高中数学导数变化的快慢与变化率含答案

高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案

学校:班级:姓名:考号:

1.某运动物体的位移S（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为S=2t2—

1,则该物体在t=1秒时的瞬时速度为（）

A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒

2.某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t?+

3则该物体在t=2秒时的瞬时速度为（）

A.10米/秒B.9米/秒C.7米/秒D.5米/秒

3.某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间［1,2］上的平均速度为（）

A.-6B.2C.-2D.6

4.一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s=2+12,则该物体在4秒

末的瞬时速度是（）

A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒

5.设函数y=f（x）,当自变量x由%o改变到刈）时，函数值的改变量4丫为（）

A.y0+AyB./（x0+zlx）C.f（Zx）D./（x0+Ax'）-/（x0）

6.函数/（x）=x2+c（cGR）在区间口,3］上的平均变化率为（）

A.2B.4C.cD.2c

7.已知函数/（%）=-/+2x,函数/（%）从2到2+4%的平均变化率为（）

A.2-AxB.—2—4%C.24-AxD.（21x）2—2-Ax

8.某物体运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为s=5-2d,则

该物体在《=2时的瞬时速度为（）

A.-3米/秒8.-8米/秒C.8米/秒D.3米/秒

9.已知函数/（x）在x=x0处可导，若碗丁刈3=1,则/（）=（）

AX

A.lB.iC.3D.-

34

10.设函数y=，（%）,当自变量无由&改变到与+△X时，函数值的改变量等于（）

A./(x0+△%)B./(x0)+△x

C./(x0)-△xD/(%o+△%)-/(x0)

12.已知函数/(x)在％=%o处可导，若‘9。"""4"；""-"")1，则r(a)=

()

A.lB.-C.3D.-

34

13.若函数f（久）=/一c在区间［l,m］上的平均变化率为4,则m等于—

14.一质点的运动方程为S=/+10（位移单位：771；时间单位：S）,则该质点在t=

3时的瞬时速度为m/s

15.函数f（x）=Inx在区间［l,e］上的平均变化率为.

试卷第2页，总18页

16.已知函数y=3L则函数在区间［1,3］上的平均变化率为

17.水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，这水波面的圆面积的瞬时膨

胀率是m2/s.

18.在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度（单位：m）是九（t）=一4.912+

6.5t+10,高台跳水运动员在t=Is时的瞬时速度为.

19.已知物体运动的方程为s（t）=vt-^gt2,则在t=1时的瞬时速度是.

20.已知某质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s,te［1,5］）的关系式为t=，+

\bt2+t（b>0）,则该质点的瞬时速度的最小值为m/s.（用含有b的式子表

示）

21.如果质点4按规律S=2t2+：运动，则在t=2秒的瞬时速度为.

22.匀速运动物体的运动方程是s（t）=s（）+%t,求物体在时刻t的瞬时速度.

23.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离九（单位：m）与时间t（单位：s）

之间的函数关系为h=t2,求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

24.一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min）后，所剩的质量

m（单位：kg）与时间t的关系可以表示为m=e-2t.

（1）求当t从1变到2时，质量m关于t的平均变化率.并解释它的实际意义；

（2）求m'（2）并解释它的实际意义.

25.当h无限趋近于0时，（3+h?-32无限趋近于多少?空手无限趋近于多少？

hh

26.对于函数/（%）,若尸（出）存在，则当九无限趋近于0时，下列式子各无限趋近于何值？

⑴fg+（一〈））-fg）

-h

/h

27.求函数/(x)=——+比在％=3附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

28.求函数/'(x)=ax+b在区间［m,n］上的平均变化率.

29.如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为a.(a为常数)

(2)传输带以0.3m3/min往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r=1.7m时的r对于时间

t的变化率.

(参考数据:兀取3.14,1.72=2.89,1.73»4.91,为计算方便可取3.14x2.89a9,

3.14x4.91«15)

X

30.已知函数/(%)=尤-14-6.

