高中数学-立体几何复习

立体几何专题复习

学校:姓名：班级：考号：

一、多选题

1.（多选题）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（）

二_________一B

M

M

二S°®

2.已知正三棱锥P—ABC的底面边长为1，点P到底面ABC的距离为血，则（）

A.该三棱锥的内切球半径为变B.该三棱锥外接球半径为逆

612

D.该三棱锥体积为逅

C.该三棱锥体积为在

1212

3.如图，在正方体A5C£>—A|4C]£）|中，点P在线段耳。上运动，则（）

%g

3

B

A.直线平面ACQ

TT

B.二面角与一CD-8的大小为万

C.三棱锥尸-AG。的体积为定值

TT7C

D.异面直线AP与4。所成角的取值范围是

4.如图，点尸在正方体ABC。—44GA的面对角线3G上运动，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥A—RPC的体积不变B.AP//平面AC?

C.DPABGD.平面POg人平面ACA

5.已知私〃是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题，其中所有正确的命题

是（）

A.若〃2_La,〃_L民〃2_L〃，则a_L£

B.若ml/a、n//p,m工〃,则a//，

C.若m上a,n//0,m上几,则a//〃

D.若机_La,〃//民a///?,则m

6.如图，在四棱锥尸—A3C£＞中，底面ABCO是正方形，94,平面ABC。，PA=AB^点、E为

Q4的中点，则下列判断正确的是（）

p

A.PB与CO所成的角为60°

B.8。_L平面尸AC

C.PC〃平面EDE

D・VB_CDE：Vp-ABCD=1：4

二、单选题

7.已知在正四面体ABC。中，点E为棱AO的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）

加B旦1D6

A.C

6633

8.若〃7,〃表示直线，a表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（）

mlln\_m±mLa\mlla

①}n〃_La；②③④>=>n±a.

mLa\〃-LaJn!/a\mLn

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.用斜二测画法画水平放置的AABC1的直观图VA'QC'如图所示，则在AABC的三边及中线A。

中，最长的线段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

10.棱长为，z的正四面体的表面积为（)

AV32B.包2「百2

A.——a-C.——aD.G/

1284

11.三棱锥尸—A5c中，若PA=PB=PC,则P在底面ABC上的投影0为6c的（）

A.垂心B.外心C.内心D.中心

12.已知加，〃表示两条不同的直线，名尸表示两个不重合的平面，下列说法正确的是（）

A.若mlla,m//。，则。///?B.若〃〃/a,〃//a,则加〃〃

C.若〃z_La,〃-La,则根〃〃D.若〃z_La,根_L〃，则〃//a

13.如图正三棱柱ABC-A'3'C'的底面边长为百，高为2,一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面

爬到顶点C',若侧面AA'C'C紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（）

A.V13B.2+百C.4D.V3+V7

14.如图，ABCD-ABCR为正方体，则以下结论:①B。//平面CBQ|；②_LB£＞；③AG±

平面C耳。.其中正确结论的个数是（）

三、填空题

15.已知加，〃是两条不同的直线，a仅是两个不同平面，则以下命题不成立的是一

(1)若a///，加ua,nu/3,则加〃〃

（2）若根//月，PX.a,则加_Lc

(3)若m_La,〃zu/7,则a_L/?

(4)若/〃//2,n!I(3,mHn,则a〃尸

16.已知a,夕是两个平面，m,〃是两条直线，则下列四个结论中，正确的有_(填写所有正确

结论的编号)

①若〃?//a,nlla,则

②若加_La，nJla,则zw_L〃；

③若。///，mua,则〃2//4；

④若m_L〃.m±tz>n!I[3,则a_L/?

17.如图，在四面体4一38中，AC=BD=a，AC与BQ所成的角为6(?，M、N分别为4?、

CD的中点，则线段MN的长为

18.在正三棱锥S-A3C中，AB=BC=CA=6,点。是SA的中点，若S8_LCZ),则该三棱锥

外接球的表面积为.

四、解答题

19.如图，在正方体ABC。-44GA中，点E为棱。A的中点.

(1)求证：由)"/平面ACE；

(2)求异面直线AE与所成角的余弦值.

