2023-2024学年安徽省淮南一中等校高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省淮南一中等校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i2−2i在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,−2)，b=(2,−3)，c=(2,x)，若xa−c与A.−3 B.−2 C.−1 D.03.2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为(

)A.480 B.500 C.520 D.5304.已知在梯形ABCD中，AB/​/CD，DC=2BA，AC∩BD=O，若AO=xAB+yADA.x=23，y=13 B.x=12，y=12 C.5.从−2，−1，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为(

)A.34 B.23 C.126.在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为12，13，14，则此时灯亮的概率为A.34

B.58

C.12

7.已知正四棱锥V−ABCD的底面边长为2，体积为423，E为棱VC的中点，则直线VA与BE所成角的余弦值为A.33 B.24 C.8.在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为ℎ，则(

)A.ℎ3+3ℎ2+3ℎ=374 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在[50,100)内，得到如图所示的频率分布直方图(每组均为左闭右开区间)，则(

)A.a=0.04 B.所有参赛者成绩的极差小于50

C.估计所有参赛者成绩的中位数为70.5 D.成绩在区间[60,70)内的人数为6410.设z1，z2∈C，则下列结论中正确的是A.若z1z2=0，则z12+z22=0 B.若z1−=11.在三棱锥S−PQR中，若A，B，C分别为棱SR，SP，SQ的中点，平面PQA、平面QRB、平面RPC相交于O点，则(

)A.△ABC的面积△RPQ的面积=14 B.三棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量的坐标为______．13.已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为V1，V2，则V1V14.已知在△ABC中，∠B=135°，∠C=15°，AC=2，E为线段BA的延长线上一点，∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D，则AD=______．

参考数据：sin15°=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△AOB中，设向量a=OA，b=OB，且|a|=2|b|=2，∠AOB=2π3．

(Ⅰ)求a⋅(a16.(本小题15分)

某校高一(1)班、(2)班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记(1)班所有学生的成绩分别为x1，x2，…，x40，平均成绩为x−，方差为sx2，已知i=140xi=3200，i=140xi2=260000．

(Ⅰ)求x−，sx2；

(Ⅱ)记(2)17.(本小题15分)

某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球(除标注的金额不同外，其余均相同)，其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸n次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额．

(Ⅰ)当n=1时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；

(Ⅱ)当n=2时，设事件A=“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件B=“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinC=sin(A−B)．

(Ⅰ)求A．

(Ⅱ)如图，D为△ABC的外接圆O的BMC上一动点(含端点)，c=2b=2．

(ⅰ)求AD的取值范围；

(ⅱ)当AD=AB且点B，D不重合时，求BD19.(本小题17分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，点E在线段AC上，且E为△BCD的重心，点F在棱AA1上，且A1F=13FA，点G在棱DD1上，且DG=13GD1．

(

参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.B

6.D

7.A

8.C

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.(313.93214.3−15.解：(Ⅰ)由已知得|a|=2，|b|=1，∠AOB=2π3，

所以a⋅b=|a|⋅|b|cos∠AOB=2×1×(−12)=−1，16.解：(Ⅰ)由题意可知，x−=320040=80，

所以sx2=140i=140xi2−x−2=140×260000−802=100；

(Ⅱ)17.解：(Ⅰ)根据题意，n=1即只摸1次球，袋子中装入7个标有一定金额的球(除标注的金额不同外，其余均相同)，其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个．

生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元，

从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为27，为300元的概率为37，

故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为27+37=57；

(Ⅱ)当n=2时，AB=“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”，

因为300=100+200=200+100，400=200+200=100+300=300+100，

所以P(AB)=27×27×2+(27)2+27×37×2=2449．

事件A=“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或40018.解：(Ⅰ)因为sinB+sinC=sin(A−B)，所以sinB+sin(A+B)=sin(A−B)，

所以sinB+2cosAsinB=0，因为sinB≠0，所以cosA=−12，

因为A∈(0,π)，所以A=2π3；

(Ⅱ)(ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，即a2=4+1+2=7，所以a=7，

所以圆O的直径为asin∠BAC=7sin2π3=2213，

又AD≥AB，AD≥AC19.解：(Ⅰ)证明：如图，设BD∩AC=O，连接FO，

∵底面ABCD为菱形，E为△BCD的重心，

∴EO=13OA.又A1F=13FA，∴A1FFA=EOOA，

∴A1E//FO，又A1E⊄平面BDF，FO⊂平面BDF，

∴A1E/​/平面BDF，

在直四棱柱ABCD−A1B