高中数学提升训练5.4三角函数的图象和性质

2020—2021高中数学新教材人教A版必修配套提升训练

5.4三角函数的图象和性质

主要命题方向

1.用“五点法”作三角函数的图象；2.利用图象变换作三角函数的图象；3.利用正、余弦函数的图象解

三角不等式：4.利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数；5.求三角函数的周期；6.三角函数奇

偶性的判断；7.三角函数奇偶性与周期性的综合运用；8.求三角函数的单调区间；9.三角函数对称轴、对

称中心；10.与三角函数有关的函数的值域（或最值）的求解问题；11.求定义域；12.三角函数的图像和性质

的综合应用.

配套提升训练

一、单选题

1.（浙北四校2019届高三12月模拟）若函数/（X）=cos（：+2x）,x€R,则f（x）是（）

A.最小正周期为n为奇函数B.最小正周期为“为偶函数

C.最小正周期为《为奇函数D.最小正周期为1■为偶函数

【答案】A

【解析】

VcosG+2x）=-sin2x,

Af（x）=-sin2x,

可得f（x）是奇函数，最小正周期T=g=贝

故选：A.

2.（2020•永州市第四中学高一月考）函数y=l—sinx,x«0,2句的大致图像是（）

【答案】B

【解析】

当x=0时，y=l；当x=g时，y=0；当％=兀时，y=l；当》=千时，y=2；当彳=2%时，y=l.

结合正弦函数的图像可知B正确.

故选B.

3.(2020.全国高三课时练习(理))已知函数了(力=(；］—cosx，则/(x)在［0,2句上的零点的个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

由下图可得/(X)在［0,2句上的零点的个数为3.故选C.

4.(2020•河南濮阳。高一期末(文))下列函数中，为偶函数的是()

A.y=(x+l)2B.y=2'x

C.y-|sinx|D.y=lg(x+l)+lg(x-l)

【答案】C

【解析】

对于A,函数关于x=-1对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；

对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；

对于Cj(—x)=kin(—x)|=|-sinX=kinx|=/(x),则函数/(x)是偶函数，满足条件，故C正确:

x+l〉0x>-1

对于口,由<得<得X>1,函数的定义为(l，+<»),定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数,

x-l>0尤>1

故D错误.

故选：C.

5.(2020•河南信阳。高一期末)估计cos、2020°的大小属于区间(

_V2C.4

A.4,。B.

7

【答案】B

【解析】

cos2020°=cos(5x360°+220°)=cos220°=cos(l80°+40°)=-cos40°,

因为y=cosx在(0,90°)上递减，且30°<40°<45°.

所以cos300>cos40°>cos450,

所以>cos40°>,

22

所以一^^<-cos40°<一立^

22

miU--<cos20200

22

故选：B

6.(2020•辽宁大连O高一期末)函数〃x)=cos[2x+?)的图像的一条对称轴方程为()

715冗2424

A.X--B.X-——C.x=—D.x=------

61233

【答案】B

【解

函数/(%)=COSI2%d—

I6

令2x+—=攵;r(Z£Z),

6

Ek7l兀1r

则X--------次£Z,

212

54

当左=1时，x=—,

12

故选B.

7.（2020•海南枫叶国际学校高一期中）函数〃x）=COS（（yx+e）的部分图像如图所示，则/&）的单调递减

13

B.(2人万—a，2&乃+W),火£Z

13

D.(2k——,2k+—),keZ

44

【答案】D

【解析】

171

—co+(p=——

42TT1T

由五点作图知,,解得刃=乃，(p=—,所以f(x)=COS(4X+—),令

53万44

—co+(p=—

42

〃]3I3

2k兀<7TXH—v2k兀+7i,kGZ,解得2k—VxV2kH—,攵£Z，故单调减区间为（2k—，2kH—）,

44444

kwZ,故选D.

8.（2020•河南林州一中高一月考）函数“司二0-白卜诂》的图象的大致形状是（）

【答案】A

【解析】

,ZXf,2A.（ex-l］.

（）

八fx'=I\1---\--+--e--xs）inx=（--e--'-+---U-sinx

故/（—x）=/（x）则〃x）是偶函数，排除C、D,又当xf0,/（x）＞0

故选：A.

