a第3章 波导传输线理论

1第3章波导传输线理论

2内容提要波导传输线及应用

波导传输线的常用分析方法及一般特性

矩形波导及其传输特性

圆波导及其传输特性同轴线及其传输特性

3.1波导传输线及应用波导传输线的结构及种类波导在微波天馈线系统的应用波导在微波器件上的应用3.1.1波导传输线的结构及种类凡是用来引导电磁波的单导体结构的传输线都可以称为波导。波导是由空心金属管构成的传输系统，根据其截面形状不同，可以分为矩形波导、圆波导、脊形波导和椭圆波导等，如图3-1所示。这类传输线上传输的波型是TE波和TM波，传输的频率是微波段的电磁波，例如厘米波和毫米波，且传输功率也比较大。由于波导横截面的尺寸与传输信号载波波长有关，因此，在微波的低频波段不采用波导来传输能量，否则波导尺寸太大。图3-1金属波导传输线的结构3.1.1波导传输线的结构及种类

3.1.2波导在微波天馈线系统的应用矩形波导和圆波导较为广泛地应用于远距离能量传输，常用波导的电参数，如表3-1和表3-2所示。矩形波导和圆波导是在微波技术中采用最多的一种波导管，如微波中继、雷达、卫星通信的天馈线部分等，其长度小于100米，如图3-2所示。而目前移动通信基站收/发机到发射天线的馈线部分大多采用轻便的射频直径为7/8英寸的中同轴电缆。

表3-1国内矩形波导电参数表（第1位B为波导，第2位J为矩形，B为扁矩形截面）型号主模频率范围/GHz内截面尺寸/mm主模衰减/（dB/m）宽边a窄边b壁厚t频率/GHz理论值/最大值BJ221.72～2.61109.2254.6122.060.00970/0.013BJ322.6～3.9572.1434.0423.120.0189/0.025BJ705.38～8.1734.8515.7991.56.460.0576/0.075BJ1008.20～12.522.8610.1619.840.110/0.143BJ18014.5～22.012.9456.477117.40.238/--BB221.72～2.61109.213.1022.060.03018/0.039BB584.64～7.0640.405.001.55.570.13066/0.170BB1008.20～12.522.865.0019.840.1931/0.2513.1.2波导在微波天馈线系统的应用

表3-2国产圆波导电参数表（第1位B为波导，第2位Y为圆形截面）型号主模频率范围/GHz内截面尺寸/mm主模衰减/（dB/m）直径壁厚t频率/GHz理论值/最大值BY222.07～2.8397.873.302.1540.0115/0.015BY302.83～3.8871.423.302.9520.0184/0.024BY403.89～5.3351.992.544.0560.0297/0.039BY565.30～7.2738.102.035.5340.0473/0.062BY767.27～9.97027.7881.657.5880.0759/0.099BY1049.97～13.720.2441.2710.420.1220/0.150BY12011.6～15.917.4151.2712.070.1524/0.150BY19018.2～24.911.1251.01518.950.3003/—3.1.2波导在微波天馈线系统的应用

图3-2微波天馈线系统的结构图3.1.2波导在微波天馈线系统的应用3.1.3波导在微波器件上的应用金属波导和同轴线（同轴波导）的另一个应用是微波谐振器和方圆波导（模式）变换器，微波谐振器，如图3-3所示。谐振器在低频电路中通常用LC回路并联构成，它的谐振频率为：图3-3各种谐振器

当要求提高谐振频率时，必须减小L和C。减小电容的措施是增大平行板距离，减小电感的措施是减少电感线圈的匝数，直到仅有一匝为止，如图3-4（b）所示；再进一步提高频率的方法是，将多个单匝线圈并联以减小电感L，如图3-4（c）所示；进一步增加电感数目，以致相连成片，形成一个封闭的中间凹进去的导体空腔如图3-4（d）所示，这就成了重入式空腔谐振器；继续把构成电容的两极拉开，则谐振频率可进一步提高，这样就形成了一个圆盒子和方盒子，如图3-4（e）所示，这是微波空腔谐振器的常用形式。3.1.3波导在微波器件上的应用

