2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》

-、单选题（本大题共12小题，共60分）

1.（5分）若6入=（一5,4）,&=（7,9）,向量B同向的单位向量坐标是（）

A4一£，一》勺

C.（一孩涓）D.（||,一看）

2.（5分）在四边形ABCD中，若B+cB=6,ACBD=0,则四边形为（）

A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

3.（5分）如图，在AABC中，AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点，则。

A.4B与力C共线B.DE与CB共线

c.与兄1相等D.G与面）相等

4.(5分)已知四边形ABCD为平行四边形，其中4(5,-1),8(—1,7),C(l,2),则顶点

。的坐标为()

A.(-7,6)B.(7,6)C.(6,7)D.(7,-6)

5.(5分)已知4=(一3,m),b=(4,-1),^a//(a-2b),则实数m的值为。

3333

A.-B.--C.-D.--

7744

6.(5分)已知向量a,b不共线，c=ka+b,(kWR),d=Q—b如果c〃d那么()

A.k=-1且京与d反向B.k=1且"与d反向

C.k=一1且"与三同向D.fc=1且会与1同向

7.(5分)设向量卜+b=V20,a-h=4,则a—力=()

A.V2B.2V3C.2D.V6

8.(5分)下列命题中，正确的个数是\((\quad)\)

①单位向量都相等；

②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若\(\overrightarrow{a}\),\(\overset{\rightarrow}{b}\)满足

\(|\overrightarrow{a}|>|\overset{\rightarrow}{b}|\).§.\(\overrightarrow{a}\)与

\(\overset{\rightarrow}{b}\)同向,则\(\overrightarrow{a}>\overset{\rightarrow}{b}\)；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合;

⑤若\(\oveirightarrow{a}/\!Aoversetf\1ightaiT0w}{b}\),

\(\overset{\rightarrow}{b}A!Aoverrightarrow{c}\),则

\(\overrightarrow{a}/\!Aoverrightarrow{c}.\)

A.0个B.1个C.2个D.3个

9.（5分）已知单位向量的夹角为60。，若向量"满足后一2%+3占43,则的最

大值为（）

A.1+yB.yC.1+V3D.V3

10.（5分）已知3=（4,2）,则与热方向相反的单位向量的坐标为（）

A.（2,1）B.（-2,-1）

C.存普）D.（一等,一今

11.（5分）平面内/ABC及一点。满足竺”=坐，至=能空，则点。是4ABe的（

|AB||AC||CA||CB|

）

A.重心B.垂心C.内心D.外心

12.（5分）己知向量|Q|=1,|b|=8，a+b=（-1,1）,则|2a+b|=（）

A.3B.V3C.11D.V1T

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

13.（5分）在4ABe中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且asiaAcosC+

csin4cos4=卜，。是AC的中点，且cosB=誓，BD=V26,贝UZABC的最短边的边长

为.

14.（5分）己知单位向量；、b满足G+b）=l,则日+b|=.

15.（5分）已知四边形ABCD,AC是BD的垂直平分线，垂足为E,。为四边形ABCD外

一点，设|&|=5,|0D|=3,则（（A+&）.（&-6b））=.

R

16.（5分）已知面=2,\b\=4,a-b=（-4,3）,记［与了夹角为仇则cos。的值为

17.（5分）已知平面向量b,|a|=2,b=（1,V3）,若|Z-b|=2次，贝值与b的夹

角的余弦值为.

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

18.（12分）如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,Z.BAC=60°,DB=2AD,CE

2EB.

(1)设成在后上的投影向量为4盛，求;I的值;

(2)用向量易，晶表示向量法，并求|法

19.(12分)判断下列结论是否正确，并说明理由.

(1)向量:工相等的充要条件是后一》=0

(2)平行的单位向量一定相等.

20.(12分)已知:与6共线，且向=1,荷=2,求乙女

21.(12分)己知2,b,工是共面的三个向量，其中2=(1,2),荷=百，囱=2四且

会与；反向.

(1)求-a\；

(2)若a+2b与2a—3b垂直，求Q•(b+c)的值.

22.(12分)如图，已知△4BC的面积为14,D,E分别为边48,上的点，且

AD:DB=BE:EC=2:1,4E与CD交于点P.设存在/I和〃使晶=羌6，PD=fiCD,

TTTT

AB=a,BC=b.

(1)求4及〃的值；

(2)用亡2表示而；

(3)求4ZMC的面积.

23.(12分)在四边形力BCD中，已知&=法，求证：四边形ABCD为平行四边形.