9.（2020・山东聊城。高一期末）用五点法作函数了=4311（但+0）4＞0,@＞0,|同'的图象时，得到

如下表格:

7t2乃

X

6T

7134

CDX+(p0兀

~22

y040-40

则A,3,。的值分别为（）

A.4,2,——B.4,—,—C.4,2,—D.4,—,——

323626

【答案】A

【解析】

由表中的最大值为4,最小值为一4，可得A=4，

由二一工=」T,则7=乃，0）=^-=2,

362兀

•.•y=4sin（2x+。），图象过（£,0）,

6

TTTTTT

.,.0=4sin（—x2+°）,「.一x2+°=2Z乃，（2wZ）,解得夕=---，

663

TTTT

.」例＜5，•二当A=0时，9=一§.

故选：A-

10.（2020•镇原中学高一期末）若点P［一专,2）是函数/（#=5m（5+9）+团卜〉0,囤＜］）的图象的

7T

一个对称中心，且点尸到该图象的对称轴的距离的最小值为不，则（）

2

A./（x）的最小正周期是万B.“X）的值域为［0,4］

47r

C./(x)的初相夕=?D./(x)在—,271：上单调递增

【答案】D

【解析】

----C0-\-(p=k7l(keZy7V

山题意得《6"'乙且函数的最小正周期为T=4x—=2〃,

m=。22

247T7T

故69=-=1.代入-7口+0=Z%(ZGZ),得火=k%十%(k£Z),

又I时告,所以。吟

7T\.

所以/(x)=sinXH—+2.

6；

故函数/(x)的值域为［1,3］,初相为‘故A,B,C不正确,

।Ajr

t,「44-।7t37r13"、「一.一3兀13〃

'IXG[—,2TT]时，XH—G[r—,----],而y=sinX在1———］上单调递增，所以/(x)在工-,2%［：

3626263

单调递增，故。正确.

故选：D.

二、多选题

71

11.(2020•陕西渭滨。高一期末)函数)=tan(2x—")的一个对称中心是()

A.脸,0)B.(开,0)C.(y,0)D.(£,0)

12363

【答案】AD

【解析】

因为/[焉]=tan(£-£)=0：/f--1=tan(---)=tan—=—；

112；66H3J3663

乃、7CA/3兀2n7171

=tan—=—；\x=一时，2x-------=一

6,633362

所以(£,0)、(工,0)是函数y=tan(2x--)的对称中心.

1236

故选：AD

12.(2020•浙江高三专题练习)下列函数中，是奇函数的是().

A.y=x2sinxB.y=sinx,xi[0,2开]

C.y=sinx,x&[-7i,7r]D.y=xcosx

【答案】ACD

【解析】

对A,由>=/(x)=fsinx,定义域为R,

且/(—x)=(-X)-sin(—x)=­x2sinx=—/(x),

故函数ynfsinx为奇函数，故A正确

对B,由函数的定义域为川。2狗，故该函数为非奇非偶函数，故B错

对C,y=g(x)=sinx,定义域关于原点对称，

且g(-X)=sin(-x)=-sinx=-g(x),故C正确

对D,y=/〃(％)=xcosx的定义域为R,

且m(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx--m(x),

故该函数为奇函数，故D正确

故选：ACD

13.(2020・湖南天心❷长郡中学高三月考)下图是函数/(x)=Asin(a>+0)(其中A>0,0>(),

0<1。1<》)的部分图象，下列结论正确的是()

A.函数y=/x—g的图象关于顶点对称

B.函数/(x)的图象关于点[一强,0)对称

C.函数/(X)在区间一上单调递增

D.方程/(x)=l在区间一台，笠上的所有实根之和为竽

【答案】ABD

【解析】

.一,.127r5TC兀...

由已知，A=2,——-------=一,因此丁=7，

43124

所以/(x)=2sin(2x+0),过点V-4

47r37r

因此《-+e=j-+2匕r,keZ，又0<|。|<乃，

所以9=：兀,；./(x)=2sin(2x+?J,

6

对A，y=/[x-点)=2sin2x图象关于原点对称，故A正确；

对B,当x=—1时，/(一专)=°，故8正确；

冗冗冗兀兀

对C,由2&zr42xH—42左zrH—，有k兀---<xKkiH—，Z£Z故C不正确；

26236

对。，当一包时，2x+Je[0,4乃]，所以y=l与函数y=/(x)有4个交点令横坐标为司，超，

12126

%3，14，X]+X,+工3+X=—x2H---x2=,故。止确.

663

故选：ABD.

14.(2020.江苏海安高级中学高二期末)关于函数/(x)=binM+|cosR(xeR),如下结论中正确的是

().

