概率与统计教案人教课标版

概率与统计

・网络体系总览

・考点目标定位

.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.

.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望

值、方差.

.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本.

・会用样本频率分布估计总体分布.

.了解正态分布的意义及主要性质.

.了解线性回归的方法和简单应用.

.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力.

•复习方略指南

在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分

注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际

应用.

.把握基本题型

应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型

随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及

期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识

的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.

.强化双基训练

主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.

.强化方法选择

特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，

还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、

网络化的有机体系.

.培养应用意识

要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行

联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养

利用所学知识解决实际问题的能力.

离散型随机变量的分布列

•知识梳理

.随机变量的概念

如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊

字母人〃等表示.

（）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这

样的随机变量叫做离散型随机变量.

（）若f是随机变量，nf,其中、是常数，则〃也是随机变量.

.离散型随机变量的分布列

（）概率分布（分布列）.设离散型随机变量f可能取的值为，，…，，…，§取每一个值

的概率（f）,则称表

•・・•・・

•・・•・・

为随机变量€的概率分布，简称f的分布列.

（）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事

件恰好发生次的概率是（§）丁.

其中，，…，，一，于是得到随机变量§的概率分布如下:

•••…

01-•••k-n

nnnn

我们称这样的随机变量f服从二项分布，记作f〜（，），其中、为参数，并记£-（；,）.

特别提示

二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.

・点击双基

.抛掷两颗骰子，所得点数之和为f,那么f表示的随机试验结果是

.一颗是点，一颗是点

.两颗都是点

.两颗都是点

.一颗是点，一颗是点或两颗都是点

解析：对、中表示的随机试验的结果，随机变量均取值，而是f代表的所有试验结果.

掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.

答案：

解析：、不满足分布列的基本性质②，不满足分布列的基本性质①.

答案：

.已知随机变量f的分布列为（」，，，…，则（＜4W）等于

2k

3111

16-416'5

答案：

.某批数量较大的商品的次品率为，从中任意地连续取出件，其中次品数f的分布列为.

解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取件（不放回）可以看作是独立重复试验,

因而次品数f服从二项分布，

即f〜（，）.

4的分布列如下：

.设随机变量f〜（，），〃〜（，），若（f》）则（〃》）.

9

解析：（§2）一（§＜）—2•（一）—,

9

•典例剖析

【例】在件产品中有件次品，连续抽次，每次抽件，求：

（）不放回抽样时，抽到次品数f的分布列；

（）放回抽样时，抽到次品数〃的分布列.

剖析：随机变量f可以取,，，〃也可以取，，，，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值

和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.

12

)5C5c1

JIo|'5J

所以f的分布列为

771

?5?5L5

（）（〃）；•一•（，，，），所以〃的分布列为

n

0123

88*8*8

评述：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即"〜（，）.

特别提示

求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出

取每一个值时的概率.

【例】一袋中装有只球，编号为，，，，，在袋中同时取只，以f表示取出的三只球中的最

小号码，写出随机变量&的分布列.

剖析：因为在编号为，，，，的球中，同时取只，所以小号码可能是或或，即f可以取，，.

解：随机变量f的可能取值为,，.

当f时，即取出的三只球中最小号码为，则其他两只球只能在编号为，，，的四只球中任

取两只，故有（f）§93：

C”o5

当f时，即取出的三只球中最小号码为，则其他两只球只能在编号为,，的三只球中任取

两只，故有（f）二上；

c”0

当f时，即取出的三只球中最小号码为，则其他两只球只能在编号为，的两只球中任取

C21

两只，故有（f）=L.

c”0

因此，f的分布列如下表所示:

331

5ToTo

评述：求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件的概率、

相互独立事件同时发生的概率、次独立重复试验有次发生的概率等.本题中基本事件总数，即；,

取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）.

【例】（年春季安徽）已知盒中有个灯泡，其中个正品，个次品.需要从中取出个正品，

每次取出个，取出后不放回，直到取出个正品为止.设§为取出的次数，求f的分布列及。

剖析：每次取件产品，.•.至少需次，即f最小为，有件次品，当前次取得的都是次品时,

f,所以f可以取，，.

