2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z满足z1+i=2−i，则复数z的虚部是(

)A.−i B.i C.−1 D.12.已知向量a=(−2,23),b=(1,3A.14a B.−14a 3.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有(

)A.若α//β，m⊥α，m//n，则n⊥βB.若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n

C.若m//α，m//n，则n//αD.若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n//β4.机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是(

)A.π B.2π3 C.π3 5.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为(

)A.12π B.16π C.48π D.96π6.已知函数f(x)=23sinωxcosωx+2cos2ωx的定义域为[0,π2]，在定义域内存在唯一A.[16,136] B.[7.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是(

)A.[1,4+24]B.[1,1+8.已知函数f(x)=ex−eπ−x−cosx，若实数x1，x2，A.0 B.π2 C.3π2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Asin(2ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示下列说法正确的是(

)A.ω=1

B.函数f(x)的图象的对称轴方程为直线x=kπ2+π12,k∈Z

C.函数f(x)的单调递减区间为[kπ2+π1210.已知复数z1，z2，z3均为虚数，且z3A.z3z1z2<0

B.|z3|=|z11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为CC1中点，N为四边形A1DA.NB1⊥NC1 B.三棱锥B1−NBM的体积为43

C.点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知锐角α，β，且满足cosα=55，sin(β−α)=213.已知PC是三棱锥P−ABC外接球的直径，且PA⊥BC，PA=6，三棱锥P−ABC体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______．14.已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若A=2B，则a+cb的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB−bcosA=−a−c．

(1)求B；

(2)若a=2,b=27，D为AC边的中点，求BD的长．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，点E为线段PD的中点．

(1)求证：PB//平面AEC；

(2)求证：AE⊥平面PCD；

(3)求三棱锥P−BCE的体积．17.(本小题15分)

已知f(x)=2sin(x+φ)(φ∈(−π2,π2))，对任意x∈R都有f(π3−x)=f(x)．

(1)求φ的值；

(2)若当x∈(0,π)时方程f(x)+m=0有唯一实根，求m的范围．

(3)已知g(x)=2sin(x+18.(本小题17分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=12AA1=2，点M为A1B1的中点．

(1)证明：平面BMC1⊥平面AA1B19.(本小题17分)

在△ABC中，cosA=22，点O为△ABC的外心．

(1)若AB=32，AC=4，求AO⋅AB+BO⋅BC+CO⋅CA参考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.ABD

10.BC

11.BD

12.313.52π

14.(1+15.解：(1)因为acosB−bcosA=−a−c，

所以sinAcosB−cosAsinB=−sinA−(sinAcosB+cosAsinB)，

化简得2sinAcosB=−sinA，因为sinA>0，所以cosB=−12，

因为B∈(0,π)，

所以B=2π3；

(2)因为(27)2=22+c2−2×2ccos2π3，

所以c2+2c−24=0，解得c=4，

因为BD为△ABC的中线，所以2BD=BA+BC16.(1)证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，

如图示：

∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，

由已知E为线段PD的中点，∵PB//OE，

又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

∴PB//平面ACE；

(2)证明：∵PA=AD，E为线段PD的中点，∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，

∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD；

(3)解：由点E为线段PD的中点，故点P与点D到平面AEC的距离相等，

故VP−BCE=V17.解：(1)对任意x∈R都有f(π3−x)=f(x)，

则函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，

于是π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，

而φ∈(−π2,π2)，

则k=0，φ=π3，

所以φ=π3；

(2)f(x)=2sin(x+π3)，

当x∈(0,π)时，设t=x+π3∈(π3,4π3)，

y=2sint在t∈(π3,π2)为增函数，在t∈(π2,4π3)为减函数，

所以方程f(x)+m=0有唯一实根，

等价于f(t)+m∈(−3+m,3+m]∪{2+m}时有唯一实根，

所以m的范围是m∈[−3,3)∪{−2}；

(3)由(1)知，g(x)=2sin(x+π6)，18.解：(1)证明：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，因为点M为A1B1的中点，则C1M⊥A1B1，

又A1A⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，则有AA1⊥C1M.

而AA1∩A1B1=A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，于是C1M⊥平面AA1B1B，C1M⊂平面BC1M，

则平面BC1M⊥平面AA1B1B.

(2)存在，证明如下：

在平面AA1B1B内过点A作AQ⊥BM交BB1于点Q，平面BC1M∩平面AA1B1B=BM，

因此AQ⊥平面BC1M，于是点Q即为所要找的点，

如下图所示，显然△ABQ∽△BB1M，因此BQ19.解：(1)由题意，AB=32，AC=4，cosA=22，

则由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=18+16−2×32×4×22=10，故BC=10，

取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，

所以AO⋅AB=(AD+DO)⋅AB=AD⋅AB=182=9，

同理可得BO⋅BC=8，C