20.如图，已知在长方体ABC。-43GA中，Z)A=DC=1,A&=2,点七是的中点.

01G

(1)求证：AR〃平面EBD；

(2)求三棱锥A-BOE的体积.

21.如图所示，在三棱柱ABC-中，侧棱AA|_L底面ABC,为AC的中点,A4i=AB=2,

BC=3.

(1)求证：ABi//平面BCD；

(2)求ABi与8。所成角的余弦值.

22.如图所示，在四棱锥A—BCDE中，底面8CDE为菱形，侧面/WE为等边三角形，且侧面

垂直底面8CDE,0,F分别为BE,£>E的中点.

(1)求证：CEA.AF；

(2)在棱AC上是否存在点尸，使得5P//平面AOE?若存在，请找出点尸的位置，若不存在,

请说明理由.

23.如图，在三棱柱ABC—4gG中，E，F，G，H分别是AB，AC，Ag,4G的中点，

求证：

(1)B,C>H>G四点共面；

(2)平面EFA//平面BCHG.

24.如图所示，在四棱锥P—A8CD中，AD//BC,AD=3,BC=4,M为线段上点，且

满足AA/=2MD，N为PC的中点.

(I)证明：MN〃平面Q43；

(II)设三棱锥N-BCM的体积为乂，四棱锥尸-ABCD的体积为匕，求

V2

25.如图，三棱柱ABC—AgC中，AB=BC=AC=^BB—用在底面4?。上的射影恰好是

点A,E是4C的中点.

(1)证明：AB”平面BCE；

(2)求4B与平面BCCg所成角的正弦值.

26.如图，在三棱柱ABC—4B1G中，尸为AC中点.

(1)若此三棱柱为正三棱柱，且求异面直线AB】与Bb所成角的大小；

(2)求证：A8J/平面BFC.

27.如图，在四棱锥P—A8CZ)中，底面ABC。是边长为2的正方形，孙，底面ABCD,PA=AB,

点M是棱尸。的中点.

(1)求证：PB〃平面ACM；

(2)求三棱锥P-ACW的体积.

28.在棱长为2的正方体A8CD—A与GA中，0是底面A8CO的中心.

GB\

Dy

(1)求证:80〃平面D41c1；

(2)求点。到平面。AG的距离.

29.在三棱锥A-3C£)中，△BCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段80，CD的中点,

点厂在线段A8上，且8尸=2%.若A£>=1，A8=6，CB=CD=O.

(1)求证：47//平面。跖；

(II)求直线AO与平面C即所成的角.

30.如图所示，在直三棱柱ABC-AgG中，AC=BC=AA]=2,ZACB=9Q°,。是A8的

中点.

(I)求证：直线ACJ/平面61c。；

(II)设0为线段AG上的动点，求三棱锥。-4。的体积.

31.如图：在正方体ABC。-中，E为。2的中点.

(1)求证：89〃平面ASC；

(2)若F为CG的中点，求证：平面4EC〃平面

32.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，M>N分别为棱AC、A4的中点，且AB=BC

(1)求证：平面BAW_L平面ACGA；

(2)求证：MN//平面BCC&1.

33.在矩形ABCD中，AB=2AD=4,E是A8的中点，沿。E将AADE折起，得到如图所示

的四棱锥尸一BCDE.

B

(1)若平面DDE，平面3CDE,求四棱锥P—BCDE的体积；

(2)若PB=PC,求证：平面尸。E_L平面BCDE.

34.如图，在四棱锥尸-ABC。中，ABA.AD,CDA,AD,B4_L平面ABC。，PA=AD=CD=2AB=2,

M为PC的中点.

(1)求证：BM//平面PAD.

(2)平面以。内是否存在一点N,使MN,平面PBO?若存在，确定点N的位置；若不存在，请

说明理由.

35.如图所示，已知三棱锥尸—ABC，ZACB=90，CB=4,AB=20，。为AB的中点，且

△PDB是正三角形,PALPC.

(1)求证：平面平面ABC；

(2)求二面角。一AP-C的正弦值；

(3)若点〃为PB的中点，求三棱锥M-BC。的体积.

36.如图1,在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB1AD,且AB=A。=1.现以AO为

2

一边向梯形外作矩形AOEF,然后沿边将矩形印翻折，使EDLDC,如图2.

