2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.22cos15°+A.32 B.12 C.−2.在复平面内，常把复数z=a+bi(a,b∈R)和向量OZ进行一一对应.现把与复数2+i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°，所得的向量对应的复数为(

)A.1−2i B.−1−2i C.1+2i D.−1+2i3.下列各组向量中，可以作为基底的是(

)A.e1=(0,0)，e2=(1,−2) B.e1=(−1,2)，e2=(5,7)

C.4.复数z满足z⋅(1+i)=i3，则其共轭复数zA.12 B.12i C.−5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若A=60°，b=1，S△ABC=3，则A.133 B.2133 6.已知正四面体P−ABC的棱长为1，空间中一点M满足PM=xPA+yPB+zPC，其中x，y，z∈R，且x+y+z=1.A.33 B.63 C.7.已知sin(70°−α)=sin(50°+α)+cos(40°+α)A.33 B.−33 8.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，满足AA.3

B.3

C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2为复数，则(

)A.z1z2−=z1−z2− B.|z10.已知非零向量a，b，记x=|a+b|，y=|A.若a⊥b，则x=yB.若a//b，则x>y

C.若x=3，y=7，且|a|=2|b|11.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=233，将三角形ACD沿直线AC翻折得到三角形ACD′，在翻折过程中，下列说法正确的是(

)A.存在某个位置，使得三棱锥D′−ABC的外接球半径大于233

B.存在某个位置，使得异面直线BD′与AC的所成的角为π4

C.点B到平面ACD的距离的最大值为1

D.直线BD′三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(x,2)，若a⊥(2a−513.求值：(cosπ4+isin14.已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别交单位圆于A，B两点.已知点A的横坐标为55，点B的纵坐标为210．

(1)求sin(α+β)；

(2)16.(本小题15分)

在底面为正三角形的三棱柱ABC−A1B1C1中，已知点M，N分别是A1C1，B1C的中点．

(1)求证：MN//平面AA117.(本小题15分)

在锐角△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b2=2c2−a2．

(1)求tanB18.(本小题17分)

类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．

已知复变函数f(x)=xn+1xn，x∈C，n∈N∗．

(1)当n=1时，解关于x的方程：f(x)=1；

(2)当n=2时，

①若|x|=1，求f(x)的最小值；

②若存在实部不为0的虚数x和实数19.(本小题17分)

在三棱台ABC−A1B1C1中，△AB1C为正三角形，AB=BC=2，且AB⊥BC，点D为AC的中点，平面ABC⊥平面AB1C.

(1)若C1D⊥B1C，证明：平面CBB1C1⊥平面DBC1；

(2)当AA1=CC1=4时，

①设平面ABA1与平面

参考答案1..A

2..A

3..B

4..A

5..D

6..B

7..D

8..B

9..ABC

10..ACD

11..BC

12..0

13..1

14..7π315..解：由三角函数的定义可得：cosα=55，sinβ=210，

因为α为锐角，β为钝角，

所以sinα=1−cos2α=1−15=255，cosβ=−1−sin2β=−1−150=−716..证明：(1)取B1C1的中点E，连接EN，EM，

因为M，N分别是A1C1，B1C的中点，

所以ME//A1B1，EN//CC1//BB1，

因为A1B1⊂平面AA1B1B，ME⊄平面AA1B1B，

所以ME//平面AA1B1B，

同理可得EN//平面AA1B1B，而ME∩NE=E，

所以平面MNE//平面AA1B1B，而MN⊂平面MNE，

所以MN//平面A17..解：(1)由2b2=2c2−a2，可得2a2+2b2−2c2=a2，

由余弦定理可得：4abcosC=a2，

由正弦定理可得：4sinBcosC=sinA，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

故3sinBcosC=cosBsinC，即tanC=3tanB，

故tanBtanC=13；

(2)由(1)18..解：(1)由题意得x+1x=1，整理得x2−x+1=0，

x=1±1−42=1±3i2；

(2)①当n=2时，f(x)=x2+1x2，设x=a+bi(a,b∈R)，

因为|x|=1，所以a2+b2=1，

f(x)=x2+1x2=(a+bi)2+1(a+bi)2

=(a2−b2)+2abi+1(a2−b2)+2abi

=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi[(a2−b2)+2abi][(a2−b2)−2abi]

=(a2−b2)+2abi+(19..解：(1)连接DB1，

因为AB=BC，且点D为AC的中点，

则BD⊥AC，

又因为平面ABC⊥平面AB1C，平面ABC∩平面AB1C=AC，BD⊂平面ABC，

所以BD⊥平面AB1C，由B1C⊂平面AB1C，可得BD⊥B1C，

且C1D⊥B1C，C1D∩BD=D，C1D，BD⊂平面DBC1，可得B1C⊥平面DBC1，

且B1C⊂平面CBB1C1，

所以平面CBB1C1⊥平面DBC1．

(2)①由题意可知：BD=12AC=2，B1D=6，

因为△AB1C为正三角形，且点D为AC的中点，

则B1D⊥AC，

又因为平面ABC⊥平面AB1C，平面ABC∩平面AB1C=AC，B1DC平面AB1C，

所以B1D⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得B1D⊥BD，

可得B1B=B1D2+BD2=22，

取AB的中点M，连接DM，B1M，

因为B1B=AB1，AD=DB，则B1M⊥AB，DM⊥AB，

且B1M∩DM=M，B1M，DM⊂平面B1DM，则AB⊥平面B1DM，

对于梯形ABB1A1，过点A做AD1⊥A1B1，垂足为D1，

因为B1M=AB12−AM2=7，则AD1