高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题34(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（34）

一、单项选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1.梯形ABCD中，AD//BC,^DAB=120°,AC1BC,BC=2AD=2,现将△ABC沿AC折起，

使得二面角B-4C-D的大小为90。，若A,B,C,。四点在同一个球面上，则该球的表面积为

（）

A.等B.子C.1771D.哼^

2.矩形ABCQ中，AB=3,BC=2,E在上，且CE=1,现沿BE,AE将ABCE,△ADE折

起，使得点C落在。E上，设此时A£>,BC与平面ABE所成的角分别是为a,0,则

DEC

A.Q<2/?B.a>2夕C.sina<2sin/?D.sina>2sin/?

3.正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC,M为棱尸A上的动点,令a为3M与AC所成的角，?为

BM与底面ABC所成的角，y为二面角M—AC—B所成的角,则（）

A.2cosa>cos/?B.2cosa<cos夕C.2cosy>cos/3D.2cosy<cosy?

4.已知球O是正三棱锥A-BCD（底面BCD为正三角形，顶点4在底面BCD的射影为底面中心）的

外接球，BC=3,4B=2b，点E在线段3。上，且BD=6BE,过点E作球。的截面，则所

得截面圆面积的取值范围是（）

A.洋,4兀]B.%47rlC.旨47rD.[W，4?r

5.在正方体ABCD—AiBigDi中，N为底面ABCO的中心，P为线段A】Di

上的动点（不包括两个端点），M为线段4P的中点，则下列判断错误的是

（）

A.CM>PN

B.CM与PN是异面直线

C.平面PAN，平面BDD1B1

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

二、多项选择题（本大题共7小题，共28.0分）

6.如图，在AABC中，乙ABC=90°,AB=1,BC=2,£）为线段BC（端点除外）上一动点现将△4BD

沿线段AZ）折起至△48'。，使二面角夕一40-。的大小为120。，则在点。的移动过程中，下列

说法正确的是（）

A.存在点D,使得CB'1AB

B.点B'在平面48c上的投影轨迹是一段圆弧

C.BZ与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是（¥，1）

D.线段CB'的最小值是百

D.

7.如图，在棱长为1的正方体4BCD—4B1C1D1中，P为线段为劣上一动一

4，

点（包括端点），则以下结论正确的有|AJ/V［^

A.三棱锥P-A/D的体积为定值：

B.过点P平行于平面4BD的平面被正方体力BCD-48传1。1截得的多-----^B

边形的面积为立

2

C.直线Pa与平面4BD所成角的正弦值的范围为［日,当］

D.当点P与品重合时，三棱锥P—&BD的外接球的体积为管

8..如图，在棱长为1的正方体48。/）-41816。1中，P为线段BQ上的动点，下列说法正确的是

（）

A.对任意点P,OP〃平面A6Di

B.三棱锥P-&DD1的体积为;

C.线段。尸长度的最小值为华

2

D.存在点P,使得OP与平面40D14所成角的大小为:

9.在正方体48co-4181cmi中，=4,E,尸分别为8%CD的中点，尸是8cl上的动点，则（）

_____________Bi

5

\

力

/

D

A.ArF1平面4。送

B.平面ADiE截正方体4BCD-4$iGDi的截面面积为18

C.三棱锥P-4D1E的体积与尸点的位置有关

D.过AE作正方体4BC。-4/iCiDi的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为57r

10.如图，ABCD-AiBiJDi为正方体，下列结论中正确的是（）.

A.AG1平面B/D1D；

B.BDJ平面AC%

C.BA与底面BCCiB］所成角的正切值是企；

D.过点A1与异面直线A。与CBi成60。角的直线有2条.

11.已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形488是边长为3企的正,限-----

方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意

转动，则正方体的棱长可以为/\

TT-----------

A.立

2

B.1

C.V2

D.V3

12.在正三棱锥4-BCD中，侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CZ）的中点，则下列

命题正确的是（）

A.EF与AO所成角的正切值为|

B.EF与AD所成角的正切值为|

C.AB与面ACD所成角的余弦值为心

12

D.AB与面ACD所成角的余弦值为g

三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

13.已知半径为旧的球面上有三点A、B、C,，球心为O,二面角C-ABO的大小为60。，

当直线OC与平面OAB所成角最大时，三棱锥O-的体积为.