(1)若函数/(乃在点(l,f(l))处的切线平行于％轴，求a的值:

(II)求函数/(%)的极值.

31.已知函数/(x)=ax+lnx,其中a为常数，设e为自然对数的底数.

(1)当a=-l时，求/Q)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0,e］上的最大值为-3,求a的值;

(3)若/'(x)在x€(1,e)有极值.函数g(x)=炉一%-2,证明：VxrG(1,e),3x0G

(l,e),使得g(&)=f(%)成立.

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案

一、选择题(本题共计12小题，每题3分，共计36分)

1.

【答案】

D

【考点】

变化的快慢与变化率

导数的运算

【解析】

根据瞬时速度与导数的关系，先对S求导，再把t=1代入S，进行运算即可得解.

【解答】

解：：s=2t2-l,

s'=4t,

当t=1时，s'=4x1=4.

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由s(t)=2/+3得s(t)=4t+l,

则物体在t=2秒时的瞬时速度。=s(=2=9米/秒.

故选B.

3.

【答案】

A

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据平均速度公式可得答案

【解答】

解：丫s=5—2t2,

物体在时间［1,2］上的平均速度为

'(5-2X22)-(5-2xl2).

v=-------------------=—6.

2-1

故选4

4.

【答案】

A

【考点】

变化的快慢与变化率

导数的运算

【解析】

此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，

解答本题可以先求s=2+lot-t2的导数，再求得t=4秒时的导数，即可得到所求的

瞬时速度.

【解答】

解：:一个物体的位移s(米)和与时间t(秒)的关系为s=2+lot-£2,

s'=10—2t,

：.该物体在4秒末的瞬时速度是10-2x4=2(米/秒).

故选4.

5.

【答案】

D

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意函数y=f(x),我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把X。

和X。+△X分别代入函数y=/(%),然后相减求出△y.

【解答】

解：；自变量X由出改变到殉+dx,

当x=x0,y=fQo),

当x=x0+Ax,y=/(x0+Ax'),

4y=fd+4x)-/(x0).

故选D.

6.

【答案】

B

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据函数的平均变化率的公式？=求解即可.

【解答】

解."="3)~f⑴_(32+c)-(F+c)=

腑.Ax-3-1-2一•

故选B.

7.

【答案】

B

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

【解答】

解：•••/(2)=-22+2x2=0,

试卷第6页，总18页

/(2+Ax)=-(2+4x)2+2(2+4%)

=-24%—(Ax')2,

f(2+3-f(2)=_2_2x.

Ax

故选B.

【答案】

B

【考点】

变化的快慢与变化率

导数的运算

【解析】

根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=2代入s'进行运算即可得解.

【解答】

解：s=5—2t2,

s'——4t,

当t=2时，s'=-4x2=-8.

即该物体在t=2时的瞬时速度为-8米/秒.

故选B.

9.

【答案】

D

【考点】

极限及其运算

导数的几何意义

变化的快慢与变化率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

f(xo+34x)-f(xo-4x)_]

解：Um

AX->0Ax

4nf(xo+3dx)-f(xo-4x)

m=1,

Ax->044X

limf(Xo+3/X)-f(Xo-4X)_1

4x->044x4

函数/'(X)在X=沏处可导,

/.(々)+34x)-/(x()-1

。)=lim

/QQ4Ax41

故选D.

10.

【答案】

D

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意函数y=f(x),我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把出

和Xo+△x分别代入函数y=f(x),然后相减求出△y.

【解答】

解：；自变量比由改变到X。+△X,

当X=%,y=/(x0).

当x=xo+z\x,y=f(x0+Ax),

Ay=/(xo+△%)-/(xo).

故选。.

11.

【答案】

B

【考点】

函数的图象

变化的快慢与变化率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：:函数/(x)为奇函数，故排除A,C.

..(、_2xsinxcosx-sinzx

•/⑺=9/

・•・Y)=T<。，

故图象在％=次的切线斜率为负.

故选B.

12.

【答案】

D

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意，由极限的性质分析可得limf(Xo+3A7-f(X°-AX)=1由导数的定义

分析可得答案.