图3-4微波谐振器的演化过程3.1.3波导在微波器件上的应用

波导除了可做谐振器外，还可以做模式变换器，如图3-5所示。圆波导中TE11模的场分布与矩形波导的TE10模的场分布很相似，因此，在工程上通过将矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导，从而构成方圆波导变换器，起波导耦合器的作用。图3-5方、圆波导变换器3.1.3波导在微波器件上的应用3.2波导传输线的常用分析方法及一般特性在双线传输线理论中所讨论的是沿双线传输线传输的TEM波，而在金属波导中是不存在TEM波的。这是因为若金属波导管中存在TEM波，那么磁力线应在横截面上，而磁力线应是闭合的。根据右手螺旋规则，必有电场的纵向分量Ez，即位移电流支持磁场。若沿此闭合磁力回线对H做线积分，积分后应等于轴向电流（即移位电流）。但是，在空心波导管中根本无法形成轴向电流。因此波导管内不可能存在TEM波。3.2.1波导传输线的常用分析方法对波导传输线常用分析方法研究，不仅适用于金属波导也适用介质波导。波导是引导电磁波沿一定方向传输的系统，故又称导波系统。研究波导中导行电磁波场的分布规律和传播规律，实质上就是求解满足波导内壁边界条件的麦克斯韦方程。其方法之一，就是先如何求出电磁场中的纵向分量，然后利用纵向分量直接求出其他的横向分量，从而得到电磁场的全解。

为了求解简单，将金属波导假设为理想的波导，即规则金属波导。它具有一条无限长而且笔直的波导，其横截面的形状、尺寸、管壁结构和所用材料在整个长度上保持不变，以及填充于波导管内介质参数（

、

、

）沿纵向均匀分布，如图3-6所示。图3-6规则金属波导3.2.1波导传输线的常用分析方法

对规则金属波导，作如下假设：①波导管的内壁电导率为无穷大，即认为波导管壁是理想导体。②波导内为各向同性、线性、无损耗的均匀介质。③波导内为无源区域，波导中远离信号波源和接收设备。④波导为无限长。⑤波导内的场随时间作简谐变化。3.2.1波导传输线的常用分析方法

在工程上，应用最多的是时谐电磁场，即以一定角频率作时谐变化或正弦变化的电磁场。由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，而时谐电磁场的矢量E和H在无源空间中所满足的波动方程，通常又称为亥姆霍兹方程。在直角坐标系中，矢量波动方程可以分解为三个标量方程。在无源的充满理想介质的波导内，电磁波满足麦克斯韦方程组：（3.1）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

同时还满足矢量亥姆霍兹方程，即采用直角坐标系（x，y，z），矢量E可分解为3个分量：（3.2）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

式中，i、j、k分别为x、y、z方向的单位矢量。将上式中E、H分解式代入式（3.2），整理可得：式中的Ex、Ey、Hx、Hy、Ez和Hz都是空间坐标x、y、z的函数。式（3.3）说明，波导系统内电场和磁场的各项分量都满足标量形式亥姆霍兹方程，或称标量的波动方程。3.2.1波导传输线的常用分析方法

金属波导中E、H的求解一般步骤如下：第1步先从纵向分量的Ez和Hz的标量亥姆霍兹方程入手，采用分离变量法解出场的纵向分量Ez、Hz的常微分方程表达式。第2步利用麦克斯韦方程横向场与纵向场关系式，解出横向场Ex、Ey、Hx、Hy的表达式。第3步讨论截止特性、传输特性、场结构和主要波型3.2.1波导传输线的常用分析方法

下面简介在直角坐标系中求各场分量的求解过程。如果规则金属波导为无限长，则波导内没有反射，可将电场和磁场分解为横向（x,y）分布函数和纵向（z）传输函数之积，即先对EZ和HZ进行分解，即：（3.4-a）（3.4-b）将式（3.4-a）代入，可得：（3.5）3.2.1波导传输线的常用分析方法

