浙江专用2024-2025学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷专题04直线和圆的方程难点新人教A版

专题04直线和圆的方程（难点）一、单选题1．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答.【解析】依题意，，直线l的方向向量，则有，解得，因此，，因当时，取最小值，则有，所以的取值范围是.故选：D2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个好玩的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处动身，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处动身，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.【解析】如图所示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．3．直线l：y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x＋10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满意条件的直线l有A．6条 B．7条 C．8条 D．多数条【答案】B【解析】试题分析：，所以值有7个，直线有7条故选：B考点：直线交点4．已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由与的位置关系有，数形结合法推断位置，结合的几何意义推断、的范围，应用点线距离公式有推断③.【解析】将代入有，而与在的两侧，则，①错误；由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，所以，故无最值，②错误；由上图知：在直线左上方，则，③正确；由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.故选：B5．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线与x轴的交点为M，由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，如图：此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有．③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即，化简可得．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得1，∴，化简可得，故有1．综上可得b的取值范围应是，故选：B．6．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】依据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，由得点，由得点，而，，于是得，而表示动点到定点与的距离的和，明显，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，从而得取最小值，所以，当直线l3方程为：时，取最小值.故选：C7．若曲线：与曲线：有三个不同的公共点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【分析】表示的是圆，表示的两条直线，结合三个不同的交点，从而确定只需直线y−mx−m=0与圆相交，依据圆心到直线距离小于半径，求出的范围，再去掉不合要求的值，从而确定实数的取值范围.【解析】由题意可知曲线：表示一个圆，化为标准方程得：(x−1)2+y2=1，所以圆心坐标为(1,0)，半径r=1；：表示两条直线x=0和y−mx−m=0，由直线y−mx−m=0可知：此直线过定点(−1,0)，其中直线x=0与圆有1个交点为，要想，有3个不同的交点，只需直线y−mx−m=0与圆有2个交点，即直线与圆相交，在平面直角坐标系中画出图象如图所示：圆心到直线的距离，化简得：所以当时，直线y−mx−m=0化简为，此时直线与圆的交点为，综上：当时，与交点个数为2个，不合要求，所以m∈，故选：D.8．已知圆．动直线于圆C交于A，B两点，线段的中点为P，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题意可得C(4，0)和直线l过定点，设，利用平面对量的坐标表示得出P的轨迹方程，进而依据，计算即可.【解析】由题意知，圆C：，得圆心C(4，0)，半径为4，，得直线l过定点，设，则，依据题意，得，所以，有，即，所以中点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以，所以，，所以的取值范围为，故选：B9．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设，为等腰△底边中线长度的2倍，为底边长度，而是直线在坐标轴上的截距，由已知条件并结合数形结合思想及圆的性质，求的范围.【解析】设AB中点为C，则OC⊥AB，∵，∴，∴，∵，∴，∵直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，∴，∴4＞，∴4＞，∵k＞0，∴.故选：C．10．已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等边的边长为2，以边的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，通过向量的坐标运算，将、用表示出来，然后利用协助角公可求出的最大值【解析】解：设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、，以线段直径的圆的方程为，设点，则，，，由于，则，解得，所以，，因此，的最大值为，故选:C.【点睛】本题考查平面对量的基本定理，涉及圆的参数方程、协助角公式，关键在于引入合适的变量来表示问题涉及的参数．11．设，O为坐标原点，点P满意，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，由两点距离公式计算可得依据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解．【解析】设，，，即．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线上存在点Q使得，则PQ为圆的切线时最大，如图，，即．圆心到直线的距离，或．故选：B．12．太极图的形态如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中全部正确命题的序号是（

）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】A【分析】依据直线和圆的位置关系，逐项分析推断即可得解．【解析】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，，所以，故①正确．对于②，依据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．二、多选题13．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的为（

）A．存在实数，使得点在直线上；B．若，则过的直线与直线平行；C．若，则直线经过的中点；D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；【答案】BCD【分析】对于A，点在直线上，则点的坐标满意直线方程，从而得到，进而可推断A不正确．对于B，当时，若，则，整理得，再结合不在直线上科推断，当时，若，可推断故，进而得到，再综合得答案．对于C，若，即可得到，即可推断C．对于D，若，则，或，依据点与直线的位置关系即可判定D．【解析】解：对于A选项，若点在直线上则，不存在实数，使点在直线上，故A不正确；对于B选项，当时，若，则，整理得，此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上，故过、两点的直线与直线平行；当时，若，则，整理得，此时若成立，则，与、为不同的两点冲突，故，所以，即，所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确；对于C选项，若，则即，，直线经过线段的中点，即C正确；对于D选项，若，则，或，所以，且，所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等，所以直线与线段不平行．故D正确．故选：BCD．14．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上随意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（）A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个D．若，则点M在一条过点O的直线上【答案】ABC【分析】依据点M的“距离坐标”的定义逐一推断即可.【解析】A.若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.B.若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.C.若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，故正确.D.若，则点M在的轨迹是两条过O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.故选：ABC.15．已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（

