2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=3−i，则|z|=(

)A.10 B.10 C.252.已知集合M={x|−3<x<1}，N={x|−1≤x<4}，则M∪N=(

)A.{x|−1≤x<1} B.{x|x>−3} C.{x|−3<x<4} D.{x|x<4}3.为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数A.先将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位

B.先将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位

C.先向左平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

D.先向右平移π84.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3A.27 B.272 C.54 D.5.设a=log0.60.8，b=1.10.8，A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b6.函数f(x)=2cos2x+3sinx在[πA.[3,4] B.[3,258] C.[3,7.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x3+ax2+b，若f(x)的图象在x=−1处的切线方程为A.4 B.−4 C.2 D.−28.已知3a=11，4b=18，5c=27，则a，bA.a>c>b B.b>a>c C.c>b>a D.a>b>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若2∈{m−1,2m,m2−1}，则实数m的可能取值为A.3 B.3 C.1 D.10.已知X～B(8,14)，则A.E(X)=2 B.E(X)=32 C.D(X)=311.若不等式x−1<a成立的必要条件是x<1，则实数a的取值可以是(

)A.−2 B.−1 C.0 D.1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,m),b=(3,1)，且(b−2a13.已知双曲线C1：x2m−y2=1,14.将0，1，2，3，4，6六个数字填入如图所示的2×3方格中，要求每个方格填1个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知A，B是椭圆C：x236+y29=1的两点，AB的中点P的坐标为(4,1)．

(1)求直线AB的方程；16.(本小题15分)

某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置(称为“准点球”)，在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比(y%)，A学员已经训练了1年，如表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比：周次(x)1234567y(%)5252.853.55454.554.955.3若z=x．

(1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；

(若0.75≤|r|≤1，则认为y与z线性相关性很强；若0.3≤|r|≤0.75，则认为y与z线性相关性一般；若|r|<0.3，则认为y与z线性相关性较弱)(精确到0.01)

(2)求Y关于X的回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比.(精确到0.01)

参考公式和数据：

r=i=1nuivi−nu−v−i=1n(u17.(本小题15分)

已知各项均不为零的数列{an}满足：a1=1，3an+1an+an+1−an=0．

(1)证明18.(本小题15分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形．

(1)证明：平面BDD1B1⊥平面ACC1A19.(本小题17分)

已知函数g(x)=1−2lnx−ax2(a>0)，且g(x)的极值点为x0．

(1)求x0；

(2)证明：2g(x0)+2≤2a；

(3)答案解析1..A

【解析】解：由题意，|z|=32+(−1)22..C

【解析】解：集合M={x|−3<x<1}，N={x|−1≤x<4}，

则M∪N={x|−3<x<4}．

故选：C．

3..B

【解析】解：为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数y=sinx图象，先向右平移π4个单位，再将横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，故C、D错；

也可以先将横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π84..A

【解析】解：由等差数列{an}的性质可得：a3+a7=6=a15..C

【解析】解：0=log0.61<a=log0.60.8<log0.60.6=1，

b=1.10.8>6..B

【解析】解：依题意，f(x)=−2sin2x+3sinx+2，

令sinx=t，

因为π4≤x≤π2，

所以22≤t≤1，

故y=−2t2+3t+2,t∈[22,1]．

故当t=34时，7..D

【解析】解：f(x)的图象在x=−1处的切线方程为3x+y=0，

则f(−1)=3，f′(−1)=−3，

当x>0时，f(x)=x3+ax2+b，f′(x)=3x2+2ax，

因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，

f(x)的图象在x=−1处及x=1处的切线也关于原点对称，

所以f(1)=−3，f′(1)=−3，

即1+a+b=−33+2a=−3，所以a=−38..D

【解析】解：a=log311，b=log418，c=log527，

b−c=log418−log527=log4(16×1816)−log5(25×2725)=log498−log5279..ABD

【解析】解：①若m−1=2，即m=3时，此时集合中的元素为2，6，8，满足题意，

②若2m=2，即m=1时，m2−1=m−1=0，不满足集合中元素的互异性，

③若m2−1=2，即m=±3，

当m=3时，此时集合中的元素为3−1，2310..AC

【解析】解：因为X～B(8,14)，所以E(X)=8×14=2,D(X)=8×11..ABC

【解析】解：由x−1<a得x<a+1，因为不等式x−1<a成立的必要条件是x<1，所以a+1≤1，解得a≤0，符合题意的选项有：A，B，C．

故选：ABC．

12..2

【解析】解：向量a=(1,m),b=(3,1)，则b−2a=(1,1−2m)，

(b−2a)⊥b，13..32．【解析】解：由题意得m>0，

则e1e2=m+1m⋅m+42=14..25【解析】解：因为0+1+2+3+4+63=163<6，所以第一列的数字之和必然小于6．

当第一列的数字之和小于4，即第一列的数字为0，1或0，2或0，3或1，2时，均有A22A44种不同的排法．

当第一列的数字之和等于4，即第一列的数字为0，4或1，3时，均有A22(A44−A22A22A22)种不同的排法．

当第一列的数字之和等于5，即第一列的数字为2，3或1，4时，均有A22A15..解：(1)由题意知直线AB的斜率存在，设为k，

则直线AB的方程为y−1=k(x−4)，即y=kx−4k+1，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x236+y29=1y=kx−4k+1，

得(1+4k2)x2+(8k−32k2)x+64k2−32k−32=0

则x1【解析】(1)根据题意，设直线方程为y−1=k(x−4)，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理即可得到k，从而得到直线方程；

(2)根据(1)，由韦达定理可得x1+x216..解：(1)依题意r=i=17ziyi−7x−y−i=17(zi−z−)2i=17(yi−y−)2=729.98−7×103.734.13≈0.94，

又r≈0.94>0.75，所以【解析】(1)结合相关系数的公式，求解即可；

(2)结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将x=9代入线性回归方程，即可求解．

17..证明：(1)因为an≠0，故由3an+1an+an+1−an=0，

可得1an+1−1an=3，

又1a1=1，所以{1an}是以1为首项，3为公差的等差数列，

所以1an=1+3(n−1)=3n−2，故【解析】(1)通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解{an}通项公式；

(2)通过裂项法求解18..解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1，

又BD⊂平面BDD1B1，

所以平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．

(2)在平面ABCD内，过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设A1B1=1，则AB=3，AA1=1，因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，

故N是BC的中点，于是BN=32,AN=332，

因为M是棱BC上靠近点C的三等分点，所以BM=2,NM=1【解析】(1)由AA1⊥平面ABCD，得AA1⊥BD，再由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD，然后利用线面垂直的判定定理可证得BD⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；

(2)在平面ABCD内，过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN，AD19..解：(1)由g(x)=1−2lnx−ax2(a>0)，

则g′(x)=−2(x2−a)x3=−2(x−a)(x+a)x3(x>0)，

所以当x∈(0,a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x∈(a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以x=a为g(x)的极大值点，即x0=a．

(2)证明：由(1)知，g(x)max=g(a)=−lna(a>0)，

要证2g(x0)+2≤2a，只需证2(−lna)+2≤2a，即1a+lna−1≥0，

令ℎ(x)=lnx+1x−1(x>0)，则ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2，

当x∈(0,1)时