2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|−2≤x<1}，B={−2,0,1,2}，则A∩B=(

)A.{−2,0,1} B.{−2,−1,0} C.{−2,0} D.{2,0,1}2.已知z−=1−z1+i，则复数A.2+i B.2−i C.1−i D.−1+i3.设a，b均为单位向量，且a⋅b=14A.3 B.6 C.6 D.4.已知锐角α满足tan2α=43，则sin2A.−1 B.−25 C.455.已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，S2A.72 B.8 C.7 D.6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是(

)A.C74种 B.A74种 C.477.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童ABCD−EFGH中，AB=4，AD=2，EF=8，EH=4，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为(

)A.36 B.46 C.56 D.668.若M，N分别是双曲线C：x2−y23=1的右支和圆D：(x−5)2+(y−1)A.52−3 B.52−2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(2x−x)A.不存在常数项 B.二项式系数和为1

C.第4项和第5项二项式系数最大 D.所有项的系数和为12810.已知函数f(x)=x3−x+1，则A.f′(x)=3x2−1 B.f(x)有两个极值点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P在截面BA.三棱锥P−A1BD的体积为16

B.线段PA的长为103

C.点P的轨迹长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x2lnx+1x+a13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=40米，则云台阁的高度为______米.14.设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且|PF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2=bc，sinA=7sinC．

(1)求bc16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=2．

(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．17.(本小题15分)

随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量/个1218m3218(1)求实数m的值.并用组中值(每组的中点值)估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；

(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X～N(μ,σ2)，其中μ为(1)中的平均数，σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)(单位：盒)内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数)

附：若X～N(μ,σ2)18.(本小题17分)

已知椭圆C：x212+y24=1及直线l：x−y+t=0．

(1)若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；

(2)P为椭圆C上一动点，若点P19.(本小题17分)

设函数f(x)=ex−alnx．

(1)当a=1，求f(x)在点(1,e)处的切线方程；

(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a−alna答案解析1..C

【解析】解：集合A={x|−2≤x<1}，B={−2,0,1,2}，

则A∩B={−2,0}．

故选：C．

2..C

【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，

则z−=a−bi=1−a+bi1+i=1−(a+bi)(1−i)(1+i)(1−i)=1−(a+b)+(b−a)i2，

所以a=1−a+b23..B

【解析】解：a，b均为单位向量，且a⋅b=14，

则|a4..D

【解析】解：因为tan2α=43=2tanα1−tan2α且α为锐角，

所以tanα>0，

解得tanα=12，

则sin【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

因为S2=3a2，可得a1+a2=3a26..D

【解析】解：由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有74种选择方案．

故选：D．7..C

【解析】解：根据题意可得所求几何体的体积为：

13×(4×2+8×4+8×32)×3=56．8..A

【解析】解：圆D：(x−5)2+(y−1)2=1的圆心D(5,1)，半径r=1，

双曲线C：x2−y23=1，则a=1，b=3，c=a2+b2=2，

设左焦点为F1(−2,0)9..AC

【解析】解：因为展开式的通项公式为Tr+1=C7r(2x)7−r(−x)r=27−r⋅(−1)r⋅C7r⋅x2r−7，

对A，由2r−7=0，得r=72(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；

对B，二项式系数和为2710..ABC

【解析】解：易知f(x)的定义域为R，

可得f′(x)=3x2−1，故选项A正确；

当x<−33时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当−33<x<33时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>33时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以函数f(x)在x=33处取得极小值，在x=−33取得极大值，

此时f(x)极小值=f(3311..ACD

【解析】解：在正方体中，AC1⊥平面B1CD1，平面B1CD1//平面A1BD，

且两平面间的距离为13|AC1|=33，又△A1BD的面积S△ABD=32，

∴三棱锥P−A1BD的体积VP−ABD=13×32×33=16，A正确；

设△B1CD1的中心为O1，则O1C1=33，AO1=233，

PO1=PC12−12..−1

【解析】解：f(x)=x2lnx+1x+a为奇函数，

则f(x)+f(−x)=x2lnx+1x+a+x2ln−x+1−x+a=x13..8【解析】解：设云台阁的高度PO=ℎ，则Rt△PAO中，tan30°=POOA=33，可得OA=3ℎ，

同理，在Rt△PBO、Rt△PCO中，算出OB=33ℎ，OC=ℎ．

因为△AOC中，AB=BC=40米，所以OB是AC边上的中线，可得OB=12(OA+OC)，

两边平方得|OB|2=14(OA+14..102

【解析】解：设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为P，

则∠F1PF2=90°，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a=2|PF2|，

所以|PF1|=3a，|PF2|=a，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即有9a2+a2=4c2，即c2=15..解：(1)因为b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得：b2+c2−a2=2bccosA，

所以cosA=12，而A∈(0,π)，

所以A=π3，

又因为sinA=7sinC，可得a=7c，可得角C为锐角，

且sinC=sinA7=2114，

cosC=5714，

所以sinB=sin【解析】(1)由题意及余弦定理可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；

(2)由题意可得BD=BA+AD=BA+116..(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD．

因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD．

又PA∩AD=A，AD，PA⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD．

又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．

(2)解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,2,0)，P(0,0,2)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，

所以PC=(1,2,−2),BC=(0,2,0),CD=(−1,0,0)．

设平面PCD的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，则

m⋅PC=0,m⋅CD=0⇒x1+2y1−2z1=0,−x1=0.，取y2=1，则x2=0，z2=1，

可得平面PCD的一个法向量为m=(0,1,1)【解析】(1)由题意可得PA⊥CD，AD⊥CD，可证CD⊥平面PAD，进而可证结论；

(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量与平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．

17..解：(1)由题意得，12+18+m+32+18=100，

解得m=20，

则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为：1100(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376；

(2)由题意，μ=376，σ=120，则256=μ−σ，616=μ+2σ，

故P(256≤X<616)=P(μ−σ≤X<μ+2σ)=12×P(μ−σ≤X<μ+σ)+12×P(μ−2σ≤X<μ+2σ)

≈12×0.683+12×0.954=0.8185，

故“A级群”约有1000×0.8185=818.5≈819个，【解析】(1)利用频数之和等于样本总数易得m值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；

(2)由题意，结合(1)的结果易得μ，σ的值，根据“A级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可．

18..解：(1)联立方程组x−y+t=0x212+y24=1，消去y得：4x2+6tx+3t2−12=0，

因为直线l与椭圆C没有公共点，

所以Δ=36t2−4×4×(3t2−12)<0，解得t>4或t<−4，

所以实数t的取值范围为(−∞,−4)∪(4,+∞)；

(2)由题意，点P到直线l距离的最大值，

等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离，

由(1)中，Δ=36t2−4×4×(3t2−12)=0，解得t=4或t=−4，

此时直线l1：x−y−4=0或直线l2：x−y+4=0与椭圆C相切，

当l1与l之间的距离为62时，可得|t+4|【解析】(1)联立方程组，根据题意，利用Δ<0，即可求得实数t的取值范围；

(3)根据题意，把点P到直线l距离的最大值，转化为直线l平行且与椭圆C相切的直线l1与直线l间的距离，由(1)直线l1：x−y−4=0或直线l2：x−y+4=0与椭圆19..解：(1)当a=1时，f(x)=ex−lnx，

则f′(x)=ex−1x，即f′(1)=e−1，

所以f(x)在点(1,e)处的切线方程为y−