14.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，

中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109。28',这样的设计含有深

刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有〈谈谈与蜂房结构有关的数

学问题〉.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-AbC'DE的三个顶点A,C,

E处分别用平面BFM,平面BDO,平面OFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,0-BCD,N-DEF,

平面平面BOO,平面DFN交于点P,就形成了蜂巢的结构.如图，设平面P80。与正

六边形底面所成的二面角的大小为。，则cos。=.（用含tm54"4’的代数式表示）

15.棱长均为1，”的正三棱柱形透明封闭容器盛有水，当侧面水平位置时，液面高为/un（

如图1）；当转动容器至截面4BC水平位置时，水恰好充满三棱锥4-&BC（如图2）,则

16.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCZ）是边长为2的菱形=60°,PA=PD,AAPD=90°,

平面P4。_L平面ABCC,。点是APBC内的一个动点（含边界），且满足OQ_LAC,则。点所形成

的轨迹长度是.

17.如图已知圆锥SO的母线SA的长度为2,一只蚂蚁从8点沿着圆锥侧面爬工

回点B的最短距离为2,则圆锥S。的底面半径为一./\

A

18.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A,B距离之比为常数；1(2>0且;1)的点

的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题：如

图，在长方体4BCD-AiBiGDi中，48=240=2441=6,点E在棱4B上，BE=2AE,动

点尸满足BP=gPE。当点P在底面ABC。内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为____;当

点P在底面ABCQ内运动且到A8边距离最大时，则三棱锥P外接球的表面积为

阿波罗尼奥斯

19.(1)已知两条直线〃?、n,两个平面a、0,给出F面四个命题：(T)m//n,m1a=>n1

a；②a〃/7ua,nu/?=>m〃n；③m//7i,?n〃a=n〃a；④a〃夕,m〃n,m_La=n_L/?.其

中正确命题的序号是.

(2)在四棱锥P-4BCD中，P4_L底面ABC。，四边形ABC。是正方形，且P4=AB.那么二面角

P-CD-4的大小为.

(3)如图，设正三棱锥P-4BC的侧棱长为/,ZAPB3(),E,F分别是8P,CP上的点,

则AAEF周长的最小值为

p

20.已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了

水，另将半径为r(r>0)的小球0'缓慢放入容器中，若小球。'能完全

淹入水里，则r的取值范围是.

四、解答题(本大题共9小题，共108.0分)

21.如图1,已知等边△ABC的边长为3,点分别是边AB,4c上的点，且=2K4,4V=2NC.

如图2,将△?1"可沿MN折起到△A'MN的位置.

(1)求证：平面4BM1平面BCNM;

(2)给出三个条件：①4M1BC-,②二面角4-MN-C大小为60。；③4到平面BCNM的距离

从中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答.

在线段AC上是否存在一点P,使三棱锥八PMB的体积龙?若存在，求出靠的值;若不存在,

请说明理由.

22.如图所示，在四棱锥P-ABCO中，底面四边形A8CO是菱形，ACHBD=0,△PAC是边长为

2的等边三角形，PB=PD=V6.AP=4AF

(1)求证：P01底面ABCD；

(2)求直线CP与平面8。尸所成角的大小；

(3)在线段尸8上是否存在一点M,使得CM〃平面6CF?如果存在，求瞿的值，如果不存在,

Dr

请说明理由

23.已知三棱柱-ABC^,AB=AC=近，BC=BBX=2,点M为Cg的中点，B1N=2NA.

(1)求证：&G〃平面BMN；

(2)条件①：直线与平面8B1GC所成的角为30。,

条件②：LBiBC为锐角,三棱锥位-4BC的体积为苧.

在以上两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：

若平面平面BBiGC,,求平面BMN与平面BBiGC所成的锐二面角的余弦值.

(注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

24.如图，在四棱锥S—ABC。中，S.4,底面ABCO,底面ABC。是正方形，点〃是S。的中点,

AN±SC，且交SC于点N,SA=AD.

⑴求证：SC1MN；

(2)若S4=2,求三棱锥M-4NC的体积.

25.如图1,在AMBC中，BM=2BC=4,BM1BC,4。别为棱BM,MC的中点，将△M4D沿

AO折起到APAD的位置，使/P4B=90。，如图2,连结PB,PC.