）A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1C．四边形AMBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点【答案】BD【分析】利用圆心到直线的距离可推断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可推断B，由题可得四边形AMBP面积为，可推断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可推断D.【解析】由圆M：，可知圆心，半径，∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；由圆的性质可得切线长，∴当最小时，有最小值，又，∴，故B正确；∵四边形AMBP面积为，∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，所以，即，又圆M：，即，∴直线AB的方程为：，即，由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.故选：BD.16．（多选）瑞士闻名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（

）A．圆上的点到直线的最小距离为B．圆上的点到直线的最大距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是【答案】ACD【分析】求出线段的中垂线的方程，由圆心到中垂线的距离等于半径求出的值，可得圆的方程，求出圆心到的距离，则、分别为圆上的点到直线的最小距离和最大距离可推断选项A、B；令，令圆心到该直线的距离等于半径列方程求出的值可推断C；计算圆心距小于等于半径之和，大于等于半径之差的肯定值，解不等式求出的取值范围可推断D，进而可得正确选项.【解析】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆.对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项B错误；对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确；对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题17．已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．【答案】【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解【解析】设，则，整理得．设，．联立整理得，故①，②．又，故③．联立①②③，解得．故答案为：18．定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是_______.【答案】1【分析】设点的坐标分别为，求出，可知当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的两边，可以推断命题④正确.【解析】设点的坐标分别为，则，，若，则，即，所以，若，即，则点都在直线l上，此时直线与直线l重合，故命题①②③均不正确，当时，在直线的两边，则直线与直线l相交，故命题④正确.故答案为：1.【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的推断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强.19．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满意，则的最大值为______．【答案】##【分析】建立直角坐标系，利用列式化简，可得点的轨迹方程，再代入，从而可得答案.【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，设，由，所以，两边平方并整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以，则有，所以的最大值为.故答案为：.20．已知点A为圆和在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆，于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率是___________.【答案】1或5【分析】先求出.设直线CD为：.过作于F，过作于E.由垂径定理表示出，.依据列方程，解出k的值.【解析】因为点A为圆和在第一象限内的公共点，所以由解得：（y=-1舍去）故.由题意可知，直线CD的斜率存在，设其为k，则直线CD为：.过作于F，过作于E.则，由垂径定理得：，.因为，所以，解得：或.故答案为：1或5.四、解答题21．已知直线，.(1)若直线l与直线垂直，求实数的值(2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）依据直线垂直的充要条件列方程求解即可；（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程.（1）因为直线l与直线垂直，所以，解得或.（2）令，得，令，，由题意知，解得或，所以直线l的方程为或.22．已知直线：．（1）求经过的定点坐标；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；②当取最小值时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②.【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解；（2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.【解析】（1）由可得：，由可得，所以经过的定点坐标；（2）直线：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面积，当且仅当即时等号成立，的最小值为，此时直线的方程为：即；②设直线的倾斜角为，则，可得，，所以，令，因为，可得，，，将两边平方可得：，所以，所以，因为在上单调递增，所以，所以，此时，可得，所以，所以直线的方程为.23．