初升高数学暑假衔接（人教版）初高衔接第03讲：一元二次方程根与系数的关系（教师版）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系【考点梳理】考点一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，方程有两个不相等的实数根：；(2)当时，方程有两个相等的实数根：；(3)当时，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.考点二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：.所以：，.定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．【题型归纳】题型一：一元二次方程的根的判断式1．关于x的一元二次方程，根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：一元二次方程中的，则这个方程根的判别式为，所以这个方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．2．关于的一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．【详解】解：∵，∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．3．在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】A【分析】根据正比例函数的性质得到k<0，再根据一元二次方程的根的判别式即可解答．【详解】解：∵正比例函数中，的值随值的增大而减小，∴，∵关于的一元二次方程为，∴，∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．故选．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．题型二:判断式求参数问题4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，即可得到解答．【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式是：．∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得．∴的值可以是0，故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．5．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：，，∴∴一次函数解析式为：，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．6．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得，然后根据一元二次方程根的判别式可得，即可确定m的值．【详解】解：∵关于x的方程的两实数根为，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有两个实数根，∴，解得：，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．题型三：一元二次方程的根与系数的关系7．已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（

）A．0 B．−11 C．9 D．11【答案】C【分析】将化为，根据m，n是方程的两根，以及一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解．【详解】解：根据题意可得：，∵m，n是方程的两根，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解，一元二次方程根与系数的关系．8．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．设与为一元二次方程的两根，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根于系数的关系可得、，然后代入进行配方即可解答．【详解】解：∵∴，，．，．的最小值为．故选：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、运用配方法求最值等知识点，掌握配方法是解答本题的关键．题型四：根和系数与判别式的综合应用10．已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．【答案】(1)见解析(2)或．【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不论为何值，方程总有实数根；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．11．已知关于x的一元二次方程．(1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；(2)若此方程的两根互为倒数，求的值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系结合倒数的定义得到，再由进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．12．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，时，；当时，【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，，代入可得关于的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根、、，可得，、是方程的两根；由根与系数的关系可得，，．，进而得到关于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，可得，进行讨论即可求解．【详解】（1）解：若，则方程为．因该方程有两个不同的实数、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因为，所以．（2）显然．方程可写成．因该方程有三个不同的实数根，即函数与的图象有三个不同的交点，可得：，，即，因为、是方程的两根，即．则，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，则，，，，则，，因为，所以，因为是质数，，，所以，，则，则无解，则，则无解，则，则，解得，则，则，解得，2，5，则，则，解得．故，5，所以存在满足条件的，．当时，；当时，．【点睛】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是【专题突破】一、单选题13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用一元二次方程根判别式的意义可得，然后解不等式即可解答．【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得，．故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握①，一元二次方程有两个不相等的实数根；②，一元二次方程有两个相等的实数根；③，一元二次方程无实数根．14．关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程无实数根得且，即可得，又∵，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程无实数根，∴且，，，，又∵，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，∴一次函数的图象不经过第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，由此即可求出的取值范围．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，解得：且，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当

时，方程没有实数根．16．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】把代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：．故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，将方程的根代入原方程是解题的关键．17．对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．【详解】解：由题意可得：可化为：∵关于x的方程没有实数根，∴，解得：，观察发现仅有D选项符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了整式运算、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握当一元二次根的判别式小于零，该方程无实数根是解答本题的关键．18．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简分式，由根与系数的关系得出，再将其代入计算即可得出结论．【详解】解：，∵a，b是一元二次方程的两根，∴，∴原式．故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得出是解题的关键．19．已知m、n是一元二次方程的两根，则的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用根与系数的关系，进行求解即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两根，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，是解题的关键．20．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据a，b是一元二次方程的两根可得，分式化简得，将代入求解即可．【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根，∴．∴故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握相关公式和法则是解题的关键．21．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根据根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入整理即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，，∴．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．23．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为(

)A．11 B． C．11或 D．11或或1【答案】C【分析】先根据根与系数的关系得到，再把两边平方后利用完全平方公式变形得到，然后将代入求关于k的方程，最后再利用判别式确定k的取值．【详解】解：∵关于的方程的两个实数根∴，∵∴∴，整理得：，解得，当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；∴k的值为11或．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，若方程两个为，则是解答本题的关键．24．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，，，对分子进行因式分解后，利用整体代入即可得到答案．【详解】解：∵m，n是的两个实数根，∴，，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用整体代入方法解决．二、填空题25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合题意，舍去），∴故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．26．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为______．【答案】2【分析】先利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；再由一元二次方程的根与系数的关系可得，解方程即可解答．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，此方程根的判别式，解得．由题意得：，解得或，又，的值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．27．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；【答案】【分析】根据根的判别式、根与系数的关系列出关于的不等式组，通过解该不等式组，求得的取值范围．【详解】解：∵的一元二次方程两个实数根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了解不等式组，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．28．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可．【详解】∵是方程的两个实数根，∴，，∵，∴，，，∴解得．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．29．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．【答案】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．三、解答题30．已知关于的方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．【答案】(1)见解析(2)或【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据根与系数的关系进行求解即可．【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴方程总有两个实数根；（2）解：设方程的两个根为，则：，∵方程的两个实数根都是整数，∴是整数，∵为正整数，∴．【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，判别式等于0，方程有两个相等的实数根，判别式小于0，方程没有实数根，以及根与系数的关系，是解题的关键．31．已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求实数的取值范围；(2)当时，设方程的根为，，求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得一元二次方程根判别式，解不等式即可求解；（2）当时，方程为，根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系式得出，，，，代入代数式，进而即可求解．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，即，整理得：，解得：．故实数的取值范围是：；（2）当时，方程为，该方程的两个实数根分别为，，，，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．32．已知，是方程的两根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据题意可得：，，然后将原式化为，再整体代入计算即可；（2）根据，整体代入计算后开平方根求得的值，将原式化为，再整体代入计算即可；（3）将原式化为，再整体代入计算即可；（4）由（2）知的值，再开算术平方根即可．【详解】（1）解：∵，是方程的两根，∴，，∴，∴的值为；（2）∵∴，∴，∴，∴的值为；（3）∵，∴的值为；（4）由（2）知：，∴的值为．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．33．阅读材料，解答问题：【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为；(2)间接应用：已知实数，满足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用换元法解方程，设，则原方程可化为，解关于的方程得到，，则或，然后分别解两个元二次方程即可；（2）根据已知条件，当时，，解关于的一元二次方程得，则；当时，把、看作方程的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）解：，设，则原方程可化为，解得：，，当时，，解得：，，当时，，解得：，，∴原方程的解为，，，，故答案为：，，，；（2）解：∵实数，满足：，且，当时，，解关于的一元二次方程，得：，∴；当时，则、是方程的两不相等的实数根，∴，，∴；∴的值为或或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