在直角坐标系中，三维拉普拉斯算子展开式有

以Ez（x，y，z）=Ez为例，其满足的标量波动方程为（3.6）在圆柱坐标系中，三维拉普拉斯算子展开式有3.2.1波导传输线的常用分析方法

以Ez（r，

，z）=Ez为例，其满足的标量波动方程为（3.7）由于假设波导为无限长，且可将▽2拆分成纵向和横向两项，即（3.8）

在直角坐标中，横向二维展开式有（3.9）

在圆柱坐标中，横向二维展开式有（3.10）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

用式（3.8）代入式（3.5），则有（3.11）

由于式（3.11）的第一项中Z1（z）只与z有关，在运算中相当于是常数，故可提到符号之前，而第二项对z做两次偏微分时，Ez（x，y）也与z无关，可以看成常数，也提到符号之前，又因为Z1（z）只与z有关，因而在Z1（z）对z做两次偏微分时，可变成常微分，从而式（3.11）可简化为：3.2.1波导传输线的常用分析方法

上式左端仅是x，y的函数，而右端仅是z的函数。显然，要保证等式两端恒等，只有二者均为常数才能成立。设这个常数为将上式两端同除，整理可得：

，于是上式变为：（3.12）

（3.13）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

同理，也可得到磁场强度应满足的另两个独立的微分方程，即：（3.14）

（3.15）

从式（3.12）和式（3.13）看出横向电场和磁场分量也满足标量形式亥姆霍兹方程。如果令：

或

（3.16-a）

（3.16-b）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

从数学的观点上看，式（3.13）和式（3.15）有相同的形式，可统一写成：（3.17）

也就是说，电磁波在波导中沿z传播时，电场强度和磁场强度的传播规律是一种形式。常微分方程式（3.17）的形式和传输线方程式（2.7）相同，其通解形式为：（3.18）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

根据上述讨论，上式右端第一项表示沿+z方向传播的入射波；第二项表示沿

Z方向传播的反射波。由于研究的理想规则金属波导，又因它是无限长的，故没有反射波。这样，沿z传播方程的解应为：（3.19）

式中，

是沿+z方向描述传播情况的一个常数，称为传播常数。将式（3.19）代入式（3.4），即可得到波导中E和H以行波方式沿z方向传播解的初步形式：（3.20）

（3.21）

3.2.1波导传输线的常用分析方法

在直角坐标系中，把

展开，并将式（3.20）和式（3.21）写成分量形式代入展开式中，得：

（3.22-a）

（3.22-b）（3.22-c）（3.22-d）3.2.1波导传输线的常用分析方法

以上4个方程经简单运算，可得Ex、Hy、Ey、Hx的关系式：（3.23-a）（3.23-b）（3.23-c）（3.23-d）3.2.1波导传输线的常用分析方法

式（3.23）为横向分量与纵向分量间的关系式。只要设法解出了波导管中的纵向分量Ez、Hz，将它们代入式（3.23），即可求出场的全部横向分量。当然还需根据具体波导的边界条件，才能决定纵向场中的常数项，从而得到准确的场分量。3.2.1波导传输线的常用分析方法3.2.2波导中电磁波的一般传输特性1．截止波长截止波长是波导最重要的特性参数，这是因为波能否在波导中传输，取决于信号波长是否低于截止波长。此外，波导中可能产生许多高次模，一般仅希望传输一种模，不同模的截止波长是不同的，研究波导的截止波长对保证只传输所需模抑制高次模有着极重要的作用。由式（3.16-a）可知：式中，

是描述波沿波导轴向传播的传输常数，其意义与第2章中的

相同。

假设波导壁是理想导体，可以认为

=0，这样传输常数变为：（3.24）将式（3.24）代入式（3.16），有：（3.25）①当k2c＞k2时，

为虚数，这时

为实数，传播因子是一个沿z衰减的因子。显然，

为虚数时对应的不是沿z传输的波。或者说，这时波不能沿z向传播。3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