(I)求证：平面PAD1平面ABCD；

(II)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；

(皿)线段PC上是否存在一点G,使二面角G-4D-P的余弦值为二回？若存在，求出？的值;

10PC

若不存在，请说明理由.

26.试在①PC1BD,②PC14B,③24=PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得

PO，面A8CZ)成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱椎P-4BCC中，

ACQBD=0,底面ABC。为菱形，若,且N4BC=60。，异面直线尸B与C。所成的

角为60°,求二面角A—PB-C的余弦值.

27.如图，在底面是菱形的四棱柱4BCC-4B1GD1中，乙4BC=60°,441=AC=2,==

2vL点E在&O上.

⑴证明：A&J■平面ABCD;

(2)当黑为何值时，&B〃平面EAC,并求出此时直线与平面E4C之间的距离.

28.如图，已知平面BCE1平面ABC,直线D41平面ABC,S.DA=AB=AC.

B

(1)求证：04〃平面EBC；

(2)若4B4C=枭DEI平面BCE,求二面角力一BD—E的余弦值.

29.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知4B14D,AD1DC.PA底面ABCD,且AB=2,PA^AD=

DC=1,M为PC的中点，N在A8上，且BN=3AN.

(1)求证：平面PACJ■平面PDC-,

(2)求证：MN〃平面PA。；

(3)求三棱锥C-PBD的体积.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查外接球问题，属于较难题目.

利用补形法判断出该棱锥的外接球与长、宽、高分别为2%,2,1的外接球相同，求出球半径，即

可得其表面积.

解：由AO〃BC,/.DAB=120°,AC1BC,BC=2AD=2,

可得NBAC=30°,AB=2BC=4,AC=2显,

在平面ABC内作矩形AC8E,即4EJ.AC,而ADIAC,

所以NEAD为二面角B一。的平面角，NE4D的大小为90。，

则该棱锥的外接球与长、宽、高分别为2W，2,1的外接球相同，

则外接球的半径为R_J（2⑹"+12_g,

22

故其表面积为1TTR2=177T，

故选C.

2.答案：B

解析：

本题考查线面所成的角，涉及体积法求点到平面的距离，涉及线面垂直的判定，属中高档题，难度

较大.在折起后的图形中，取尸为AE的中点，连接BF,CF,过C作C。，平面BFE,垂足为。，连

接OF,OB,利用勾股定理及其逆定理计算可得NBCF为直角，利用等体积法可以求得CO,进而求

得a,0的正弦值，从而判定CQ错误；利用同角三角函数的关系，二倍角公式（暂时进度还没有学到

）和三角函数的性质可以确定a>20.也可将AFOC,BOC放置到同一个平面内（0C重合），利用平面

几何的有关知识判定.

解：如图所示：

DE

取AE中点凡作FG_LGB,则4G=FG=1,GB=2,BF=V5.

在折起后的图形中，取F为AE的中点，连接BF,CF,过C作C。1平面8尸E,垂足为0,连接0F,

0B,

■■■DC=3,EC=1,DE=2,C为£>E的中点，

又：尸为AE的中点，；.FC//AD,且FC=1.

WUCFO=a,乙CBO=0,

FC=1,BC=2,BF=V5，

•••aBCF=90°,

又•••/.ADE=乙BCE=90°,

易得的面积为△AB尸的面积的一半，AABF的面积为折叠前矩形ABC。面积的一半，矩形

ABCZ)的面积为2x3=6,

BEF的面积为|,

••・四面体BCEF的体积V=|xS&BEFx0C=3x@FCxBC)xCE,

3I7

A-x0C=ix1x2x1,A0C=

223

・•・sina=I，sinp=

可见，sina=2sinp,AC,。都是错误的.

为了比较a和2s的大小关系,

解法一：将△尸OC,80C放置到同一个平面内，得到如下所示的图形,

取8C的中点G,

则GC==CF=1,

••.△FCG为等腰三角形，AZ-CGF<90°,:•乙BGF>乙CGF,

・・・BF>CF,・••乙FCB>Z,FBC=Z.OBC=/?（三角形中大边对大角）

a=乙OFC=Z.FCB+乙FBC>2/?,

解法二：（利用正弦的二倍角公式，按照进度应当后面再学）

又•・.cos0=—sin2s=牛，.•・si712s=2sin^cos{i=等，

24&6-4V2、c

V---------=-------->0，

399

・•・sina>sin2^f

又Ta为锐角，/?为锐角，=二£<30。，［20<60。，二2口也是锐角,

a>2p,故8正确，A错误.