【解答】

解：limlim一/'(丫。-'幻二1；

△x-»0△x

4limfg+3Ax)-f(x。--)=],

△x->04△x

.|jm侪+3△乃-f(%一△一_1

△X->04△X4'

函数f(x)在X=Xo处可导，

...=「m-。+3")-m,-Ax)=I

"'"AX"»04AX4

故选D.

二、填空题(本题共计9小题，每题3分，共计27分)

13.

试卷第8页，总18页

【答案】

3

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为竺二(m-c).(iz_c)=4,

Axm-1

所以m=3.

故答案为：3.

14.

【答案】

6

【考点】

变化的快慢与变化率

导数的运算

【解析】

由题意，根据导数的实际意义得到公式，再将值带入求解即可.

【解答】

解：已知一质点的运动方程为S=t2+io

则U=S'=2t,

所以该质点在t=3时的瞬时速度为6zn/s.

故答案为：6.

15.

【答案】

1

e—1

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据平均变化率的公式进行求解即可.

【解答】

解：函数f(x)=Inx在区间［l,e］上的平均变化率为：

-----------.

e-1e-1

故答案为：——

e-1

16.

【答案】

12

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

利用函数解析式求出区间两个端点的函数值，再根据平均变化率公式求出函数在区间

［1,3］上的平均变化率.

【解答】

因为y=/(x)=3"且-3)=38=27,f(l)=3,

所以该函数在区间［1,5］上的平均变化率为

Ay27-8

△x=3-1=2=12.

故答案为：12.

17.

【答案】

207r

【考点】

导数的几何意义

变化的快慢与变化率

【解析】

无

【解答】

解：因为水波的半径以u=2m/s的速度向外扩张，

水波面的圆面积为S=nr2=?r(vt)2=4nt2,

所以水波面的圆面积在时刻％的瞬时膨胀率S'(t=t0)=8兀玲，

当半径为5?n时，t=|s,

所以S'(t=|)=8TTx|=20TT>

即半径为5nl时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是207rm2/s.

故答案为：207r.

18.

【答案】

—3.3

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据导数的物理意义可知，h(t)函数的导数即是t时刻的瞬时速度.求导数即可.

【解答】

解：；/i(t)=-4.9t2+6.5t+10,

h'(t)=-4.9x2t+6.5=—9.8t+6.5,

在t=Is时的瞬时速度为九'(1)=-9.8+6.5=-3.3,

故答案为：—3.3.

19.

【答案】

v-g

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

利用导数的物理意义v=s'和导数的运算法则即可得出.

【解答】

解：；s(t)=vt-^gt2,

试卷第io页，总18页

v=s'(t)=v—gt,

把1=1代入可得£=1时的瞬时速度为u-g

故答案为：v—g

20.

【答案】

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

21.

【答案】

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

三、解答题(本题共计10小题，每题10分，共计100分)

22.

【答案】

1.'s(t)=s0+vot,

s'(t)—v4,

故物体在时,亥狂的瞬时速度为%.

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据瞬时速度与导数的关系，对s(t)求导可得s'(t)=%,此即为物体在时亥丘的瞬时速

度.

【解答】

s(t)=s04-vot,

s'(t')=v4,

故物体在时刻t的瞬时速度为先.

23.

【答案】

解：：球的运动方程为/l=t2,

h'=2t

该球在t=4s的瞬时速度为2x4=8(m/s).

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意，对九=t2进行求导，然后令t=2代入即可得到答案.

【解答】

解：：球的运动方程为/l=t2,

h'=2t

该球在t=4s的瞬时速度为2x4=8(m/s).

24.

【答案】

---2-412

设平均变化率为y,贝0=怨=中一=上:，它的实际意义为在单位时间内质量平

△c1—2e

均减少为kg.

m'(t)=e-2t.(-2t)'=-2e-2t,所以M(2)=-2eT.它的实际意义为在时间t=2时，

瞬时质量减少2e-4/cg.

