2023-2024学年安徽省淮南一中等校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省淮南一中等校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i2−2i在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,−2)，b=(2,−3)，c=(2,x)，若xa−c与A.−3 B.−2 C.−1 D.03.2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为(

)A.480 B.500 C.520 D.5304.已知在梯形ABCD中，AB/​/CD，DC=2BA，AC∩BD=O，若AO=xAB+yADA.x=23，y=13 B.x=12，y=12 C.5.从−2，−1，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为(

)A.34 B.23 C.126.在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为12，13，14，则此时灯亮的概率为A.34

B.58

C.12

7.已知正四棱锥V−ABCD的底面边长为2，体积为423，E为棱VC的中点，则直线VA与BE所成角的余弦值为A.33 B.24 C.8.在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为ℎ，则(

)A.ℎ3+3ℎ2+3ℎ=374 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在[50,100)内，得到如图所示的频率分布直方图(每组均为左闭右开区间)，则(

)A.a=0.04 B.所有参赛者成绩的极差小于50

C.估计所有参赛者成绩的中位数为70.5 D.成绩在区间[60,70)内的人数为6410.设z1，z2∈C，则下列结论中正确的是A.若z1z2=0，则z12+z22=0 B.若z1−=11.在三棱锥S−PQR中，若A，B，C分别为棱SR，SP，SQ的中点，平面PQA、平面QRB、平面RPC相交于O点，则(

)A.△ABC的面积△RPQ的面积=14 B.三棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量的坐标为______．13.已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为V1，V2，则V1V14.已知在△ABC中，∠B=135°，∠C=15°，AC=2，E为线段BA的延长线上一点，∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D，则AD=______．

参考数据：sin15°=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△AOB中，设向量a=OA，b=OB，且|a|=2|b|=2，∠AOB=2π3．

(Ⅰ)求a⋅(a16.(本小题15分)

某校高一(1)班、(2)班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记(1)班所有学生的成绩分别为x1，x2，…，x40，平均成绩为x−，方差为sx2，已知i=140xi=3200，i=140xi2=260000．

(Ⅰ)求x−，sx2；

(Ⅱ)记(2)17.(本小题15分)

某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球(除标注的金额不同外，其余均相同)，其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸n次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额．

(Ⅰ)当n=1时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；

(Ⅱ)当n=2时，设事件A=“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件B=“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinC=sin(A−B)．

(Ⅰ)求A．

(Ⅱ)如图，D为△ABC的外接圆O的BMC上一动点(含端点)，c=2b=2．

(ⅰ)求AD的取值范围；

(ⅱ)当AD=AB且点B，D不重合时，求BD19.(本小题17分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，点E在线段AC上，且E为△BCD的重心，点F在棱AA1上，且A1F=13FA，点G在棱DD1上，且DG=13GD1．