故选8.

3.答案：B

解析：

本题考查利用空间向量法求空间角，属于中档题.

依题意建立空间直角坐标系，不妨令M为PA的中点，利用空间向量法求异面直线的角与线面角

解：设正三棱锥P-4BC的底面边长为6,高为3如图所示建立空间直角坐标系，不妨令M为PA

的中点，

贝Ij0(0,0,0),/1(0,3,0),B(3百,0,0),C(3V3,6,0),0式275,3,0),P(2V3,3,t),M(V3,3,|),BM=

(-2V3,3,|),近=(3b,3,0)，^M=(V3,0,f),

\B1^AC\1-18+9+013

所以C°Sa~\BM\.\AC\―I^2------V84+t2>

1111J12+9+y-V27+9+0

过M作MF//PO］交AD于点M,

所以MF=»Oi=pNMBF即为BM与底面ABC所成的角，

所以"邛=需=忘与=春,

所以COS0=71-sin2/?=11-

N\V84+t2/V84+t2

所以2cosa<cos0

显然面43c的法向量可为元=(0,0,1)，设面MAC的法向量为蔡=@y,z)，

3V3x+3y=06T/LA

所以后,t\令x=V3，则y=-3,z=即ri=(，5,_3,一/

V3x+-z=0t't

2

Ml7V3

所以3〃=丽=；^寿=年，

当产=当时，2cosy=cos/?；当尸>5时,2cosy<cos/?；当户v"时,2cosy>cos/?,故CZ>不成

666

立；

故选：B

4.答案：A

解析：

本题考查正三棱锥的外接球及球的截面的性质的应用，属于较难题.

设ABDC的中心为0「球。的半径为R,连接0m，OD,。花，OE,可得R2=3+（3-/?尸，解得

R=2,过点E作圆。的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积

最大，即可求解.

解：如图：

设三角形BOC的中心为01，球。的半径为H,

连接01。，OD,0送,OE,

9L__________

J2

则0。XQ=避，A0t=yjAD-DOl=3.

J

在RtAOOiD中，R2=3+（3-R）2,

解得R=2,

因为BD=6BE,

所以DE=I，

在4DE。［中，（）［E=，3+,-2X&X［X<63①=亨，

所以OE=，。弁+。0/=J：+1=当，

过点E作圆。的截面，当截面与0E垂直时，截面的面积最小,

此时截面圆的半径为）22--=匹，

742

最小面积为3兀，

4

当截面过球心时，截面的面积最大，最大面积为47r.

故截面圆的面积的取值范围为［|n,4兀］.

故选A.

5.答案：B

解析：

本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断，难度较大.

由CMPM交于点4得共面，可判断B,利用余弦定理把CM,PN都用4C,AP表示后可比较大小，证明

AN与平面BODiBi后可得面面垂直，可判断C,作出过P,A,C三点的截面后可判断。.

解：连接尸C,由正方体性质可得C,N,4共线，

而PA,AC在APAC所在的平面内，且点M在直线PA上，点N在直线AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故B错误；

i己4P4C=9,则PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP-ACcosd,

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosd=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又4P<AC,

4

CM2-PN2='^AC2-AP2）>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正确；

由于正方体中，AN1BD,BBrABCD,ANABCD,

则BBi_LAN,BB]CBD=B,BB]、在平面鸟勺历。内

可得ANJL平面BBiDiD,

4Nu平面尸AN,从而可得平面P4NJ■平面BDDiBi，故C正确;

取G"中点K,连接KP,KC，4G，易知PK〃&G，

又正方体中，A\C、〃AC,PK//AC,PK,AC共面，PKCA就是过P,A,C三点的正方体的截面,

PKCA是等腰梯形.。正确.

故选8.

6.答案：ABC

解析：

本题考查几何体在翻折问题的几何性质，属于难题.