四、多选题(本大题共5小题，共25分)

24.(5分)对于任意两个向量2,b,下列命题中正确的是0

A.|a+匕|《|a|+闻B.|a-b|<|a|—|b|

C.若则以>bD.|a"b|<|a|1|6|

25.(5分)下列命题中正确的是()

A.J/b□存在唯一的实数；I£R,使得b=亮；

B.e为单位向量,且a//e,则ai|a|e；

C.aa=\a\z；

D.若a-b=b,c且b40,则a=c

26.（5分）对于任意向量Kb,c,下列命题正确的是0

A.若彳〃b,b//c,贝丘〃c

B.若a-b=b-c,则a-c

C.若。=匕，b=c,则a=c

D.若日一1|=\a+b\,WJab=0

27.（5分）在正方体4BCD-AiBiGDi中，下列结论正确的是。

A.四边形ABCWi的面积为|几||应\|

B.M）I与的夹角为60。

C.Q41i+A71+力1力2=3aAi

D.A：C.-痛力=0

28.（5分）下列说法中正确的是0

A.若n=晶，则4B,C,。四点构成一个平行四边形

B.若a〃b,b//c,则Z〃c

C.互为相反向量的两个向量模相等

£>.NQ+QP+MN-MP=0

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：6k=(-5,4),OB=(7,9),向量晶=(12,5).

|AB|=V122+52=13.

向量/同向的单位向量坐标是：表(12,5)=GI，》

故选：B.

求出向量或，然后求出模，即可推出单位向量.

此题主要考查向量的运算法则，坐标运算，单位向量的求法，考查计算能力.

2.【答案】D;

【解析】

此题主要考查了向量在几何中的应用，以及数量积为0与两向量垂直的关系，同时考查

了分析问题的能力，属于基础题.

解：•.一AC.-BD=0,AC1BD,

又/+8)=0,

所以AB//CD且AB=CD,

所以四边形为菱形，

故选0.

3.【答案】B;

【解析】解：因为4B与ZC不平行，所以几与几不共线，4错，

因为0,E分别是48,4c的中点，则0E与BC平行，故法与己共线，B正确，

因为CD与4E不平行，所以2)与族不相等，。错，

因为筋=DB=-BD,则。错.

故选：B.

利用平面向量共线定理判断ABC,利用平面向量的相等判断D.

此题主要考查了平面向量共线定理，平面向量的相等，属于基础题.

4.【答案】D;

【解析】此题主要考查向量相等的概念，平面向量的运算，属于基础题.

设D(x,y),由八=品，可得(x-5,y+l)=(2,-5),可得结果.

解：设。(x,y),由6b=应:，得(x-5,y+l)=(2,-5),

A%=7,y=-6,・••D(7,-6).

故选D

5.【答案】C;

【解析】解：已知及=(-3,?n),b=(4,-1),

所以：ct—2b=(-11,tn+2),

由于联〃G-2b),

所以m=I；

故选：c.

直接利用向量的线性运算，向量的坐标运算的应用求出结果.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

6.【答案】A;

【解析】解：•••c//d,:.c=ki,

SfJka+b=X(a-b),得｛：二&，

解得卜=九=一1,

TTT—TT

:.c=—a+b=—(a—b)=­d,

故选A.

根据条件和向量共线的等价条件得，"=入京把条件代入利用向量相等列出方程，求

出k和入的值即可.

该题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题.

7.【答案】C:

【解析】

此题主要考查了向量的模的求法，属于基础题.

TT2TTT、

关键是利用a—b=|a+b/-40verrightarrowa-b求值.

解：因为+b=V20,a-b=4,

|->727

=a+b—40verrightarrowa-b=20—16=4,

a-b=2,

故选C.

8.【答案】A:

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目.

根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【解答】

解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；

对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误：

对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；

对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，

它们的起点和终点不一定相同，故④错误；

对于⑤，匕=0时，a〃b,b//c,贝丘与会不一定平行.

综上，以上正确的命题个数是0.

故选4

9.【答案】A;

【解析】解：由题意，设单位向量；=(1,0),b=(cos60°,sin60°)=He=

(x,y)；

则a—2b+3c=(3x,3y—V3),

,->TT

由|a—2b+3c|43,

•••J(3x)2+(3y-V3)2<3,

化简得/+(y-f)24l,

它表示圆心为C(0,m)，半径为1的圆，如图所小;

由图形知，日|的最大值为1+

故选：A.

由题意设单位向量3=(1,0),b=(cos60。屈n60。)，c=(x,y)；由|a—2b+3c|43求

出％、y的关系式，利用数形结合求出|占的最大值.

该题考查了平面向量的模长公式应用问题，也考查了数形结合应用思想，是中档题.

10.【答案】D;

【解析】

该题考查相反向量的概念，向量坐标的数乘运算，以及单位向量的概念，可求出-热的

坐标，并求出面=2遮，这样根据单位向量的概念及向量坐标的数乘运算即可得出正

确选项.