(

答案解析1.C

【解析】解：z=i2−2i=−1−2i，

故z在复平面内对应的点为(−1,−2)，该点位于第三象限．

故选：2.B

【解析】解：根据题意，向量a=(1,−2)，b=(2,−3)，c=(2,x)，

则xa−c=(x−2,−3x)，

因为xa−c与b3.D

【解析】解：因为1300：1100：150：100=26：22：3：2，

所以抽取的总人数为290×26+22+3+226+3=530．

故选：4.A

【解析】解：由题可得：AOCO=ABDC=12，

所以AO=13AC=5.B

【解析】解：从−2，−1，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况，

满足乘积不超过1的为(−2,1)，(−2,3)，(−1,1)，(−1,3)，共有4种不同的情况，

故所求的概率为46=23．

6.D

【解析】解：因为三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为12，13，14，

则灯亮的概率为1−(1−14)×(1−7.A

【解析】解：设正四棱锥V−ABCD的高为ℎ，

则13×22×ℎ=423，ℎ=2，

又因为正四棱锥V−ABCD的底面边长为2，即AB=2，

所以AC=22，

所以VA=2，

设正四棱锥V−ABCD的底面中心为O，连接OB，OE，则OE//VA，

所以直线VA与BE所成的角为∠OEB，

由题可得OE=1，OB=2，EB=8.C

【解析】解：将圆台补成一个圆锥，则大圆锥的高为4，小圆锥的高为2，

因为容器正放时水面高度为1，

所以容器正放时水面所在圆面的半径为1+22=32，

所以注入水的体积为π3×[(32)2+22+32×2]×1=37π12，

当把此容器倒扣在水平桌面上时，设水面所在圆面的半径为r，

则1r=29.BCD

【解析】解，对于A，由题可得a=1−0.16−0.32−0.40−0.0810=0.004，故A错误；

对于B，由题图可知，所有参赛者成绩的极差小于100−50=50，故B正确；

对于C，设中位数为x，则0.16+0.32+(x−70)×0.04=0.5，解得x=70.5，故C正确；

对于D，成绩在区间[60,70)内的人数为200×0.32=64，故D正确．

故选：10.BC

【解析】解：对于A，若z1=0，z2=i，则z1z2=0⋅i=0，z12+z22=02+i2=−1≠0，故A错误；

对于B，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，

因为z1−=z2，所以a−bi=c+di，所以a=c，b=−d，a+bi=c−di，故z1=z2−，故B正确；

对于C，若z12=z211.ACD

【解析】解：对于A选项，根据题意可知△ABC∽△RPQ，且相似比为12，

∴△ABC的面积△RPQ的面积=(12)2=14，∴A选项正确；

对于B选项，∵△BPQ为△SPQ的面积的12，△BPR为△SPR的面积的12，

又△BQR与△SQR的面积关系未知，∴B选项错误；

对于C选项，∵三棱锥S−ABC的体积三棱锥S−PQR的体积=(SASR)3=18，∴C选项正确；

对于D选项，如图，设PA，RB交于点D，QA，RC交于点E，连接QD，PE，

则QD，PE的交点为O，延长AO交PQ于点F，连接DE交AO于点H，

易知D，E分别为△SPR，△SQR的重心，

∴ADPD=AEQE=12，∴DE//PQ，

∴OHOF=12.(3【解析】解：设a，b的夹角为θ，则a在b上的投影向量的坐标为|a|cosθ⋅b|b|13.932【解析】解：由题可知：球心O在圆锥的高上，

所以圆锥的底面半径为22−12=3，

14.3−【解析】解：因为∠ABC=135°，∠C=15°，

所以∠BAC=30°，

所以∠EAC=180°−∠BAC=150°，

因为∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D，

所以∠ADC=∠ABC−12∠EAC=135°−12×150°=60°，

在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=ADsin∠C，

所以15.解：(Ⅰ)由已知得|a|=2，|b|=1，∠AOB=2π3，

所以a⋅b=|a|⋅|b|cos∠AOB=2×1×(−12)=−1，【解析】(Ⅰ)根据向量数量积的定义求解；

(Ⅱ)根据向量加法运算法则及数量积的运算即可求解．

16.解：(Ⅰ)由题意可知，x−=320040=80，

所以sx2=140i=140xi2−x−2=140×260000−802=100；

(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用平均数和方差的定义求解；

(Ⅱ)利用平均数和方差的定义求解．

17.解：(Ⅰ)根据题意，n=1即只摸1次球，袋子中装入7个标有一定金额的球(除标注的金额不同外，其余均相同)，其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个．

生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元，

从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为27，为300元的概率为37，

故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为27+37=57；

(Ⅱ)当n=2时，AB=“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”，

因为300=100+200=200+100，400=200+200=100+300=300+100，

所以P(AB)=27×27×2+(27)2+27×37×2=2449．

事件A=“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400【解析】(Ⅰ)根据题意，生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；

(Ⅱ)根据题意，求出P(AB)、P(A)和P(B)，由相互独立事件的定义分析可得答案．

18.解：(Ⅰ)因为sinB+sinC=sin(A−B)，所以sinB+sin(A+B)=sin(A−B)，

所以sinB+2cosAsinB=0，因为sinB≠0，所以cosA=−12，

因为A∈(0,π)，所以A=2π3；

(Ⅱ)(ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，即a2=4+1+2=7，所以a=7，

所以圆O的直径为asin∠BAC=7sin2π3=2213，

又AD≥AB，AD≥AC【解析】(I)利用三角变换即可求解；

(II)(i)先求a，利用正弦定理求2R，再结合AD≥1，即可求解；

(ii)先用正弦定理求sin∠ACB，根据∠ACB=∠ADB，可以求出cos∠ADB，再利用BD=2ADcos∠ADB19.解：(Ⅰ)证明：如图，设BD∩AC=O，连接FO，

∵底面ABCD为菱形，E为△BCD的重心，

∴EO=13OA.又A1F=13FA，∴A1FFA=EOOA，

∴A1E//FO，又A1E⊄平面BDF，FO⊂平