E

EDC

图2

(1)求证：3C_L平面BOE；

(2)若多面体ABCDE尸的体积为求直线CO与平面8CE所成角的正弦值.

37.如图，43是圆。的直径，点C是圆。上异于A,8的点，直线PCJ_平面A8C.

(1)证明：平面PBC_L平面PAC；

(2)设AB=PC=2,AC=\,求二面角3—Q4—C的余弦值.

38.如图，在矩形A3CD中，AB=五,BC=2,E为8c的中点，把△ABE和△C0E分别沿

AE,DE折起，使点B与点C重合于点P.

(1)求证：PE_L平面P4。；

(2)求二面角P—4)—E的大小.

参考答案

1.BCD

【分析】

利用线面平行的判定定理逐一分析选项可得答案.

【详解】

。为底面对角线的交点，可得AB〃OQ,

又0QC1平面MNQ=Q,所以直线A8与平面MNQ不平行；

对于B,由于A8〃MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MN。平行;

对于C,由于AB〃MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;

对于D,由于AB〃NQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行.

故选：BCD.

2.ABD

【分析】

设尸M是棱锥的高，则M是△A3C的中心，。是A3中点，易得几何体的体积，进而结

合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.

【详解】

如图，是棱锥的高，则M是AABC的中心，。是中点，

S"BC=4X『=4'VP_ABCJS-BC.PM=上又0~乂6=回，故C错D正确;

ZAA6c44*-AoC-3ZAA6c34].

口「115>/35A/3

SfBCxBCxPD=—xlx------,

2612

所以S=3SL&\rpi5Bxc-+SZ■-A/BioCU=3x]242，

.J指

13x丘近

设内切球半径为，则一Sr=%_Asc，r=-卢=一,A正确;

33弋36

F

易知外接球球心在高PM上，球心为。，设外接球半径为R,

则（0-7?丫+当=R；解得R=哈,B正确；

故选：ABD.

【点睛】

本题考查空间几何体的内切球，外接球问题，三棱锥的体积求解，考查空间想象能力，运算

求解能力，是中档题.本题内切球的半径的求解利用等体积法求解，即：V=表面积〃（其

中「为内切球半径）.

3.AC

【分析】

在A中推导出AiG_LB£>”DGlBDi,从而直线BDi，平面AiG。；在B中根据正方体性

质显然不成立；在C中由BC〃平面A.C.D,得到P到平面4G。的距离为定值，再由

△AC1。的面积是定值，从而三棱锥P-4G。的体积为定值；在D中异面直线AP与4。

所成角的取值范围是［(,'］即可求解.

【详解】

如图，

在A中，'：A\C\LB\D\,AiCilBBi,

...41©_1平面881。1,：.AiCt±BDt,同理，DC\LBD\,

•.•4GnOG=G,.,.直线B£h_L平面4G。，故A正确；

在B中，由正方体可知平面gC。不垂直平面ABQD,故B错误；

在C中，'：A\D//B\C,AQu平面4C£),BCC平面4cQ,

...BiC〃平面AiCiD,

•••点P在线段8C上运动，到平面AiCiD的距离为定值，

又△AiGO的面积是定值，...三棱锥P-AiGD的体积为定值，故C正确;

在D中，当点尸与线段与。的端点重合时，异面直线4P与4。所成角取得最小值为;TT,

故异面直线AP与4。所成角的取值范用是［工，工］,故D错误.

32

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：根据正方体的图形与性质，结合线面垂直的判定，三棱锥的体积公式，二面角、

异面直线所成角的概念，是解题的关键，属于中档题.

4.ABD

【分析】

由BC"/平面ARC知P到平面ADtC的距离不变故可得三棱锥A-QPO的体积不变；由

面面平行可得4尸〃平面AC。成立；当P与C1重合时显然。P与BG不垂直；根据正方

A

体对角线性质可证B[D，平面ACD],即可得平面PDB,平面ACDX.