②当k2c＜k2时，

为实数，这时

为虚数。传播因子变为，显然，这意味着是一个沿z传播的波。从物理意义上也可看出，相位常数

本身是实数，则传播一段距离相位必落后，这是波的传输特点。③当k2c=k2时，

=0，这是决定波能否在波导中传播的分界线。由此决定的频率为截止频率，用fc表示，相应的波长为截止波长，用

c表示。即

c为:（3.26）3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

上式表明，某个模式的波若能在波导中传播，则它的工作波长小于该模式的截止波长，或工作频率大于该模式的截止频率。反之，在

>

c或f<fc时，此模式的电磁波不能沿波导传输，称为导波截止。将式（3.26）代入式（3.25），有：（3.27）式中，

为工作波长，

c为波导中某模式的截止波长。式（3.27）表明，某模式波在波导中的传播条件是：

<

c

或f>fC

3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

2．相速度Vp（波的速度）相速度与第2章中定义的一样，为波型的等相位面沿波导纵向移动的速度。其表达式可由式（3.27）可导出：（3.28）3．波导波长

P波导中某波型沿波导轴向相邻两个点相位面变化2

（一个周期T）之间的距离称为该波型的波导波长，以

P表示为：（3.29）由式（3.29）可知，波导波长大于相应介质的波长。3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

4．群速度Vg一般公式为：由式（3.28）和式（3.30）可以看出，在波导中相速度仍然比群速度大，下面通过图形原理性解释相速度Vp、群速度Vg、波导波长

P所表达的物理概念。从图3-7可以看出，波导中填充的是理想介质，则光速等于：（3.30）3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

可是，如果在波导管边上观察这个波面，则波面似乎是自Q点移至A点，从而相速度为：图3-7Vp、Vg的原理性解释3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

由式（3.29）可知：我们把波导管管壁上相邻波峰间的长度定义为波导波长。在图3-7中，这个长度就等于QA。波导波长

p为

p是与Vp相对应的波长。由于Vp是一个视在速度，所以

p属于视在波长。3.2.2波导中电磁波的一般传输特性

5．波阻抗波导中的波型阻抗简称波阻抗，定义为该波型横向电场与横向磁场之比，分为横电波的波阻抗ZTE、横磁波的波阻抗ZTM和横电磁波的波阻抗ZTEM：（单导体波导不支持TEM波）（3.33）

（3.32）

（3.31）

为介质的波阻抗，若波导管内为真空，则

=120

Ω。3.2.2波导中电磁波的一般传输特性3.3矩形波导及其传输特性矩形波导是横戴面为矩形的空心金属管，其轴线与z轴平行，如图3-8所示。a和b分别是矩形波导内壁的宽边和窄边，管壁材料通常是铜、铝或其他金属材料。图3-8矩形波导结构3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程矩形波导中只能存在TE、TM模，下面分析这两种波的场分布。1．TM波的场分量表达式对于TM波，HZ=0，由式（3.20）得由式（3.9）和式（3.12）得知Ez（x，y）直角坐标系下满足标量的亥姆霍兹方程，为：应用横截面内分离变量求解，令Ez(x,y)=X(x)Y(y)（3.34）代入式（3.34），可得两个关于X(x)和Y(y)的二阶常微分方程：

3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程将上式等式两边同除以X(x)Y(y)并移项整理，可得：要想上式成立，左边的每项必须均为常数，分别设为-k2x、和-k2y，这样上式化为两个方程：（3.36-a）

