RJA3C斜边BC的中线，

即可求解.

【详解】°尸=%+剑3+/）’—；（皿4AP《M+AC）,

.•.4/5为必_43。斜边8（7的中线，，|42|=1.故选：B.

2.某人顺风匀速行走速度大小为“，方向与风向相同，此时风速大小为丫，则此人实际感到

的风速为（）

A.a-vB.\）-a

C.a+vD.v

【答案】A

【分析】根据向量的运算法则及速度的合成，即可求解.

【详解】由题意，某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，

根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为a-v.

故选：A.

3.在四边形45CO中，AB^DC＞且|AB|=|8C|,那么四边形为（）

A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形

【答案】B

【分析】由向量相等可知四边形ABCD为平行四边形，由向量模长相等可知邻边长相等，知

四边形为菱形.

uuuuum

【详解】QAB=DC，：.ABHCD,AB=C。，.•.四边形ABC。为平行四边形，

又.■.平行四边形A3。为菱形.

故选：B.

4.长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行

速度匕的大小为M=10km/h,水流的速度匕的大小为闷=4km/h.设片和彩的夹角为

。（0＜夕＜180）,北岸的点A在A的正北方向，则游船正好到达4处时，cos6=（）

A.叵B.一囱C,2D.二

5555

【答案】D

【分析】设船的实际速度为v,根据题意作图，设匕与南岸上游的夹角为a,由题意可得cosa

的值，再计算cos6=cos（兀-a）的值即可.

【详解】设船的实际速度为v，片与南岸上游的夹角为如图所示，

岭4_2

要使得游船正好到达A处，则Mcosa=M，即cosa=——

TO-5

乂因为夕=兀一二，所以cos6=cos（兀一a）=-cosa=——,

故选：D.

5.已知菱形A8CO中，AC=2近,BD=2,点E为CD上一点,且C£=2即，则NAE8的

余弦值为（）

A.型B.史C.|D.3

5523

【答案】D

【分析】设AC与即交于点0,以。为坐标原点，AC，所在的直线分别为x,y轴建

立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案.

【详解】设AC与8。交于点。，以。为坐标原点，AC,3D所在的直线分别为X,y轴建

立平面直角坐标系如图所示，则点A（也0）,8（0,1）,E~|，

硝」35)EAEB2yfi

/.EA='EB-\~'3\则cosZ.AEB=

U,3,|EA||EB|~2yf3~3，

故选：D.

【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学

生的计算能力.

6.小船以10gh”/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为105〃h.则

小船实际航行速度的大小为（）

A.206kmlhB.20km/hC.igkm/bD.\0km/h

【答案】B

【分析】根据题意作出图示，然后根据垂直位置关系对应的勾股定理求解出小船的实际航行

速度.

【详解】如图，设船在静水中的速度为片=l（）Gb〃//?,河水的流速为丹=10机/力.

水流的速度为匕，则由片+片=说，得（1。6丫+1（）2=4，

.-■vo=±20,取%=20加》/〃,即小船实际航行速度的大小为20初1/〃.

故选：B.

7.若平面四边形48co满足48+CD=0,(A8-40在AC方向上的数量投影是0,则该四

边形一定是()

A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】C

【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直,

即可判断；

【详解】因为AB+CD=0,所以AB=DC，所以平面四边形ABCD为平行四边形，

又(AB-AD)在前方向上的数量投影是0,即丽•恁=0，即丽J.AC，

所以平行四边形A3CD为菱形.故选：C

8.已知三个力工=(-2,-1),人=(-3,2),力=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体

保持平衡，现加上一个力力，则力等于()

A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根据合外力为零，4个向量相加等于零向量求解即可.

【详解】为使物体平衡，则合外力为零，即4个向量相加等于零向量，

因为工=(-2,-1),£=(-3,2),£=(4,一3),所以£=(0-(-2)_(_3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,

2).

故选：D.

32

9.已知点尸是一ABC所在平面内一点，若AP==BC-；BA,则J3C与一43C的面积比为

43

()

A.-B.；C.-D.-

3234

【答案】A

【分析】假设-ABC是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得尸点坐标，由此求得

P3C与，ABC的面积比.