A.函数“X)的周期是1

B.函数/(x)的值域是［0,啦］

C.函数/(x)的图象关于直线％对称

兀3兀

D.上递增

【答案】ACD

【解析】

A.V/(x)=|sinx|+|cosx),

n

.••小+方sinx+互+cosx+—二|cosx\+1-sinx|=|cosx\+|sinx|=/(x),

I2jI2

TT

.・・/(x)是周期为二的周期函数，A正确,

2

n717C34

B.当XG[0,、]时,f(x)=sinx+cosx=V2sinXH---,此时X+一£

2447'T

sin卜+?

G当4A/(x)e［l,V2］,又的周期是...xeR时，/(x)值域是［1,0］，B错;

C./(2TT—x)=|sin(2^--x)|+|cos(2TT—x)|=|-sin+|cosx|=|sinx|+|cosx|=/(x),

・••函数/(x)的图象关于直线工=〃对称，c正确;

717171

D.由B知xe[0,工]时，/(x)=V2sinx+fI，当xe[0,刍时，x+—e牛夕一⑺单调递增，而

2I4；44

/(X)是周期为2的周期函数，因此"X)在孚］上的图象可以看作是在上的图象向右平移工单

2<24J4J2

位得到的，因此仍然递增.DiE确.

故选：ACD.

三、填空题

X

15.(2020.山东高一期末)函数y=tan务的定义域为.

【答案】{x|xw2%乃+%,左eZ}

【解析】

Yjr

解不等式］。左乃+万（左eZ）,可得x#2kr+%（左eZ）,

因此，函数y=tan］的定义域为{x|x#2k万+万，女eZ}.

故答案为：{x|xw2左〃+肛％eZ}.

16.（2020•河南林州一中高一月考）函数y=4sin2x+6cosx-61-■乃）的值域

【答案】-6,7

_4_

【解析】

y=4sin2x+6cosx-6=4（1-cos2x）+6cosx-6

=-4cos2x+6cosx-2=-4（cosx--）2+-，

44

兀,j2

,/----<X<—71，

33

1।

/.——<cosx<\,

2

3.11

故一6K-4（cosx——）2+—<—,

444

故答案为：一6,二

_4_

17.（2020•全国高考题）关于函数/（x）=sinx+」一有如下四个命题:

sinx

①f（x）的图像关于），轴对称.

②r（x）的图像关于原点对称.

（sy（X）的图像关于直线对称.

®（x）的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

【答案】②③

【解析】

」+

对于命题①,2=2

22

所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误;

对于命题②，函数“X)的定义域为{X|XH上乃次GZ},定义域关于原点对称,

/(-x)=sin(-x)+^=-Sinx--i-=-[sinx+-l-j=-/(x),

所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;

所以，函数/(X)的图象关于直线X对称，命题③正确；

对于命题④，当一万<x<0时，sinx<(),则/(x)=sinx+」一<0<2,

sinx

命题④错误.

故答案为：②③.

(4x71、

18.(2020・上海高一课时练习)函数>+,当》=时有最小值，最小值是

3JT

【答案】-k7T+-,keZ-3

22

【解析】

'」icos(5+/)=-l时，即与+。=2左万+7，

371

可得x=-z7+一,%wz,此时y取得最小值；

22

此时，最小值为-3；

3JI

故答案为：-k1—,ksZ；-3.

22

31

19.(202。浙江高一课时练习)设函数/(*)=4+84!1》，当3<0时，/(X)的最大值是5,最小值是—5,

贝UA=,B=・

【答案】3-1

【解析】

3

A-B=-

21

根据题意，得《二，解得A=彳,3=-l.

2

A+B=-i

I2

故答案为：一,-1

2

cinr

20.(2020・上海高一课时练习)函数1=.「的最大值是，最小值是.

2+smx

【答案】1-1

3

【解析】

sinx।2

,/y=-----------=1-------------,

2+sinxsinx+2

22

—1<sinx<11<sinx+2<3-2W-------------K—,

sinx+23

-1<1------------<-,

sinx+23

sinxI

.・.函数y=':的最大值是7；最小值是一L

2+sinx3

故答案为：

3

21.(2020.上海高一课时练习)若函数/(x)=cos2x-asinx+伙a>0)的最大值为0,最小值为-4，则

实数a=,b=.

【答案】2—2

【解析】

,/f(x)=-sin2x-«sinx+/?+l,

令£=sinx(-l1),则y=-/一加+8+1(一1<1),

函数的对称轴为f=-0，

2

—l+〃+Z?+l=0,。=2,

当一幺＜一1,即Q22时,

。+匕+［。二

2-1-1=—4,-2,

当一1<—<0,用」0<〃<2时，一(—)~一〃•(—)+b+1=0目.-1—〃+/?+1=—4,

222

此时方程组无解；

a—2,

[b=-2,

故答案为：2,-2.