【详解】

如图，

正方体中8C"/AQ,则有BC"/平面ARC,到平面ARC的距离不变，AARC面

积不变，因此三棱锥A—APC的体积不变，A正确；

同理A8//平面ARC,由A8c8G=8,从而平面A^G//平面ARC,A///平

面ACR,B正确；

当P与G重合时，0P与BG所成角为60。，不垂直，C错；

由正方体中4G，与。1，由4G，8与，得AC_L平面5月。。，可得同

理46,4。，由=可知4。，平面,而平面A18G//平面4RC，

所以用。，平面ARC，而与。U平面尸。瓦，所以平面「。4人平面AC。，D正确.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：根据正方体的性质，利用线面平行、面面平行，可证明棱锥体积不变及线面平

行，根据正方体体对角线的性质可得线面垂直，进而求出面面垂直，利用特殊化思想可确定

C选项错误，属于中档题.

5.AD

【分析】

由线线、面面间的位置关系及判定、性质定理逐个判断即可.

【详解】

A项根据面面垂直判断易知正确；

B项由根//a,〃//£,机_L〃也可得出。J■力，B项错误；

C项由根n/1（3,机也可得出a_L/?,C项错误；

D项由根al//3得mL/3,又因为〃〃夕，所以加_L〃，D项正确.

故选：AD.

6.BCD

【分析】

对A,可得ZPBA即为PB与CO所成的角，求出ZPBA=45°可判断;对B,通过8。_LAC

和可得；对C,通过线面判定定理可得；对D,分别表示出三棱锥和四棱锥的体

积可得.

【详解】

对A,•.•底面ABC。是正方形，.•.AB〃CZ）,则NP84即为与8所成的角，

平面ABC。，.•.Q4_LAB，\'PA=AB,:.^PBA=45^故A错误；

对B,连接AC，•.•底面ABC。是正方形，.•.BO_LAC,：PAL平面ABCD,BDu平

^ABCD,:.PA±BD,QFAIAC=A,，_L平面PAC，故B正确；

对C,设BDcAC=O,连接QE,则。是AC中点，又点E为24的中点，，。。〃。石，

♦.•OEu平面BOE，PC（Z平面8DE，，PC〃平面8£）£，故C正确；

x

对D,VR_CDE=VE-BCD=2S.BCD'班，^P-ABCD~§^ABCD'尸、=§"2SRCD2EA=4VB,

VR-CDE:%-ABCO=1：4,故D正确.

故选：BCD.

p

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，考查线面垂直和线面平行的判断，考查棱锥体积的计算,

解题的关键是正确理解定义和平行垂直的判定定理.

7.A

【分析】

如图，取A8的中点/，连接则由题意可得NCE五为异面直线CE与80所成

的角，然后在△CEF中利用余弦定理求解即可

【详解】

解：设正四面体ABCD的棱长为"，如图，取A3的中点尸，连接

因为点E为棱A。的中点，所以EF〃BD，EF=-BD=一a,

22

所以NCEF为异面直线CE与3。所成的角或其补角，

因为正四面体ABC。的棱长为“，所以CE=CF=x3a，

2

3212321

a——a4_后

CE2+EF—CF?+彳4

所以cosNCEE=厄=不

2CEEF2x遮1

ax-a

22

故选：A

D

8.C

【分析】

根据空间中的线面关系逐一判断即可.

【详解】

mlInml.amLa\

>=>n±a,正确,>=>,〃//〃，正确，>=>/〃_!_〃，正确

m_La〃_LaJn!la]

若m//a,mln,则〃可以与a平行，相交或”ua,故④错误

故选：C

9.D

【分析】

根据VA'B'C'的形状还原得到AABC的形状，由此确定出最长的线段.

【详解】

根据VA'8'C'的形状可知AABC的形状如下图：

由图可知，最长的线段为AC,

故选：D.

10.D

【分析】

根据正四面体是各面都是全等的等边三角形，即可由三角形面积公式求出结果.

【详解】

因为正四面体是各面都是全等的等边三角形，

又该正四面体的棱长为。，

所以该正四面体的表面积为S=4xgxaxJa2_(S=屈2

故选：D.

11.B

【分析】

由题意可得QA=QB=QC,从而可得结论

【详解】

解：由题意可得，NPQA=NPQB=NPQC=90。,

因为%==公共边，

所以△PQA丝△PQB丝△PQC,

所以QA=QB=QC,

所以。为AABC的外心，

故选：B

12.C

【分析】

由线面和面面的位置关系可判断A；根据线面平行及线线的位置关系判断B；根据线面垂直

的性质定理判断C：由线面平行的性质和线面垂直的性质，可判断O.