冷"/E、8728

解：（f）—XKz------；

10945

82728714

k5z---/>—/X----ZX-ZX-------

1098109845

28141

454515

・•・f的分布列如下：

28141

454515

22

fX(f)X(f)X(f)—,

9

评述：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实

际问题的能力.

思考讨论

.f时有哪些情况？

.本题若改为取出后放回，如何求解？

•闯关训练

夯实基础

.袋中有大小相同的个球，分别标有，，，，五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出

两个球，设两个球号码之和为随机变量f,则f所有可能取值的个数是

解析：号码之和可能为.......共种.

答案：

袋中有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回,直到红

球出现次时停止，设停止时共取了f次球，则(f)等于

288888

(-)•(-)

8888

解析：(4)表示第次为红球，前次中有次为红球，从而(f)-(-)(-)

"88

答案：

.现有一大批种子，其中优质良种占，从中任取粒，记◎为粒中的优质良种粒数,则f的

分布列是.

解析：f的分布列是(f)；

答案：(f)厂,

.袋中有只红球只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为

随机变量f,贝U(fW).

解析：取出的只球中红球个数可能为，，，个，黑球相应个数为，，，个.其分值为f,,,分

…)9罟会

.(年天津，理)从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛.设随机变量f表示所选人中女

生的人数.

O求f的分布列；

()求f的数学期望；

()求“所选人中女生人数fWl”的概率.

解：()f的可能取值为，，.

「k「3-k

(O

C：

•••f的分布列为

3J

555

()由()，可知

131

fX-X-X

555

()“所选人中女生人数f〈1”的概率为

4

(O(f)(f

5

培养能力

.(年高考•新课程)、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是、、，队队

员是、、，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如1

对阵队员队队员胜的概率队队员负的概率

2£

对

i3

23

对

~55

23

对

~55

现按表中对阵方式出场，每场胜队得分，负队得分.设队、队最后所得总分分别为f、n.

()求f、〃的概率分布；

()求f、n.

分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际

问题的能力.

解：()八〃的可能取值分别为，，，.

(-x-x-A,

35575

22312223228

(S)—z\—z\——z\—Z\——z\—z\----------

35535535575

¥)2乂331231322

(

3553553555

1333

(f)lx-X--；

35525

根据题意知f〃，所以

8

(n)

75

28

(n)

75

2

(n)一,

5

3

(n)

25

O”总义竺x2x2必

757552515

因为fn,

所以〃一f空.

15

.金工车间有台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为，已知每台机床工作时，

平均每小时实际开动，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提

供的电力，这台机床能够正常工作的概率为多大？在一个工作班的内，不能正常工作的时

间大约是多少？

分析：由实际问题确定随机变量的取值，由独立重复试验求概率值.

解：设台机床中实际开动的机床数为随机变量f,由于机床类型相同，且机床的开动与

否相互独立，因此f〜（，）.其中是每台机床开动的概率，由题意乜工.从而（f）%（-）

6055

/4、-

（一）,,,,**,,.

5

电力同时供给台机床开动，因而台机床同时开动的台数不超过台时都可以正常工作.这一

事件的概率为（fW）,

55

因此，在电力供应为的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为，从而在一个工作班的

内，不能正常工作的时间只有大约XX（）,这说明，台机床的工作基本上不受电力供应紧张

的影响.

评述：分布列的实际应用，应结合题意给出答案.

,一袋中装有只球，编号为，，，，，在袋中同时取只，以4表示取出的只球中的最大号，写

出随机变量f的分布列.

解：根据题意可知随机变量f的取值为，，.

C21

当f时，即取出的三只球中最大号码为，则其他两球的编号只能是，，故有（f

C；10

当§时，即取出的三只球中最大号码为，则其他两球只能在编号为,，的球中取个，故（f）

cf_2

c；io'

（§）£|色

c；10

可得f的分布列为

136

76ToTo

探究创新

.如果f〜（,则使（&）取最大值的的值是.

3

解析：»+1）2号里—空」X，》,

p（&=k）c§od）“2尸"k+12

得W.

所以当W时，（f）》（f）,

当〉时，（f）V（f）,

其中时，（f）（f）,

从而或时，（f）取得最大值.

答案：或

•思悟小结

.离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：》（，，一,）与£是确定分布列中参数值

/=