初升高数学暑假衔接（人教版）第03讲 集合的基本运算（教师版）

第03讲集合的基本运算1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集；3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。一、并集的概念与运算1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∪B4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.二、交集的概念与运算1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∩B4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A三、全集与补集的概念与运算1、全集（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.（2）符号语言：若，则为全集.（3）图形语言：2、补集（1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.（2）符号语言：（3）符号语言：（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.四、德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：（1）（2）五、区间及相关概念1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示≥≤考点一：求集合的并集例1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由集合，知．故选：A.【变式训练】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合，，则故选：D.考点二：求集合的交集例2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B【变式训练】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，又，所以.故选：C考点三：求集合的补集例3．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合，故选：B.【变式训练】已知全集，则（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】因为，所以或，故选:B.考点四：交并补综合运算例4．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，则，所以．故选：A.【变式训练】设全集，，则）等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，则，故，故选：C考点五：Venn图在集合运算中的应用例5．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,所以.故选：A.【变式训练】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.考点六：根据集合运算求参数例6．已知集合，，，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A【变式训练】设集合,（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，；（2），当时，满足题意，此时，解得；当时，解得，实数m的取值范围为.考点七：集合运算中的元素个数问题例7．某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________．【答案】11【解析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人．故答案为：11．【变式训练】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有_____人.【答案】【解析】由已知得赞成的人数是，赞成的人数是，设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为，，解得，则赞成的不赞成的有人.故答案为：.1．设集合，，则元素的个数为（）A．2B．3C．8D．9【答案】C【解析】因为集合，，所以所以元素的个数为8，故选：C2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A.3．集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合，集合，所以.故选：C.4．已知全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由集合，可得，又由合，可得.故选：A.5．已知集合或，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得或，所以或.故选：B.6．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，因为，所以为的子集，所以.故选：A.7．已知集合，，若，则（）A．0B．1C．0或1D．2【答案】C【解析】由题意可得：若，则，此时，，若，则或符合题意；若，则，不符合题意.故选:C8．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，集合，根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.故选：B.9．（多选）已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由图可知，,A错误；，B正确；，C错误；,D正确，故选:BD.10．已知集合A＝{x|2a<x<3－2a}，B＝{x|x<5a＋1}（1）若A∪B＝B，求a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围．【答案】（1）a≥；（2）或【解析】（1）由A∪B＝B，知A⊆B.若，即，时符合题意．当时，由题意得得,综上得a的取值范围是；（2）当，即时.当时，由题意得，解得，综上，的取值范围是或．1．已知全集，则（）A．{1}B．{3}C．{4}D．{1，3，4}【答案】A【解析】由题意得，所以；故选：A.2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，集合，可得，又由，根据集合交集的运算，可得.故选：A.3．设全集I是实数集R，或与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以阴影部分表示的集合为.故选：C.4．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题图中阴影部分表示集合.故选：B5．（2022秋·高一课时练习）已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（）A．B．C．AD．B【答案】C【解析】全集U，集合A，B为其子集，因，则有，所以.故选：C6．集合满足，，则集合中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】因为，故，又，故，又，故，即集合中的元素个数为4.故选：B7．（多选）已知全集，集合满足，则下列选项中正确的有（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为全集，集合满足，所以，，，.故选：BD8．（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22【答案】BCD【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.故选：BCD．9．已知集合，.（1）求；（2）若全集，求及.【答案】（1）；（2）；或.【解析】（1）∵，，∴；（2）因为，，所以，又，∴，∵，所以或，∴或.10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（3）若U＝R，，求实数a的取值范围．【答案】（1）－1或－3；（2）a≤－3；（3）且且．【解析】（1），或，∴,∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．综上可得，a的值为－1或－3．（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A．对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①当＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3时，，满足条件