【详解】

解：对于A：若m//a,加//力，则a//〃或a,£相交，A错；

对于B,若〃z//a,nlla,则加与〃相交、平行或异面，故8错误；

对于C,若/〃_La,nVa,则加〃〃，故C正确；

对于D,若m_La,m±n.则或〃ua,故D错误；

故选：c

13.A

【分析】

将侧面与BCC'B'展开，在展开图中，连接AC'求解即可.

【详解】

将侧面ABB'A与BCC'B'展开，如图：

将侧面ABB'A与AC'B'展开，如图:

连接AC',则AC'=J(G)2+22-2x73x2x(-y-)=V13

故选：A

14.D

【分析】

对于①，由正方体的性质可知3。〃用〃，再由线面平行的判定定理可得结论；对于②，

由正方体的性质可得AC再结合三垂直线定理可得结论；对于③，由正方体的性质

可得AC/BR,AG人CBI,从而可由线面垂直的判定定理得到结论

【详解】

由正方体的性质得，g2,所以结合线面平行的判定定理可得：3。//平面。旦2；

所以①正确.

由正方体的性质得4CJ.30,因为AC是AG在底面ABCO内的射影，所以由三垂线定

理可得：AC,1BD,所以②正确.

由正方体的性质得,由②可得AG工8。，所以AC/,同理可得

4。1人CB{,进而结合线面垂直的判定定理得到：平面C4A，所以③正确.

故选：D.

15.(1)(2)(4)

【分析】

由线线、线面、面面的位置关系，判断线、面有关命题的真假即可.

【详解】

由加，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同平面，知：

在(1)中，若a//夕，"?ua,nu0,则加与"平行或异面，错误；

在(2)中，若根//夕，p\-a,则加与e相交、平行或〃?ua,错误；

在(3)中，若mup,则由面面垂直的判定定理得aJ■尸，正确；

在(4)中，若m//a，nil(3,mlln,则a与夕相交或平行，错误.

故答案为：(1)(2)(4).

16.②③

【分析】

由线线、线面、面面的位置关系，判断线、面有关命题的真假即可.

【详解】

①若〃//a,则〃与〃的关系不确定，故错误；

②如果加_La,nlla,那么平面a内存在直线/使，mil,n//l,故故正确;

③如果a//〃，mua,那么加与£无公共点，则机//尸，故正确；

④如果加，“，mVa,nll(3,那么a与£的关系不确定，故错误；

故答案为：②③.

17.巴或里

22

【分析】

取3c的中点E，连接EM、EN,求出NMEN的值，利用余弦定理可求得线段MN的

长.

【详解】

取8c的中点E，连接EM、EN,

•.•/、E分别为AB、BC的中点，.•.ME//AC且ME=^AC=二，

22

同理可得EN〃BDREN=-BD=-,

22

:"MEN为异面直线AC与8。所成的角或其补角，则NMEN=60,或120。.

在AMEN中,EM=EN=%.

2

若NMEN=60"，则为等边三角形，此时，MN=%；

2

百

若AMEN=120°，由余弦定理可得MN=yjEM2+EN2-2EM-ENcosl200——a

2

综上所述，MN=巴或

22

故答案为：-或.

22

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异

面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形：

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,看，当所作的角为钝角时，应取它的补

角作为两条异面直线所成的角.

18.54%

【分析】

通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA，SB，SC两两垂直，则可求出外接球的半径，

进而求出球的表面积.

【详解】

设AABC的中心为G,连接SG,BG,...SG，平面ABC,

又ACLBG,BGcSG=G,...AC,平面SBG,

SBu平面S3G,•••ACSB,

又SB上CD,ACp|CD=C，，S3_L平面ACS.

•.•&4,5。＜=平面405,，58_1514,55_15。，

：S—ABC为正三棱锥，，SA,SB,SC两两垂直,

:.SA=SB=SC=30，

故外接球直径为3拒『+（山『+（3垃『=3巫，

故三棱锥S-ABC外接球的表面积为4〃xj平］=547.