【考点】

导数的运算

变化的快慢与变化率

【解析】

(1)由平均变化率怨代入即可；

(2)利用复合函数求导，代入t=2即可.

【解答】

设平均变化率为y,贝如=怨=<三二=耳，它的实际意义为在单位时间内质量平

△c1-ze

均减少为kg.

m'(t)=e-2t.(-2t)'=-2e-2t,所以M(2)=-2eT.它的实际意义为在时间t=2时，

瞬时质量减少2e-4/cg.

25.

【答案】

根据题意，(3+『=中』+6,则有4m吟匕=lim(/i+6)=6,

hhhi)hh->0

故当/i无限趋近于0时，的簪无限趋近于6,

n

V3+h-V33+/1-31rmi士V3+h-V3..z1x1V3

h-h(V3+K+V3)-V^+6、八驾h-h^y/3+h+^~母一~6；

故当/l无限趋近于0时，丝¥一32无限趋近于g

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意，先将式子变形，进而求出九无限趋近于0时，式子的极限值，即可得答案.

【解答】

根据题意，(3+”)2-32=立些=h+6,则有lim(3+亦㈤=|际一+6)=6,

hhh->0h八一o'7

故当人无限趋近于。时，空亭兰无限趋近于6,

h

y/3+h—y/33+h—31rrt.i-y--..V3+/l—\/3「/1、1V3

-h-=M师+-=师+、中人「有心~h-=盘(即+6)=动=T

故当九无限趋近于0时，(3+?2-32无限趋近于

h6

试卷第12页，总18页

26.

【答案】

/•(。0+(-八))-/(%)=〃与+(一八))—〃%),

一/1(&+(一九))一"0'

|/。0+(一八))一/(口0)|jm/Oo+(f)—)

im)，

h->0-hh->0(&+(f))ro=((%0

则当/!无限趋近于0时，回上%3无限趋近于f'（与）,

f（x0+h）-f（x0-h）_9/（x0+h）-/（x0-/i）

h2h

又由Hm年吐处如匚”=2lim上吐处外二竺=2f（x0）,

h-0h九TO2hJ's

则当人无限趋近于O时，f（「+田1g-h）无限趋近于2/，（&）.

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

根据题意，先将式子变形，结合导数的定义分析可得答案.

【解答】

/&+（一九））-/（々）=/（&+（一八））一/•（%）,

一八（%o+（一1））一"0'

|f(xo+(f))/(%o)

lj))/(□(>)_jm

m=r（%o），

九TO-hh->0(%o+(f))T0

则当九无限趋近于o时，曲生乎g无限趋近于尸（久。）,

=2X/（%0+幻一/（%0一九）

h~2h

又由lim上。+“管。-&）=2lim"R+2-f（xo-h）=2f（x0）,

fl—OhfiTO2/17

则当h无限趋近于0时，小吟也也无限趋近于2/'（与）.

27.

【答案】

解：函数f（x）=-X2+X在X=0附近的平均变化率V="3+应-/⑶=士立二丝=

''/AXAXAX

一△X—5.

则（（3）=4110（_4工_5）=—5.

【考点】

导数的运算

变化的快慢与变化率

【解析】

利用平均变化率公式，即可求出函数f（x）=-x2+x在x=3附近的平均变化率和导数

【解答】

解：函数/"（%）=-X2+久在X=0附近的平均变化率丝="3+AXM3）=-（Ax）fAX=

“'AXAXAX

一△x-5.

则/■'⑶=J：0(_Ax_5)=_5.

28.

【答案】

解：函数/（X）=ax+b在区间［私用上的平均变化率=等詈=出伫如处

故其平均变化率为a.

【考点】

变化的快慢与变化率

【解析】

利用平均变化率的公式即可得出.

【解答】

解：函数/（X）=ax+b在区间［m,汨上的平均变化率="普=吗二:吟

故其平均变化率为以

29.