（3.36-b）

3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程得到X(x)、Y(y)的通解为：

（3.38-a）

（3.38-b）

代回式（3.35）得到Ez(x,y)的通解：

（3.39）

式中，A、B、C、D、kx、ky都是待定常数，将由矩形波导的边界条件决定。当x=0，x=a，0≤y≤b处Ez=0，代入式（3.39），可得：A［Ccoskyy+Dsinkyy］=0式中，对应的y值应在0≤y≤b的范围内变化，要使上式成立，只有A=0。同理，当y=0，y=b，0≤x≤a处Ez=0，代入式（3.39），可得：C[Acoskxx+Bsinkxx]=0类似可得：C=0，并令B，D=E0，这样式（3.39）变为：Ez(x,y)=E0sin(kxx)sin(kyy)

（3.40）

3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程再将边界条件x=0，x=a，0≤y≤b处Ez=0，代入式（3.40），有：E0sin(kxa)sin(kyy)=0

只有：sinkxa=0，

（m=1，2，3…）

（3.41-a）

同样，当y=0，y=b，0≤x≤a处Ez=0，代入式（3.35），有：E0sin(kxx)sin(kyb)=0只有：sinkyb=0，（n=1，2，3……）（3.41-b）代入式（3.37），可得：（3.42）3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程矩形波导中TM波的纵向电场，Ez（x，y，z）的表达式为：（3.43）

式中，m=0，1，2，3…，n=0，1，2，3…，常数E0由激励源来决定，将上式代入式（3.23），可得TM波其余的场分量解的表达式为：（3.44-a）

（3.44-b）

3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程（3.44-c）

（3.44-d）

（3.44-e）

（3.44-f）

式中，kc为矩形波导TM波的截止波数，显然它与波导尺寸、传导波形有关。3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程①关于波型（或模式）的概念。每一个m、n的值，就对应一组式（3.39）场分量的表达式，即在矩形波导中对应一种场结构，这里就把一种场结构称为一种波型或一种模式。而m、n分别表示沿x轴和y轴变化的半波个数。不同波型以TMmn表示，如图3-9所示。②由于m、n均可取0～∞内的正整数，因此TMmn有无穷多。当m=0或n=0时，由式（3.39）知，全部场强分量为零，故TM00、TMm0、TM0n波均不存在。③由式（3.42）可知，截止波数kC也与m、n有关，即不同的波型的kC不同或截止波长不同，这意味着它们的传输参数也各不相同。3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程

图3-9TM模的场结构3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程

2．TE波的场分量表达式对于TE波，Ez=0，由式（3.21）得由式（3.9）和式（3.14）得知Hz（x，y）直角坐标系满足标量的亥姆霍兹方程，即采用与TM波推导相同方法可求得TE波的全部场分量，其差别在于边界条件有所不同。对于TE波，其边界条件：当x=0和x=a，0≤y≤b处，Hz=0当y=0和y=b，0≤x≤a处，Hz=03.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程

最后得到TE波的场分量表达式如下：（3.45-a）

（3.45-b）

（3.45-c）

（3.45-d）

（3.45-e）

（3.45-f）

3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程

从TE波的特点来看，和TM波一样，m、n不同，电磁场的结构就不同，即电磁场（电磁波）的型式不同，如图3-10所示。不同波型用TEmn表示，若m、n同时为零时，所有场强分量为零，故矩形波导中不存在TE00波。但如m及n之一为零，则场强的一部分为零，因此TEm0、TE0n和TEmn波都能够在矩形波导中存在。TEmn波中的m、n含义与TMmn波类似，m、n表明的是场强沿x、y的方向变化的半波个数，即最大值的个数。每一组（m、n）值代表一个模式，各模式有自己独立的场分布。3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程

图3-10TE波的场结构3.3.1矩形波导中TE、TM波的场方程3.3.2矩形波导的传输特性1．截止波长

c不是任何模式的电磁波都能在波导中传播的，当波导尺寸给定以后，只有工作频率高于某模式的截止频率（或工作波长低于某模式的截止波长），该模式才能在其中传播。由式（3.42）可得矩形波导中TEmn和TMmn模的截止波数均为：结合式（3.26）,故截止波长为：（3.46）