故答案为：54%.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA，

SB,SC•两两垂直，即可求出半径.

19.（1）证明见解析；（2）姮.

5

【分析】

（1）连接BO与AC交于点。，根据0,£为为中点，易得。E//8。,再利用线面平行的判

定定理证明；

（2）根据（1）,由。E//B。得到NAE0异面直线AE与所成的角，然后证得

ACA.OE,得到八40£是直角三角形求解.

【详解】

（1）如图所示：

连接80与AC交于点0,

因为0,E为为中点，

所以。E/，又QEu平面ACE,BDt（z平面ACE,

所以8，//平面ACE；

（2）由（1）知。E//BR,则NAE0异面直线AE与所成的角,

在正方体A6CD-A4G2中，

因为AC，3r）,AC，02，且

所以AC_L平面与8。4，又因为OEu平面48。。，

所以ACLOE,

所以"OE是直角三角形，

设正方体的棱长为则AO=—a，OE=—a，

22

所以AE=yJOE2+AO2=—,

2

3

2近

OF

所以cosNAEO=——=一=5

AE五

2

故答案为：叵

5

【点睛】

方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已

有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.

20.（1）证明见解析；（2）

6

【分析】

（1）连接0E,利用中位线的性质得出ADJ/OE,再利用线面平行的判定定理可证得结论

成立；

（2）计算出S△明£,利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】

（1）因为四边形A8CD为矩形，且=则。为AC的中点,

又因为E为CR的中点，则OE〃AQ,

•.•人口•平面目见，OEu平面EBD,因此，AD"/平面EBD；

（2）因为。4，cr>,CD=1,=2且E为CR的中点，

所以，SADDLE=/^ACDDI=‘°'，

在长方体A3CO-A4GA中，8CL平面CQQG,

=

因此，Vc）1-BOE^B-DD,E~W^^DDtE'BC=~.

【点睛】

方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

（1）通过面面平行得到线面平行；

（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形

的性质.

21.（I）证明见解析；（2）也5.

13

【分析】

（1）利用三角形中位线定理证明0D//AB\,再用线面平行的判定定理证明ABi//平面BCiD；

（2）先判断出NODB（或其补角）为45与3。所成的角，再解三角形求出余弦值.

【详解】

(1)证明：如图，连接BC,设8C与BG相交于点O,连接0D

V四边形BCGB是平行四边形.

.••点。为BiC的中点.

•.•。为AC的中点，六。。为△A8C的中位线，：.OD//ABi.

平面BGO,ATQ平面BCQ,

.♦.A8i〃平面BCiD.

(2)解：由(1)可知，为AS与8。所成的角或其补角,

；M=4B=2,:.AB\=2yfi,0。=血，

在RSABC中，。为AC的中点，则80=46=13,

22

同理可得，08=巫，

2

在^OBD中,

【点睛】

立体几何解答题的基本结构:

(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；

(2)第二问是计算，求角或求距离(求体积通常需要先求距离)，通常可以用几何法，也可以

用向量法计算.

22.(1)证明见解析；(2)存在，点尸在棱AC上靠近点A的三等分点处.

【分析】

(1)由BCDE为菱形知CE_LBO,由中位线、平行线的性质得CEJ_0尸，根据面面垂

直的性质可得4。_1面BCDE,进而由线面垂直的判定及性质即可证CELA/7.

(2)设8。交CE于M，OF交CE于N,过M作MP//AN交AC于P,根据面面平行

的判定可证面面AO/7,由面面平行的性质有BP//面AO/7,进而可确定所得P点

即为所求，且处于棱AC上靠近点A的三等分点处.

【详解】

(1)证明：连接8。，

•.•四边形8C。七为菱形，

：.CE±BD,

-.0,F分别为BE,OE的中点，即OE//BO,

.,.CE1OF,

•••面ABE为等边三角形，且。为防的中点，

：.AO±BE,又面钻后,面^⑺石，AOu面ABE,

面ABED面3C£)E=BE,

面又CEu面BCDE,

.-.AOA.CE,又AOcOF=O,4。。尸匚面40尸，

.•.CEL面AOE,又AFu面AOF,

CELAF.