五、解答题

22.(2020•全国高一课时练习)求下列函数的定义域.

(1)y=Vsinx；

,、sinx+cosx

(2)y=----------.

tanx

【答案】(1){x\2k7t<x<2k7r+7L,kE：Z}x(2){x|xHg■万,A:ez)

【解析】

(1)要使函数有意义，必须使sinxNO.

由正弦的定义知，sinx20就是角8的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.

二角x的终边应在8轴或其上方区域，

/.2k兀<x<2ATT+7r,k&Z,

函数y=Jsin尤的定义域为{x\2女万<x<2hr+万,左eZ}.

(2)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanxkO.

X手kn■{——,

2/GZ)

X手Jut

k,r

x丰一兀、kGZ.

2

函数》=型上空I的定义域为肛％ez].

tanxI2J

23.(2020・涡阳县第九中学高一月考)己知函数,/■(x)=2sin(Q)x+0)(0>O,O<0(乃)最小正周期为1，

图象过点但，、笈].

(1)求函数/(x)解析式

(2)求函数/(x)的单调递增区间.

jr§4jr

【答案】⑴/(x)=2sin(2x+—)；(2)-z—+k7t,—+k7t(ZeZ).

488

【解析】

(1)由已知得兀=空，解得。=2.

3

将点(l，代入解析式，V2=2sin^2x—4-(p^,可知cos°=^^,

于是/(x)=2sin(2x+?

由Ov*v乃可知9

(2)令一■^■+2%乃<2工+5<]+2左乃(&EZ)

37r7T

解得-----\-k7i<x<--vk7i^kGZ),

88

3-jr-rr

于是函数/(x)的单调递增区间为一二-+后万二+"(AeZ).

OO

IJI

24.(2020•全国高三(文))⑴利用“五点法”画出函数/。)=>=5足(一工+一)在长度为一个周期的闭区

26

间的简图.

列表：

171

-x-\——

26

X

y

作图:

*x

(2)并说明该函数图象可由y=sinx(xeR)的图象经过怎么变换得到的.

(3)求函数/(幻图象的对称轴方程.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）x=2k7r+—,keZ.

【解析】

（1）先列表，后描点并画图

%3万

71

~22兀

245兀8万1U

.TT亍

0-10

''

2-

-2

（2）把），=5皿犬的图象上所有的点向左平移自个单位，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

6

坐标不变），得到y=sin（gx+*的图象，即y=sin（gx+*的图象；

.*.I1njnc,2n.r

（3）111―XH——KXH,X=z.K.71H---,ZWZ,

2623

2%

所以函数的对称轴方程是x=2攵乃+《-,ZeZ.

jr

25.（2020•全国高一课时练习）求函数y=tan（3x-学的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.

1n口k)5n

【答案】定义域为XXGR,目.X丰---1----,ZeZ上,值域为R,非奇非偶函数，递增区间为

318

7ik7v5万k元

----1---,---1---(ZrsZ)

183183

【解析】

y=tanf的定义域为工后乃+',ZeZ

f7t7t）

单调增区间为心万一,,攵%+,卜攵€2.

又、=tan(3x-?J看成？=1211/1=3了一0的复合函数,

由一〃+留心忙+青壮Z

,kn5兀1r

所以所求函数的定义域为x\x-----1-----,4wZ值域为R；

318

函数y=tanhx-yj的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；

.7C_兀,7C,_k/7Lkl5TC.〜

令我f万<3x---〈&乃+—,解得--------<x<——+——,kwZ,

232318318

(兀、(k兀JIk157r।

即函数y=tan3%一7的单调递增区间为—，丘Z.

TT

26.(2020•陕西省汉中中学(理))已知函数/(x)=2sin(5--)一1(G>0)的周期是".

6

(1)求了。)的单调递增区间；

71

(2)求在［0,—］上的最值及其对应的工的值.

2

【答案】⑴一.+版■,(+版■(ZeZ)；(2)当x=0时,"吐而=—2；当x=(时,/(02=1.

【解析】

T2411c

(i)解：：7=同=》，；.|d=2,

又丁0>0,.:69=2,/(x)=2sin[2x--j-1,

TTTTJT

-----F2k/r<2x----<——卜2kjv、kwZ、

262

n27r