解:-a=(-4,-2),且同=2后

二面=(一三，一三).

故选D.

11.【答案】C:

【解析】解：平面内ZABC及一点0满足嘤=竺学，可得R•(学■一空)=0,所以

|AB||AC||AB||AC|

。在NCAB的平分线上，

-♦—»

里学=空，可得：&).(?一半)=0,所以。在NACB的平分线上，

|CA||CB||CA||CB|

则点。是4ABe的内心.

故选：C.

利用表达式，转化推出。所在的位置，得到结果即可.

该题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是

解答该题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

12.【答案】B;

【解析】解："a+b=(-1,1).

二|a+b|=V2,

•••(a+b)2=|a+6|2=2,HP|a|2+2a-b+\b\2=2,

TT

***1+2Q,Z?+3=2,

TT

**.ci,b——1»

-12a4-h|=J(2a+b)2=J41al24-4a-ft4-\b\2=J4x1+4x(-1)+3=V3.

故选：B.

易知向+&=VL两边平方后，可求得:工=一1,再由|2^+否=J(2；+1)2,展

开运算，即可得解.

本题考查平面向量的混合运算，模长的求法，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的

关键，考查运算求解能力，属于基础题.

13.【答案】2V2;

【解析】解：在4ABe中，asinAcosC+csinAcosA=1c,

由正弦定理可得：

sinAsirh4cosc+sinCsin/cosA=-sinC,

3

即为sinA(sia4cosc+cosAsinC)

=sin/lsin(i4+C)=sinZsinB

=/1-~sinTl=-sin/l=-sinC,

7553

由正弦定理可得a=9c,

。是AC的中点，且cosB=等，

可得而=3战+余：)，

T——T

BPWBD2=J(BA2+BC2+20verrightarrowBA•BC)

即为26=-(c2+-c2+2c-—c•—),

4'9357

解得c=6,a=2A/5,

由余弦定理可得肝=a2+c2—2accosB

=20+36-2475x^5=8,

解得b=2V2,

4ABe的最短边的边长为2a.

故答案为：2&.

运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，可得a=苧c,再由向量中

点形式，以及向量的平方即为模的平方，计算可得a,c,再由余弦定理计算可得b,进

而得到所求最小值.

此题主要考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

14.【答案】V2;

【解析】解：a.(a+b)=a2+a./?=1+a.b=1,

所以a.b=0,

T-/TTTr

则|a+b\=+20verrightarrowa.b+\b\2=V1+0+1=鱼，

故答案为：V2.

根据条件可求得；工=0,进而利用向量模的定义即可求得答案.

此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量模的求法，属于中档题.

15.【答案】16;

【解析】

此题主要考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反

向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算.根据条件，AC垂直平分

线段BD,从而得出言\.晶=EE品=0,DE+BE=0,而6\=&+/+盘，

OC=OD+DE+EC,且&-6b=而，代入(A+&).(&-6B)进行向量加法

和数量积的运算便可求出答案.

解：：AC是BD的垂直平分线；

•••EA.DB=EC.DB=0,DE+BE=0；

/.(OA+OC).(OB-OD)

=(OB+BE+EA+OD+DE+EC).E)B

=(OB+OD).(OB-OD)+(EA+EC).DB

—>T

=OB2-OD2

=25-9

=16.

故答案为16.

16.【答案】—。

16

【解析】

此题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角与数量积，属于基础题.

由题意，先计算而一b|=5,再由而一b|二-1)2=

Ja2—20verrightarrowa-b+b2i+算可得.

解：因为之一力=（一4,3）,所以日一&=5,

因为=J（a—b^2=Ja2—20verrightarrowa-h4-62,

又|a|=2,\b\=4,

所以25=44-16-16cos0,所以cos0=——.

故答案为-橙.

16

17.【答案】-i;

【解析】

此题主要考查向量的夹角、向量的模、数量积的求法，难度不大.

先求出向量］的模，再将式子日-=2百左右两边平方，从而得到之工，再利用［与］

-»T

的夹角的余弦值公式”便可求得最后结果.

同网

解：•・,b=(1,遥)，・•・b=2.

若|a-b\=2V3,

TT|T|2T2T

则|Q-8|2=Q+b-20verrightarrowa.b

T

=4+4—20verrightarrowa.b=12

T—

・•・a.b=—2,

_>T—

则；与b的夹角的余弦值为"=三=T

|a||d|2x22

故答案为一右

18.【答案】解：(1)版在扇上的投影向量为李・|而IcosNBAC

\AC\

=2x—,—AC——AC>.•.a=—•

2333

TTT2T12T1TT11

(2)DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333、733

|DEI2=DE2=^AB+AC)2=*4+2耘.扇+9)

=/13+2x2x3X}=学

•••I法|=手.；

【解析】

(1)根据投影向量的计算公式求解；

(2)先结合平面向量的线性运算法则用易,£;表示出而，然后平方后求模即可.