解:过点8作的垂线，交AD于点E连接B'&BB'i过点夕作BE的垂线交BE于点“易知B'E1AD,

则AD_L平面B'BE,所以NB'EB为二面角B'-AD-C的平面角的补角，即NB'EB=60。，

所以£77=：B'E=：BE,

即A为8E的中点，易知平面4BC_L平面B'BE,又8'H1BE,平面48Cn平面8'BE=BE

所以B'H1平面ABC,所以B'在平面4BC上的投影为点名

对于选项A,若

CB'1AB,连接CH则CH1AB,而这是不可能成立的，故4正确；

对于选项8,因为ZBE/1=9O。，所以点的轨迹为以AB为直径的一段圆弧,

所以点A的轨迹也为一段圆弧故B正确；

对于选项C,连接AH则B'A与平面ABC所成的角为NB'AH;设

BD=x（0,所以由4B-BD=4DBE,得

BE、，2=，所以BEe（O,管）

所以夕”=^-B'E=与BEe（0,誓），

所以sin/B'AH=翳€（0,平），所以cos4B'AH6（粤，1）,故C正确；

对于选项，。设=则NDBE=0,BH=；sin0,

CB'2=B'H2+CH2=B'H2+BC2+BH2-2BC-BH-cosd

V3,1,1

=（—sin0）2+（-sin0）2—2x2x-sin0xcos0+4

=sin20—sin20+=---cos20—sin20+4=-——sin（20+<»）>上更>3，

2222、~2

其中tan0=1,故C8,>6，故。错误.

7.答案：BCD

解析：

【试题解析】

本题以正方体这一特殊多面体为载体，考查空间几何体的体积问题，截面面积问题，考查线面角问

题，考查三棱锥的外接球体积问题，涉及知识点多，有一定难度，属于较难题.解A时，抓住三角

形P8O面积不变，占到平面PBZ）距离不变，用等体积法可以求出P-&BO的体积，据此可判断A

真假；B选项先确定截面就是平面B15C,算得面积对比即知B的真假;由于P所在直线与平面&BD平

行，P点到平面4BD的距离为定值，只要算出P4的最大最小值，就可以得到线面角的正弦值，即

可判断C的真假;根据BiD同时是二个直角三角形BiBD,务必。公共斜边，故此当。中点为球心，确

定球心即可进一步求半径，再求出球的体积完成对D的判断.

解：A选项Vp_4[BD=%i-PBD=gx¥x^X&Xl=gA不正确；

B选项此平面为平面&DiC,

故三角形&DiC的面积为，x（或产=f,8选项正确；

由等体积法知：点P到平面&BD的距离为日，

当点P在线段当名上运动时，|P4|max=1（P为端点时），

l^llmin设直线P4与平面4BC所成角为。，

则sin%停,料C正确;

当P在当点时，三角形/8。为直角三角形，斜边为Bi。，

斜边中点到8,Bi，。三点距离相等，长度为反。的一半，

又因为三角形4当。也是直角三角形，它的斜边也为Bi。，

斜边中点到Bi，。三点距离也相等，长度也是当。的一半，

所以三棱锥P-&BD的外接球的球心为的中点，

故外接球半径为更，

2

所以三棱锥P-41BD的外接球的体积为苧兀，。正确，

故选BCD.

8.答案：ABC

解析：

本题考查正方体的性质，三棱锥的体积，直线与平面所成角，属中档题.

对于A：由平面GCB〃平面ZB1D1，且DPu平面GDB,得到对任意点P,DP〃平面4/D1，正确；

对于B：无论点P在哪个位置,三棱锥P-&DD1的高均为1,底面的面积为右三棱锥P-A1DD1

的体积为:x；xl=g正确；对于C：当点尸为BQ的中点时，OP最小，此时DP_LBG，解得。尸

的最小值为争正确；对于。：设点P的投影为点。，则“DQ为。尸与平面力。。出所成角，OP与

平面ADD14所成角的正弦值的范围为［乎,彳］,不存在点P,使得OP与平面4DD14所成角为；,

错误.