由式（3.46）看出，在矩形波导中，不同的模式，有不同的n、m对应，有不同的截止波长，其中有一个最长的截止波长。在条件下，当m=1，n=0时（TE10模），它的截止波长为最长即：截止频率fc可写为：

（3.47）TE10波称为主模或基模，又称低阶模。其他模式都为高次模。3.3.2矩形波导的传输特性

图3-11给出了（标准波导BJ-32）波导在a=7.2cm和b=3.4cm时，各模式截止波长的分布图。其中TE10模的

c值最大，称为主模或最低模，其余的统称为高次模。图3-11尺寸固定的波导各模式截止波长分布图3.3.2矩形波导的传输特性

如果工作波长选得比较合适（或者在工作波长固定时，波导管的截面尺寸选得比较恰当），此时，波导中只有主模能满足传输条件，别的导模都不能沿着波导管传输，则称为“单模传输”。在工程应用上几乎毫无例外地工作在单模传输状态，其原因是不同的导模传输速度不同，从而使同一信号抵达接收端出现时延差，或者说，产生了失真。为了保证通信质量，对通信系统来说，不希望出现多模传输。实现单模传输的方法可由图3-7说明，图中主模TE10截止为14.4cm（即2），第一个高次模TE20截止波长为7.2cm（即）。若只允许传输一种模（即TE10模），在条件下，则有单模传输条件为<

c<2a

3.3.2矩形波导的传输特性

2．相速度Vp和波导波长

p在波导中，除了截止波长

c外，还有一些其他描述电磁波传输的参数，如波导波长

p、相速度Vp与群速度Vg等。由式（3.28）可得矩形波导的相速度Vp为（3.48）

由式（3.29）可得矩形波导的波导波长

p（3.49）

从式（3.48）和式（3.49）可以看出，矩形波导中相速度大于光速，波导波长大于相应介质中的波长。3.3.2矩形波导的传输特性

3．群速度Vg由式（3.30）可得矩形波导的群速度Vg为：4．波阻抗由式（3.31）和式（2.32）可得矩形波导中的波阻抗。横电波的波阻抗ZTE和横磁波的波阻抗ZTM：（3.50）

（3.51）

（3.52）

3.3.2矩形波导的传输特性

（1）TE10模的场分布将m=1，n=0，

cTE10=2a和kc=

/a代入式（3.45），得：3.3.2矩形波导的传输特性

（2）波导波长、相速度群速度与波阻抗TE10模的截止波长

c、相移常数

、波导波长

p、相速Vp、群速Vg和波阻抗Z分别为：3.3.2矩形波导的传输特性3.4圆波导及其传输特性规则金属波导除了矩形波导外，常用的还有圆波导，其结构如图3-12所示。圆波导也只能传输TE波和TM波，其分析方法与矩形波导类似。只是由于横截面形状不同，采用的是圆柱坐标系（r、

、z）。掌握圆波导的分析方法，也有助于对光导纤维的分析和理解图3-12金属圆波导示意图

对于圆波导，利用圆柱坐标系r、

、z最方便，并且使z轴与管轴一致，如图3-12所示。圆柱坐标下E和H的场分量为Er、、Ez、Hr、、Hz，它们都是r、

、z的函数。由式（3.10）得知横向分量Ez（r，

）和Hz（r，

）也满足标量的亥姆霍兹方程，即（3.53）

（3.54）

3.4圆波导及其传输特性3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程1．TM波的场分量表达式对于TM波，Hz=0，而应用横向分离变量法，即