A

(2)解：设BD交CE于M，OF交CE于N,

则”为CE的中点，N为EA7的中点，

在AACE中，过点〃作砂//AN交AC于点尸，则点尸即为所求.

理由如下：

•：0,F分别为BE,。石的中点，

:.ON!IBM,ONU面PBM，BMu面PBM，

ONII面PBM，同理ANH面PBM,

ONCAN=N,ON、ANu面AON,

.•.面P8A7//面AON,即面PB”〃面AO/7,

BPu面PBM，..BP//面AOF

APNM1

■.■MP//AN,；.—=——=-,

ACNC3

故点P在棱AC上靠近点A的三等分点处.

【点睛】

关键点点睛：

(1)应用菱形、中位线、平行线的性质证线线垂直，根据面面垂直的性质、线面垂直的判

定及性质证线线垂直.

(2)利用线面平行的性质，通过作图找到满足题设要求的P点，并确定位置在线段AC靠

近点A的三等分点处.

23.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)根据中位线定理证得G////MG,再由棱柱的性质证得G”/ABC,根据平面公理可

得证；

(2)根据面面平行的判定定理的推论可得证.

【详解】

证明：(1)分别为44，4a中点，.•.G”//gG，

•.•三棱柱ABC—48cl中，fiC//B,C,,：.GH//BC

.•.5、C、H、G四点共面;

(2)・：E、F分别为AB、AC中点、，：.EF//BC,：.EF"BC"B©"GH,

又不在平面BC”G中，BCu平面BCHG,所以所//平面BCHG

又♦.♦£、G分别为三棱柱侧面平行四边形对边AB、44中点，

四边形4EBG为平行四边形，\EHBG,又4E不在平面BC”G,BGu平面8C”G

平面EFAt中有两条直线4E、EF分别与平面BCHG平行

平面EE4,〃平面BCHG.

V2

24.(I)证明见解析：(II)—L=y.

//

【分析】

(I)要证明线面平行，需证明线线平行，取8P的中点T，连接AT，7N，证明MN//AT；

(H)利用锥体体积公式，分别求两个锥体底面积和高的比值，表示体积比值.

【详解】

(I)如图，取3P的中点T，连接AT,TN.

因为N为PC的中点，所以7N〃BC,且TN」BC=2.

2

又因为4M=工4。=2,且

3

所以77V〃4M,TN=AM，即四边形AAWT为平行四边形，

所以犯〃47\

因为ATu平面巳钻，MNu平面所以MV〃平面

p

(II)设四棱锥尸—ABC。的高为〃，AD与8C间的距离为d.

ii]7

则匕=[X/zxS梯形"o=?x/(3+4)=Jd,

332o

I71AcTh1hd

।3233223

V.2

因此7=,.

【点睛】

方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是

证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式,

1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.

25.(1)证明见解析；(2)《型.

35

【分析】

(1)连接BG与印。相交于〃，连接EM,证明再由线面平行的判定定理

证明即可；

(2)证明平面A4/，平面3CG4,得出NOJ_平面BCG4,结合线面角的定义得出

NO8N即为4由与平面8CG4所成角，再由相似三角形、勾股定理、直角三角形边角关

系得出AXB与平面BCC&I所成角的正弦值.

【详解】

(1)连接BG与相交于M,连接KW

由于E，M分别是AG，BC的中点，则EM//AB

因为£Mu平面用CE,AB0平面BCE,所以4B//平面与。石.

c

(2)取BC中点尸，连接AE,Bp,则APJ_3C

因为MAJ,平面ABC，所以用ALBC

又AF,B|Au平面AB/,AFcB|A=A,所以8C_L平面

又BCu平面BCG用，所以平面•平面BCC4,过N作N。，8尸于。

因为M?u平面AB/,平面AB/c平面BCC4=53

所以NO_L平面BCC4,连接OB,则NO8N即为AB与平面BCC4所成角

与=®，AF=®，B*

设BB]=2,易用BN=《AN。+AB?

2222

RNJ42

由AON与〜△APB-ON=^-AF=二

B.F14

./八"“ONV105

所以sinNOBN=----=-------

BN35

【点睛】

关键点睛：解决第一问的关键在于由中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证

明线面平行；解决第二问