解：由题可知正方体的面对角线长为a,

对于A分别连接G，BD,BiDi，ABi，4Di，

因为DB〃D】Bi，D$i在平面4&Di内，08不在平面人当名内，

所以DB〃平面同理可得BG〃平面

又DB、BCi为平面GOB内两条相交直线，

所以平面GDB//平面4多么，

因为CPu平面GCB,故对任意点尸，DP〃平面AB/i，故正确；

对于8：分别连接如，PDi，无论点P在哪个位置，三棱锥P-&DD1的高均为1,底面为DD1的面

积为1，

所以三棱锥P-4DD1的体积为1=i故正确：

oZo

对于C：线段。尸在4QB0中，当点P为BC1的中点时，0P最小，此时DP1BG，

此时在Rt^BPO中，DP=7DBEB2=一囹=争故小的最小值为冬故正确；

对于。：点P在平面4。。送1上的投影在线段4。［上，设点P的投影为点Q,则NPOQ为。尸与平面

所成角，sin乙PDQ=黑,PQ=1,

而当《P"V2,所以O尸与平亚WZMi所成角的正弦值的范围为停，外

而疝11=丫?>u，所以不存在点p,使得OP与平面所成角为:，故错误.

故选ABC.

9.答案：AB

解析：

此题主要考查立体几何的线面垂直的判定，线面平行的判定，截面的找法及面积计算，属于较难题.

建立坐标系，利用向量法可判断A;取aCi中点G,连接D】G,GE,利用平面性质可知等腰梯形AD】GE

即为截面，求出其面积即可判断;根据平行间的距离不变可判断C；设外接球心为。，过。作00'工AE,

垂足为0',则以。'为圆心，0，为半径的圆是过AE面积最小的截面圆，求出其面积即可判断D

对于4,如图，以4为原点，AD,2B,441为坐标轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),E(0,4,2),①(0,0,4),“4,2,0),。式4,0,4),

AE=(0,4,2),4〉=(4,2,—4),4方1=(4,0,4)，

•.•旗•4)=0x4+4X2+2X(-4)=0，：•公尸-LAE,

•••4方1•4;F=4x4+0x2+4x(-4)=0>-AiF-L

•••AEC/Wi=4,平面4。道，故A正确；

对于B,如图，取名6中点G,连接DiG,GE,则GE〃C/且GE=：GB=2VL可知QB〃力。口所

以A,Di，G,E共面，则等腰梯形ACiGE即为截面，可求得其面积为18,故8正确；

5--

nn-

h

\

\

ll娟

4\

/1一

1

FC

对于C,可知在正方体中，BC1〃AD\,又BGC平面4D1E,ADXu平面AQE,所以BC1〃平面4。花，

因为P是BQ上的动点，所有尸到平面4D1E的距离为定值，故三棱锥P-4D1E的体积与P点的位置

无关，故C错误；

对于。，设外接球心为O,过。作。O'lAE,垂足为O’,则以。'为圆心，o,为半径的圆是过AE

面积最小的截面圆，

贝1。(2,2,2),设。'(O,y[y),

二00'=(-2,y-2,1一2)，AE=(0,4,2),

00',4E=(y-2)X4+Cy-2)X2=0，解得y=y,

则oz=——6---V-5--，

5

（产）2=.，故。错误.

故截面圆的最小面积为7rX

故选AB.

10.答案：ABD

解析：

本题考查了空间中的线面位置关系，线面角，以及异面直线成角，属于较难题目.

根据线面垂直判定定理，性质定理判断A,B,根据线面角判断C,根据异面直线成角判断D

解：正方体中，DDiJ•平面AIBIQDI，，A|Ci，

且ARiCDi为正方形,则AiCuLBiR,且nB[％=

故AiCQ平面正确;

连接1AB1,A1D11平面4也1也，且n4也=%:ABr1平面例如,

•••ABX1D[B,

同理可证AC1D1B,且4B1nac=4,BD11平面ACB1，结论正确；

连接8G，则即为BDi与底面BCC1B】所成角，故所成角的正切值是?，故C错误；

过点A1与异面直线CB]成60。角的直线有&G，&B,两条，故。正确，

故选ABD.

11.答案：ABC

解析：

本题考查三视图、棱锥的内切球问题，属于较难题.

利用正方体与正四面体的内切球内接时，棱长最大，根据等体积法求出内切球半径，进一步可求出

正方体的最大棱长，

根据选项即可解答.

