高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课时素养评价含解析新人教A版必修

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(20分钟35分)a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则a·b的值为()A.1 B.2 【解析】选D.a+b=(3,k+2),由a+b与a共线,可得3k-(k+2)=0,解得k=1,则a=(1,1),从而a·b=1×2+1×2=4.a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|=QUOTE=QUOTE,|b|=QUOTE=QUOTE,设a与b的夹角为θ,则cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又0≤θ≤π,所以θ=QUOTE.a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为 ()A.(3,-2) B.(3,2)C.(-3,-2) D.(-3,2)【解析】选C.采用验证的方法知,c=(-3,-2)满足c·a=-6+6=0,所以c⊥a,b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.m=(1,1),向量n与向量m的夹角为QUOTE,且m·n=-1,则|n|= ()A.-1 B.1 【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,|n|=1.5.(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=QUOTE(+),则||=;·=.

【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=QUOTE,又=(0,-1),所以·=-1.答案:QUOTE-1【补偿训练】已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O为坐标原点),则点C的坐标是.

【解析】设C(x,y),则=(x,y),又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1),因为∥,所以5(x+3)-0·(y-1)=0,=(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为⊥,所以3x+4(y-5)=0,所以y=QUOTE,所以C点的坐标是QUOTE.答案:QUOTEa的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐标;(3)与a垂直的单位向量的坐标.【解析】(1)因为a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|=QUOTE=5.(2)与a平行的单位向量是±QUOTE=±QUOTE(4,-3),即坐标为QUOTE或QUOTE.(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),则a·e=4m-3n=0,所以QUOTE=QUOTE.又因为|e|=1,所以m2+n2=1.解得QUOTE或QUOTE所以e=QUOTE或QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·宜宾高一检测)已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),则实数m= ()A.-4 B.4 C.±2 D.±4【解析】选D.因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+m2-16-4=0,解得m2.直角坐标系xOy中,=(2,1),=(3,k),若△ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是 ()A.1 B.2 【解析】-==(-1,1-k),若·=0,所以k=-6,若·=0,所以k=-1,若·=0,所以k2-k+3=0,由Δ<0知无解.所以k的可能值有2个.3.(2020·绵阳高一检测)在△ABC中,角A为QUOTE,角A的平分线AD交BC于点D,已知AD=2QUOTE,且λ=-QUOTE(λ∈R),则在方向上的投影是()A.1 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】=-QUOTE可得:=λ+QUOTE,因为B,C,D三点共线,故λ+QUOTE=1,即λ=QUOTE.所以=QUOTE+QUOTE.以A为原点,以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示,则D(3,QUOTE),设B(m,0),C(n,QUOTEn),由=QUOTE+QUOTE得:QUOTE,解得m=3,n=3.故B(3,0),所以在方向上的投影为||cos30°=QUOTE.=(2,2),=(4,1)(O为坐标原点),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是 ()A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)【解析】选C.设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为(3,0).a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈QUOTE,则|a+b|的取值范围是 ()A.[0,QUOTE] B.[1,QUOTE]C.[1,2] D.[QUOTE,2]【解析】选D.|a+b|=QUOTE=QUOTE.因为θ∈QUOTE,所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|∈[QUOTE,2].二、填空题(每小题5分,共15分)a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cosθ=.

【解析】b=QUOTEa+QUOTE(-1,-1)=(1,1),则a·b=6.又|a|=3QUOTE,|b|=QUOTE,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=1.答案:1a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为.

【解析】因为a+tb=(2+t,1+2t),所以|a+tb|=QUOTE=QUOTE.所以当t=-QUOTE时,|a+tb|有最小值QUOTE.答案:-QUOTEa=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是.

【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,所以4k-6-6<0,所以k<3.又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-QUOTE.当k=-QUOTE时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,即2a-3b与c反向.综上,k的取值范围为QUOTE∪QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE【补偿训练】已知向量a=(-2,-1),b=(t,-2),且a与b的夹角为锐角,则实数t的取值范围为.

【解析】因为a与b的夹角为锐角,所以cosa,b=QUOTE>0,即a·b=(-2,-1)·(t,-2)=-2t+2>0,所以t<1.若a∥b,可设a=λb,所以(-2,-1)=λ(t,-2),所以QUOTE所以QUOTE此时b=2a,所成的角为0°,故t=-4不合题意.所以t的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,1).答案:(-∞,-4)∪(-4,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=QUOTE,n=(sinx,cosx),x∈QUOTE.(1)若m⊥n,求tanx的值.(2)若m与n的夹角为QUOTE,求x的值.【解析】(1)因为m=QUOTE,n=(sinx,cosx),m⊥n.所以m·n=0,即QUOTEsinx-QUOTEcosx=0,所以sinx=cosx,所以tanx=1.(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cosQUOTE=QUOTE,即QUOTEsinx-QUOTEcosx=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,因为0<x<QUOTE,所以-QUOTE<x-QUOTE<QUOTE,所以x-QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE.10.如图,已知A(1,1),B(5,4),C(2,5),设向量a是与向量垂直的单位向量.(1)求单位向量a的坐标;(2)求向量在向量a方向上的投影;(3)求△ABC的面积S△ABC.【解析】(1)设a=(x,y),依题意有=(4,3),||=5,|a|=1,且a⊥,即a·=0,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以a=QUOTE或a=QUOTE.(2)设向量与单位向量a的夹角为θ,在a方向上的投影为h,则h=||cosθ=·a.又因为=(1,4),所以当a=QUOTE时,h=1×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE;当a=QUOTE时,h=1×QUOTE+4×QUOTE=-QUOTE.(3)S△ABC=QUOTE|||h|=QUOTE×5×QUOTE=QUOTE.1.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,QUOTE),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是.

【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2++=(-1,0)+(0,QUOTE)+(x,y)=(x-1,y+QUOTE),所以|++|=QUOTE.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-QUOTE)间距离的最大值.因为圆心C(3,0)与点P(1,-QUOTE)之间的距离为QUOTE=QUOTE,故QUOTE的最大值为QUOTE+1.答案:QUOTE+1a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=QUO