此题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算性质，属于中档题.

19.【答案】解：(1)正确，\a—b\=0的充要条件是Q—6=0,从而a=b

(2)错误，平行单位向量方向可能相反

【解析】略

20.【答案】解:若a与b同向共线，则Qb=\a\-\b\-cos0°=1x2x1=2；

若热与b反向共线，则展-b=\a\•\b\•cosl80°=1x2x(-1)=-2.

故日)为2或一2.；

【解析】此题主要考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.

根据平面向量数量积的定义，分清楚两个向量共线分为“同向共线”和“反向共线”两种

情形，即可得解.

21.【答案】解：・・・3=(1,2),|"|=2通且K与［反向，

***C—入Q,入V0,

・•・|c|=|Xa|,

2V5=|V5X|,

解得大=—2,

:.c=-2(1,2)=(-2,-4),

—>—>

c—a=(-3,—6),

・・・丘=代3)2+(-6)2=3V5.

(2)va+2b与2a—3b垂直，

・•・(Q+2b)-(2a-3b)=2a2—6b24-a-b=0,

TT

Aah=6x3—2x5=8,

TT->TT—>—>

a■(b+c)=a-b+a-c

=8+(1,2)x(—2,-4)——2.;

【解析】该题考查了向量的模、向量的数量积和向量的坐标运算，属于中档题.

(1)先求出向量"的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，

(2)根据向量的垂直求出；b=8,再根据向量的数量积即可求出.

22.【答案】

解：⑴•••6=工BC=b,

T2TT1——

则4E=Q+gb,DC=-a4-h,

TTt?TTT1—T

AP=XAE=A(a+-6),DP=RDC=jU(-a+b),

AP=AD+DP=-AB+DP,

3

2T1T—>O

BP-a+^(-a+b)=A(a+-b),

A=-4--jU4

.••(323,解得a=3,〃=J

u=-X

产3

TT—t6T2TI—4T

(2)BP=BA4~AP=—CL+—(Q+§匕)=—+7"

⑶设^ABC底边4B上的高为力四，△P/B底边AB上的高为九「

,ea=|P0|：|CD|=〃=],S&PAB—吃S&ABC~8，

hAB77

设^ABC^WLPBC底边BC上的高分另|J为/IBG/12，

兽=I函:&I=1—4年,SAPBC=24BC=2.

Me77

•'•S^PAC=4.;

【解析】

本题考查向量数乘的运算和儿何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比.

⑴根据6用基底最1表示出前，再根据G=筋+而=:筋+茄，用基

底左：表示出G,这两种表示方式是相同的，由此求出;I及〃；

(2)把丽用晶+G来表示，把(1)中的结果代入可得；

⑶根据面积之比等于对应的向量的长度比求出APAB和APBC的面积，用A4BC的面

积减去△P48和4PBC的面积即得△P4C的面积.

vAB=DC,

AB//DCSL\AB\=\DC\

二四边形ABCD为平行四边形.

【解析】此题主要考查向量的数量积以及四边形的判断，属于基础题.

利用已知条件判断四边形的形状即可.

24.【答案】AD;

【解析】

考查平面向量有关概念等知识.

解：4选项，①当向量；与力不共线时，

在平面内任取一点4作n=a,BC=b,则晶=a+b,如图所示,

根据三角形两边之和大于第三边可得向+&<向+\b\,

②当向量或与b方向相同时:\a+b\=|a|+|6|,

当向量■与b方向相反时，值+b|=|向一|b||<向+闻,

综上可知而+|4而+值|,故4选项正确；

B选项,①若向<|b|,则向一|b|<0,又向一b|>0,所以向一|b|<而-b|,

②若面>说,当向量之与，不共线时,

根据三角形两边之差小于第三边可得向-山<0-1］,

当向量之与b方向相同时，由一|0=自一匕|,

当向量：与b方向相反时,|a|-|b|<|a|+|6|=|a-h|,

综上可知而一|b|4后-b|,故B选项错误.

C选项，向量不能比较大小，故C选项错误；

。选项，\a-b\=|a||b||cos<a,b>|<|a||b|,故。选项正确；

25.【答案】BC;

【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的概念和性质，属于基础题.

根据平面向量的共线定理，平行向量与单位向量，平面向量的数量积，相等向量的概

念分别判断即可.

【解答】

解：4中，当会为零向量时结论不成立，所以4错；

当；为零向量时结论成立，当［不为零向量时，且表示与向量［同向的单位向量，结论