解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，8。平行桌面，几何体如图，

D

则正视图中BD=6,

设正四面体内切球的半径为广，

要使在该正四面体纸盒内放一个正方体，且正方体可以在纸盒内任意转动,

正方体与正四面体的内切球内接时，棱长最大,

设内切球半径为『，

根据体积相等可得4xixrx—x62=ix-x62x162-x—x6)2>

3434

4b

:.r=一,

2

设正方体的最大棱长为a,：.3a2=(V6)2>Aa=V2，

故选ABC.

12.答案:BC

解析：

【试题解析】

本题主要考查了异面直线所成的角、直线与平面所成的角、同角三角函数的基本关系、空间中的距

离以及余弦定理的应用等知识点，属于较难题.

由题意取AC的中点H,则（或其补角）即为EF与A。所成的角，利用余弦定理可求得EF=¥，

由HE=1,HF=|,再次利用余弦定理可得到cos/HFE,然后根据同角三角函数的基本关系即可得

至Ijtan/HFE,根据匕一/。=/一何。这一关系可得到点B到平面AC。的距离，由此可求得AB与面

ACD所成角的余弦值.

解：取AC的中点”，连接4E、HF、AF.BF,过点B作BM，平面ACQ于M,过点A作。4,平面

BCD于点0,

•••点F为CD的中点，NHFE（或其补角）即为EF与AD所成的角，

「A—BCD是正三棱锥，易知点仞在AF上，点。在Bf上，

•:侧棱长为3,底面边长为2,.•.力B=4D=3,BC=2,CF=1,BF=虚,AF=2>[2,

3

HE=1,HF2’

幺82+8/2-A户29+3-8_2y/3

由余弦定理可得C0SN4BF=

2ABXBF

BE2+BF2-EF27+3-EF2Vi3

・•,coszABF=4________言，解得EF—，

2BEXBF2

产一RA=3限

・•・cosZ-HFE=HF?+EHE2

2HFXEF2y»~

2x2x2

可得sin^FE=71-cos?乙HFE=警,

••.tan/HFE=照舞=f,即EF与AD所成角的正切值为|,

COSZ.HFE33

故A错误，B正确;

由图中知，NB4M为AB与面AC。所成的角,

BCO为正三角形，且。4_L平面BCD,

...OB=|BF=空。4=7AB2-OB?=

"VA-BCD=|x|x2xV3xJ^=^p,

%-ACD=|xix2x2V2xFM=^BM，

:,迫BM=叵,解得BM=正，

334

V46,—

・•・sinZ-BAM=—=—=―9

AB312

可得COSNBAM=V1—sin2Z.BAM=—,

与面AS所成角的余弦值为第,

故C正确，D错误;

综上，8c选项正确，A。选项错误,

故选BC.

13.答案：3

解析：

本题考查了棱锥外接球问题，二面角，线面角应用以及棱锥体积的求解，属于较难题目

设A,3,C所在球的截面小圆为圆0',由二面角（7-48-。的大小为60。求得00，=b,当直线OC

与平面OAB所成角最大时，由余弦定理求CE=3,即可求解.

解：设A,B,C所在球小圆为圆。'，

取A8中点E,连接OE,O'E,

则40E0'即为二面角C-4B-。的平面角，为60。，

•••OA=OB=V7.AB=2V3，则0E=2,00'=V3，

当直线OC与平面OAB所成角最大时，则C到平面O4B距离最大，则C到AB的距离最大，

此时CE14B,此时E,O',C三点共线，由余弦定理可知：

2=9二=CE=3,

22X2XCE

故三棱锥的体积为,

0-4BCU=|SA4BC-OO=|xix2V3x3xV3=3,

故答案为3.

z

14.答案：—3tan54044

解析：

本题考查二面角，空间位置关系，正六边形的性质，属于中档题.

利用第二个图：取的中点G,连接G4GM,从而得出NMG4=8,再根据题意中的数据计算即

可.

利用第二个图：取的中点G,连接GA,GM,易知△G4M为直角三角形,

易知在等腰ABMF和等腰ABAF中，BF1MG,BF14G,

则NMGA=9.

不妨取48=2,在等腰△ABF中，Z.BAF=120°,则GB=6，GA=1,

___GBGB

在这直角ACMB中，6"=嬴磬=蒜赤；,

八GAtan54°44/

，COSB=—=Ttan54°44，>

GM

故答案为：争an54*'

15.答案：田”

解析:

本题考查了棱柱、棱锥的体积计算.