【答案】

由题意知，tana=，，h=rtana

记tmin时煤堆的体积为V,

3

则V=2fl—17rrtana=0.31①

...丫=§巧且行②

yjTrtana

②式两边对t求导,得“t）=1

Trtana

（注：①式两边对t求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解）

设r=1.7m时对应的时刻为t（）,由①得片=喏x1.73

0.9

2

7rtana--.__

(z-------)x3X1.772・・・

0、0.9J

代入③式得,

!0.9_2130.97rtana二°

r，（t）=----------3=三・(B)3XL7-2

ETrtana3、Trtana

0.3°0.30.033

----------X1.7-2——(m/min)

Trtana9tanatana

【考点】

根据实际问题选择函数类型

变化的快慢与变化率

试卷第14页，总18页

【解析】

(1)由题意知，tana=士从而得出高九与底面半径r的关系.

(2)记Cmin时煤堆的体积为V,写出圆锥的体积公式，求底面半径对于时间的变化率,

即半径的函数式对于时间t求微分，代入所给的数据做出结果.

【解答】

由题意知，tana=，，/./i=rtana

记tmin时煤堆的体积为V,

3

则V=gjrr2fl—17rrtana=0.3t①

r=H②

②式两边对t求导，得「'(£)=：

TTtana

(注：①式两边对t求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解)

设r=1.7m时对应的时刻为功,由①得片=嘿x1.73

0.9

...不理马qX1.7-2-

ok0.97

代入③式得，

13)0.92130.97rtana2

2

r'")=i-----tn-3=------(——Y3x1.7-

-----=-----(m/min)

7rtana9tanatana

【答案】

XX

(1)由/(%)=%—1+巳,得/(%)=1—2

a

由函数/(%)在点(7,得/'(1)=1一巳，解得a=e

X

(2)f(x)=i-e

①当QW2时，/'(%)>0,/(%)无极值

②当。>0时，令/(%)=3,

xG(—8,Ina)时，xG(Ina,/z(x)>0,

函数/(%)在(一8,Ina)上单调递减，+8)上单调递增.

/(%)在x=Ina处取得极小值，且极小值为f(lna)=lna

综上，当aWO时；

当a>6时，/(x)在x=lna处取得极小值Ina.

【考点】

变化的快慢与变化率

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

(I)先求导，根据导数的几何意义即可求出，

(□)先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出.

【解答】

aa

XX

(1)由f(x)=x-i+a，得/(x)=i-e

a

由函数f(x)在点(7,得尸(1)=1-e,解得a=e

X

(2)f(%)=i-e

①当aS2时，f'(x)>0,f(x)无极值

②当a>0时，令((x)=3,

x6(-8,Ina)时，xE.(Ina,>0,

函数/'(x)在(-8,Ina)上单调递减，+8)上单调递增.

/(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为f(lna)=lna

综上，当aWO时；

当a>6时，/(%)在x=lna处取得极小值Ina.

31.

【答案】

(1)解:易知/(X)定义域为(0,+8),

当a=-1时，/(x)=—x+Inx,f'(x)=?，令/''(X)=0，得x=1.

当0<x<1时，/(x)>0；当x>1时，/'(x)<0.

/(X)在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数.

/(x)max=f(l)=-l.

函数f(x)在(0,+8)上的最大值为一1.

(2)解：；f(x)=a+p%6(0,e],^G[j,+oo)

①若则/'(x)20,从而/(x)在(0,e]上增函数，

/(x)max=/(e)=ae+1>0,不合题意・

②若a<%则由/''(x)>0得a+：>0,即0<x<-：

由((x)<0得a+?<0,即一5cxWe.

从而f(x)在(0,上增函数，在(-[e)为减函数

"x)max=〃T=T+ln(-*

试卷第16页，总18页

令-l+ln(一》=-3,则ln(_*=—2

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--=e~,即。=-e?.—e<-Q-e2为所求.

ae=

(3)证明：由g(x)二/—x—2求导可得“(%)=3/—1

令g'(%)=3%2—1=0,解得％=±y

令g，(x)-3x2—1>0,解得%<—4或%>y

又XG(1,e)£(苧,+00