【详解】假设,ABC是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如图所示平面直角坐标系，设P(x,y),则8(0,2),C(2,0).BC=(2,-2),8A=(0,—2),

37323」

依题意=即（x,y）=j（2,-2）-］（O,-2）=

2，-6

SAPC=JX2X2=2，

occ1_11-_1-31-32

PAC4-^e=—x2x—+—x2x2--x2x—=—+2--=—.

2O222o23

2

所以一相。与ABC的面积比为3_1•故选：A

~2~3

10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重

E

力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为上，F2,且MI=WI，石与的夹角为。，下

列结论中正确的是()

A.。越小越费力，。越大越省力B.。的范围为［0,可

当”暂时，同=恂

C.当"1时，闿=向D.

【答案】D

【分析】根据忖=|耳+可为定值，求出忻卜再对选项进行分析、判断即可.

2（14-COS6)

【详解】对A,忖=%+用为定值，."G『=K+同+2同x闾xcos9=2W『(l+cos6),

解得：同2=2(*8)；由题意知：6«0㈤时，y=cos。单调递减，.•.忻『单调递增,

即。越大越费力，。越小越省力，故A错误;

对B,当仇:万时，片+玛=0不满足题意，故B错误;

当。=三时小中等忖

对C,故C错误:

对D,当6=杏时，㈤MM，二闾=忖，故D正确.故选：D.

11.已知点0、N、P在43C所在平面内，且|0A|=|0B|=|0C|,NA+NB+NC=0,

防防=法.品=蹙.防，则点0、MP依次鼠钻。的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

【答案】C

【分析】由10A|=|081=|0cl知。是一ABC的外心；利用共起点向量加法将NA+NB+NC=U

变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由P4PC

移项利用向量减法变形为P8-C4=0，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高,

故为垂心.

【详解】则点。至的三个顶点距离相等，是14SC的外心.

NA+NB+NC=0，:.NA+NB=-NC，

设线段AB的中点为M,则2NM=-NC，由此可知N为AB边上中线的三等分点（靠近中点

M）,所以N是A8C的重心.PAPB=PBPC，:.PB（PA-PC）=PBCA=0.

即PB_LCA，同理由PB，C=PCPA，可得PC_L4B.所以/'是；ABC的垂心.故选：C.

【点睛】关于4ABe四心的向量关系式：

2

0是ABC的外心o|0/11=|OB|=|OC|o3?=OB=oc、

。是ABC的重心o0A+08+0C=0；

。是ABC的垂心OOA.OB=OBOC=OCQ;

。是ABC的内心=aOA+AOB+cOC=0.（其中a、b、c为.ABC的三边）

12..如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对

岸航行.已知船的速度匕的大小为时=8km/h,水流速度匕的大小为M|=2km/h,船的速

度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

A.船头方向与水流方向垂直B.cos<v„v2>=-l

C.|v|=2V17km/hD.该船到达对岸所需时间为3分钟

【答案】B

【分析】分析可知岭，当船的航程最短时，vlv2,利用平面向量数量积可判断ABC

选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.

【详解】由题意可知，丫=匕+岭，当船的航程最短时，v±v2,而船头的方向与匕同向，

V,-V1

由八彩二（匕+匕）,匕=匕+%2=0，可得匕•%=-%2=-4.cos<vi'v2>=rTn2=-7A

\W\4

选项错误，B选项正确;

22

|v|=|^+v,|=+岭)=+2v(-v2+v,=,4-2x4+64=2-715(km/h)>C选项错误;

该船到达对岸所需时间为60*4=生叵（分钟），D选项错误.

2V155

故选：B.

题组B能力提升练

|UUD|

1.在平面上，AB±AB,|oB,j=|(9B|=l]＜；,则|。4的取值范围是

l22)AP=ABy+AB2.^\OP\

()

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，设出。点的坐标（x,y），根据已知条件求得+的取值

范围，也即求得的取值范围.

【详解】

根据条件知A，Bl.P,&构成一个矩形ASP比，以AS,A比所在直线为坐标轴建立直角

坐标系，如图设|A8i|=m|A&|=b,点。的坐标为（x,y）,则点尸的坐标为（小b）,

4g,（）"（。力）.

lUUlTilUULri(x-a)2+y2=1(x-a)2=1-y2

由I。⑷=1。因=1则＜

x2+(y-b)2=1(y-b)2=\-x2

IuunIi、i]1o7_

又由|0P卜5，^(x-«)'+(y-Z>)-<-,贝即x2o+y2>:①.