在图2中计算匕_&BC得出水的体积〃，根据水的体积不变列方程求出四边形ABDE的面积，再利用

相似三角形的相似比求出h.

解：由题意，正三棱柱的棱长均为1加,

:.SA团RC=|x1x1xsin60°=1xlxlx^=^

又，&=lm9.・・VA_A1BC=^S^ABC-AAr=|xyxl=-^=a.

^^ABED-A1B1E1D1=以-4回，得ABEO'13ABe'AAt,

日nc_1cDEV6DCDE通

即%BED一三5团28C，・•・布=e，.•.就=布=可,

***DC=>***AD=(1--y-)77l«

在等边三角形ABC中,A8边上的高为苧g

hADl-yy/3V2

v-7=-=—=-Aft=-———

AC122

16.答案：等

解析:

本题考查求轨迹长度，考查线面垂直的判定和性质，考查余弦定理，是难题.

利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q的轨迹，利用转化思想，求解长度即可.

解：根据题意，连接AC,BD,两直线交于。，取PC上一点为M,连接MB,MD,如图,

若满足题意。Q14C,又4C-LBD,DQQBD=£>,DQ,BDu平面。8。，

故ACJL平面DBQ,

则点Q只要在平面QB。与平面PBC的交线上即可.

假设如图所示：平面。8M与平面OBQ是同一个平面，则。点的轨迹就是线段8M.

根据假设，此时直线4C平面DBM,又M。u平面DBM,

则AC1M0.

故三角形MOC为直角三角形.

因为三角形PAO是等腰直角三角形，三角形84。是等边三角形，

设AO中点为，，则PH_LAC,BHLAD,PHCBH=H,PH,BHu平面PHB,

所以4D1平面PHB,

又PBu平面PHB,故ADA.PB.

又平面PAD1平面A8C£>且交线为AC,所以PH1平面ABCD,BHc^^ABCD,PB2=PH2+BH2

4,

又因为BC〃AD,故BC1PB,故三角形P8C为直角三角形,

故PC=>JPB2+BC2=2>/2.

在三角形PAC中，PA=V2,AC=2V3>PC=272.

8+12—2；U/B

由余弦定理可得：cosAPCA=亦L=—

2x2y/3x2\/28

故在直角三角形MOC中，A/。=—丝--------82.

cosAPCA3

在三角形BCM中，NPCB=45。,

故=BC2+CNI2-2xBCXCA/x«»NPCB=y

故得8M=—.

3

故答案为独.

3

17.答案：

解析：

本题考查了平面展开-最短路线问题，弧长公式.把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底

面的周长，对应的弦是最短距离，求出NS=g,可得俞=等即可得出结论.

解：把圆锥侧面展开成一个扇形，

则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，

即BB'的长是蚂蚁爬行的最短路程，

•••圆锥SO的母线SA的长度为2,

一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2,

・•・乙S=p

BB'

3

设圆锥SO的底面半径为r,

则2什=y,

・・・r="1.

3

故答案为

18.答案：2V3;217r

解析：

本题考查了简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，球的表面积和体积，圆的标准方程，线

面垂直的性质和圆有关的轨迹问题，属于较难题.

利用长方体结构特征，以A为坐标原点，AB、AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，再利用点

P在底面ABCD内运动，设P(x,y)(x>0,y>0),再利用圆有关的轨迹问题计算得/+y2=

12(x>0,y>0),再利用圆的标准方程得点P所形成的阿氏圆的半径为2百，利用所得结论，结合

题目条件得点P在线段CO上，且。P=百，取&P的中点G,连接G。、GA,利用长方体结构特征

得。P1平面445。和_L平面ABCD,再利用线面垂直的性质分别得OP1和4Al1AP,再

利用平面几何知识得GD=GA=G&=GP=亨，从而得G是三棱锥P-外接球球心，且三棱

锥「-。4以外接球半径为亨，再利用球的表面积公式，计算得结论.

以A为坐标原点，AB,A。分别为x、y轴，建立平面直角坐标系.

因为在长方体4BCD中，AB=2AD=2AA1=6,

所以4(0,0),B(6,0),C(6,3),所0,3).

又因为点E