已知圆：，(1)若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；(2)若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；(3)问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)或(2)(3)存在，或【分析】（1）首先设直线的方程为：，与圆的方程联立，令，即可求解的值；（2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；（3）方法一，设直线：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线，以及圆经过原点，即可求解参数.(1)依据题意，设直线的方程为：联立直线与圆的方程并整理得：所以，，从而，直线的方程为：或；(2)依据题意，设直线的方程为：代入圆方程得：，明显，设，，则，所以点的坐标为(3)假设存在这样的直线：联立圆的方程并整理得：当设，，则，所以因为以为直径的圆经过原点，所以，，∴，即均满意.∴，所以直线的方程为：或.（3）法二：可以设圆系方程则圆心坐标，圆心在直线上，得①且该圆过原点，得②由①②，求得或所以直线的方程为：或.24．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数（1）设，求面积的最小值；（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出全部这样的实数a；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在；【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为，和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S，再利用基本不等式求最值，计算得结论；(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论．【解析】(1)因为直线l过点，且斜率为k，所以直线l的方程为因为直线l与，分别交于点M，N，所以，因此由得，即，由得，即又因为M，N的纵坐标均为正数，所以，即而，因此又因为当时，直线OA的方程为，，，且，所以点M到直线OA的距离为，点N到直线OA的距离为，因此面积令，则且，因此，当且仅当，即时，等号成立，所以S的最小值为，即面积的最小值为(2)存在实数，使得的值与k无关．由(1)知：，，且因此，，所以又因为，所以当时，为定值，因此存在实数，使得的值与k无关．25．已知圆，直线.（1）求直线所过定点A的坐标；（2）求直线被圆C所截得的弦长最短时的值及最短弦长；（3）已知点，在直线上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满意：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求全部满意条件的点N的坐标及该常数.【答案】（1）；（2）；；（3），常数.【分析】（1）利用直线系方程的特征，干脆求解直线过定点的坐标．（2）当时，所截得弦长最短，由题知，，求出的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（3）由题知，直线的方程为，假设存在定点满意题意，则设，，得，且，求出，然后求解比值．【解析】解：（1）依题意得，，令且，得，直线过定点，（2）当时，所截得弦长最短，由题知，，，得，由得，圆心到直线的距离为，最短弦长为．（3）由题知，直线的方程为，假设存在定点满意题意，则设，，得，且整理得，上式对随意，恒成立，且解得或，（舍去，与重合）综上可知，在直线上存在定点，使得为常数【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．26．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作.(1)求点到线段l：的距离；(2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；(3)写出到两条线段､距离相等的点的集合，其中，，，，，.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出过点与直线垂直的直线，求出垂足，依据，推断出线段l：的端点使得最小；（2）不妨设线段为l，且，，画出满意的图象，求出面积；（3）依据ABCD四个点的位置，得到四边形ABCD为等腰梯形，故BC的垂直平分线即为所求.(1)设过点与直线垂直的直线为，代入点，解得：，所以，两直线垂直，联立得：，解得：，故垂足为，明显，设线段l：的端点，则为求点到线段l：的距离.(2)不妨设线段为l，且，，此时点集D由如下曲线围成，其中由两个半圆和两条线段组成，其中两半圆圆心分别为和，半径为1，两线段分别是（），（），故图形面积为.(3)，，故，且，，所以，故四边形ABCD为等腰梯形，故到两条线段､距离相等的点的集合为线段AD或BC的垂直平分线，其中AD中点坐标为，BC的中点为，故直线GF：.所以27．在平面直角坐标系中，圆，直线，直线.（1）已知为直线上一点，①若点在第一象限，且，求过点圆的切线方程；②若存在过点的直线交圆于点，且B恰为线段的中点，求点横坐标的取值范围；（2）设直线与轴交于点，线段的中点为，为圆上一点，且，直线与圆交于另一点，求线段长的最小值.【答案】（1）①或；②；（2）.【分析】（1）①设，依据，求得点P的坐标，再利用圆的切线求法求解.②设，，依据B恰为线段的中点，求得点B的坐标，再依据点A，B都在圆上，得到两圆有公共点求解.（2）设，依据R在圆上，且，求得R的坐标，得到RM的方程，进而与圆联立，求得N的坐标，再利用两点间距离公式结合二次函数求解.【解析】（1）①设，因为，所以，解得，因为点P在第一象限，所以，则，当切线斜率存在时，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离相等得，解得，所以切线方程是，当斜率不存在时，，综上：过点圆的切线方程为或；②设，，因为B恰为线段的中点，则，所以，因为点A，B都在圆上，所以即，所以两圆有公共点，所以，解得，所以点P的横坐标的取值范围是（2）设，因为点R在圆上，且，所以。解得，所以RM的方程为，由，解得，又，所以，当，即时，.【点睛】方法点睛：过一点求圆的切线的方法：（1）过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.（2）过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．28．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满意条件的点P有几个？请说明理由．【答案】（1）a＝3；（2）3x+4y+15＝0；（3）2个，理由见解析．【分析】(1)依题意计算，可得结果；(2)解法1(代数法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d的最大值即可得结果；解法2(几何法)：当圆