（3.55-a）

（3.55-b）

式中，R(r)只是变量r的函数，Θ(

)只是变量

的函数。由式（3.53）可得Ez（r,

）的标量亥姆霍兹方程，即

“拆分”为两个常微分方程如下：

整理后变为：

（3.56）

（3.57）

3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

根据波导中心处Ez（r，

，z）场为有限值的要求，A4=0，因此有（（E0=Am

A3

A））（3.58）

（3.59-a）

得到圆波导中TM波的截止波长为：

（3.59-b）

3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

圆波导中TM波的截止波长决定于m阶第一类贝塞尔函数n个根的值，这些

mn值可从图3-13（a）取得，将

mn值代入式（3.54-b）计算，得到表3.3所示的一些TM波型的截止波长值。表3-3TM波的截止波长波型

mn

C波型

mn

CTM01TM11TM21TM022.4053.8325.1355.5202.62a1.64a1.22a1.14aTM12TM22TM03TM137.0168.4178.65010.1730.90a0.75a0.72a0.62a3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

利用式（3.22）由麦克斯韦方程在圆柱坐标系中展开，可求出TM模（波）式的全部横向分量，进而得到TM波的所有的场分量表示式为（3.60-a）

（3.60-b）

（3.60-c）

（3.60-d）

（3.60-e）

（3.60-f）

3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

图3-13m级贝塞尔函数Jm(x)、和Nm(x)曲线3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

2．TE波的场分量表达式对于TE波，EZ=0，二维函数满足标量亥姆霍兹方程，所以其解的形式与式（3.58）相同，即再由圆波导的边界条件确定常数kc，在波导边界上，r=a处，有HZ=0。从式（3.61）得：（3.61）

于是得到圆波导中TE波的截止波长为（3.62-a）

（3.62-b）

3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

vmn值可以从图3-13（b）中取得，表3.4列出了一些TE波的各种模式（波型）的截止波长值。表3.4TE波的各种模式的截止波长模式

mn

C模式

mn

CTE11TE21TE01TE311.8413.0543.8324.2013.41a2.06a1.64a1.50aTE12TE22TE02TE135.3326.7057.0168.5361.18a0.94a0.90a0.74a3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程

利用式（3.23）由麦克斯韦方程在圆柱坐标系中展开，可求出TE波的全部横向分量，进而得到TE波的所有的场分量表示式为（3.63-a）（3.63-b）（3.63-c）（3.63-d）（3.63-e）（3.63-f）

3.4.1圆波导中TE、TM波的场方程3.4.2圆波导中电磁波的传输特性

1．截止波长

c由式（3.59）可分别得到圆波导TMmn、TEmn波的截止波长为：

根据上式可以计算出TMmn、TEmn波的截止波长，图3-14绘出了一些圆波导中各模式用半径来表示的截止波长的分布图。从图可以看出，在所有模式中，TE11模的截止波长最长，为3.41，是圆波导中的最低次（主）模。

在波导中单模传输的条件是：2.62a＜

＜3.41a

（3.64）

图3-14圆波导中各模式截止波长的分布图3.4.2圆波导中电磁波的传输特性

在圆波导中模式简并有两种：①尽管TE0n模与TM1n模的场结构不同，但它们的截止波长却相同。也就是说它们在波导中出现的条件是相同的（要么同时出现，要么同时消失），好像是一个模式一样，这就叫简并。②因为各场分量表达式中有cosm

和sinm

两部分，这两部分场分布模式中的m、n和场结构在形式是完全相同的，就好像是一个模式一样，只是极化面旋转90°而已，所以这种情况也叫简并，并称为极化简并。因此，圆波导中除了不同模式间存在简并外，而且每种TEmn或TMmn模本身都存在着这种简并现象。3.4.2圆波导中电磁波的传输特性

2．波导波长

p相速度Vp和速度Vg波导波长

p、相速度Vp、速度度Vg和波阻抗ZTM、ZTE与矩形波导相同如式（3.48）～式（3.50），这里不再重复。3.4.2圆波导中电磁波的传输特性

3.5同轴线及其传输特性同轴线是宽频带传输线，它既可用于传输低频信号又可用于传输高频信号，它既可传输TEM波，又能传输高次模，故本节采用“场”理论来分析同轴线传输波型及传输性能，进而研究同轴线的尺寸选择。3.5.1同轴线