又（x-ay+V=1,x2+y2+a2=1+2ax＜1+a2+x2,则

同理由/+（＞—⑨2=i,得/4I,即有丁+942②.

由①②知2M2,所以?＜正+＞24企

而画="77,所以咚＜性卜0.

故选：D

【点睛】本小题主要考查利用坐标法求解平面几何问题，属于中档题.

TT

2.如图，在△ABC中，ZBAC=-,AD=2DB，尸为CO上一点，且满足

-1一，、

AP=mAC+-AB（me/i）,若AC=3,AB=4,则AP-CO的值为（）.

【答案】C

13

【分析】由AO=2£)B及4P="?AC+5A8(，〃eR),将AP=，〃AC+JAZ)(〃?eR)由三点共

线可求的值，再用AB、AC衣示CD，进而求AP-CZ)即可

1221

【详解】VAP=mAC+-AB(meR)fAD=2DB，BPAD=-ABS.CD=-CB-^--CA

：.AP=mAC+-AD(ineR),又C、P、O共线，有"?+3=l,即根=」

444

即AP=!AC+：AB.lfiiCB=CA+AB

42

2122

，CD^-（CA+AB）+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

•••APCD=（-AC+-AB）（-AB-AC）=-AB~--ABAC--AC2=--2--=—

4233343412

故选：C

【点睛】本题考查了由向量的几何应用求向量的数量积，首先应用定比分点结合向量的加法

法则求参数值，由向量加法的几何意义用己知向量表示目标向量，最后求向量的数量积.

3.已知AABC外接圆的圆心为0,半径为2,OA+A8+AC=0且|。川=|人耳，则向量C4在C8

方向上的投影的数量为（）

A.^3B.3C.D.-3

【答案】A

【分析】由OA+A8+AC=0知四边形M0C为平行四边形，再证明AQ4B是正三角形，从

而推出四边形A80C是边长为2的菱形，代入投影计算公式即可求得答案.

【详解】如图，

VOA+AB+AC=0>AOB+AC=0<OB=CA，二四边形A80C为平行四边形.

又。为A4BC外接圆的圆心，且|ABR0A|=2,二记是边长为2的正三角形，

•••平行四边形480C是边长为2的菱形且NABO=60°.，|CA|=2,ZACB=30=.

故向量CA在CB方向上投影的数量为ICA\cos〈C4,CB〉=2xcos300=#）.

故选：A

【点睛】本题考查向量的基本运算，平面向量共线的性质，菱形的证明，向量投影的求法,

属于中档题.

4.（多选题）设点M是A5C所在平面内一点，下列说法正确的是（）

A.若AB-8C=8CCA=C4A8,贝/ABC的形状为等边三角形

B.若AM=!A8+!AC,则点M是边BC的中点

22

C.过M任作一条直线，再分别过顶点4,B,C作/的垂线，垂足分别为。，E,F,若

AO+BE+C尸=0恒成立，则点M是.A8C的垂心

D.若AN=2A8-AC,则点M在边BC的延长线上

【答案】AB

【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.

【详解】对于选线A,如图作BC的中点。，连接A。，

由我.潴=潴遇，^BC\AB-CA）=BC\AB+AC]=2BCAD=Q,

即3C_LAQ,结合三角形性质易知，AB=AC,

同理A3=3C,BC=AC,故ABC的形状为等边三角形，故A正确：

又寸于选项B>由AM=—ABH—AC,得—AM—AB=—AC—AM,i!|jBM=MC>

222222

因此点M是边8c的中点，故B正确；

对于选项C,如图当/过点A时，AD=O.

由AO+BE+C/=0,得BE+CF=0,则直线AM经过8c的中点，

同理直线经过AC的中点，直线CM经过A8的中点，因此点何是ABC的重心，故C

错误；

对于选项D,由AN=2AB-AC，AN-AB=AB-AC，即BN=C2，因此点M在边CB的

延长线上，故D错.故选：AB.

5.（多选题）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小

船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（）

A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变

【答案】AC

【分析】设水的阻力为/,绳的拉力为尸，