解析2022年人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形重点解析练习题（含详解）

人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形重点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在长方形16（力中，AB=6,6c=8,点后是6。边上一点，将△/应■沿/£折叠，使点8落在点

尸处，连接CF,当△呼为直角三角形时，则应1的长是（）

A.4B.3C.4或8D.3或6

2、平行四边形45CD中，ZA=60°,则NC的度数是（)

A.30°B.60°C.90°D.120°

3、口A5C。的周长为32cm,AB：叱3：5,则4?、%的长分别为()

A.20cm,12cmB.10cm,6cmC.6cm,10cmD.12cm,20cm

4、如图，已知在正方形4?口中，AB=BC=CD=AD=1O厘米，ZA=Zfi=ZC=ZD=90°,点E在边AB

上，且AE=4厘米，如果点P在线段6C上以2厘米/秒的速度由6点向。点运动，同时，点0在线段

口上以a厘米/秒的速度由。点向。点运动，设运动时间为£秒.若存在a与t的值，使ABPE与

VCQP全等时，贝IJt的值为（)

A.2B.2或1.5C.2.5D.2.5或2

5、直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么这个三角形的斜边上的中线长为（）

A.6B.6.5C.10D.13

6、如图，正方形ABC。的面积为256,点尸在49上,点£在AB的延长线上，Rt^CEF的面积为200,

则BE的长为（）

A.10B.11C.12D.15

7、如图，已知平行四边形4?。?的面积为8,E、尸分别是a1、的中点，则△4所的面积为（）

C.4D.5

8、如图，在力灰/中，AD=2AB,夕是皿的中点，作血4?于反在线段45上，连接跖、CF.则下列

结论：①4BCD=2/DCF；②4ECf^4CEF；③S.BEO2s4EF；④/DF班3NAEF,其中一定正确的是

（）

D

E,

A.②④B.①②④C.①②③④D.②③④

9、如图，在菱形力颇中，AB=5,AC=8,过点6作废比切于点瓦则以'的长为（）

10、直角三角形中，两直角边长分别是12和5,则斜边上的中线长是（

A.2.5C.6.5D.13

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在矩形纸片40中，A6=6,6C=4,点6是月〃的中点，点尸是四上一动点将△力用'沿直线

）折叠，点4落在点/处在跖上任取一点G,连接GC,GA,CA',则△CGA的周长的最小值为

2、如图，点尸是矩形微力的对角线〃'上一点，过点？作须〃比；分别交46,5于点&F,连接

PB、PD,若〃'=2,PF=9,则图中阴影面积为；

3、如图，在正方形力及力中，45=2,£是46的中点，P是上任意一点，连接必；PC,若VPEC是

等腰三角形，则4尸的长可能是.

4、菱形的对角线之比为3：4,且面积为24,则它的对角线分别为.

5、如图，在正方形ABC。中，点、M,N为CD,应'上的点，豆DM=CN,4V与ZW交于点R连接力V,点0

为4A，中点，连接倒，若18=10,DM=4,则国的长为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1,正方形46（力的边长为a,£为边切上一动点（点£与点C、〃不重合），连接/£交对角线

切于点P,过点尸作PFLAE交加'于点F.

（1）求证：PA=PF；

（2）如图2,过点尸作必小如于。，在点£的运动过程中，国的长度是否发生变化？若不变，求出

掰的长；若变化，请说明变化规律.

（3）请写出线段48、BF、9之间满足的数量关系，不必说明理由.

DD

2、在向AABC中，ZACB=90°,斜边AB=4,过点C作C尸〃45,以43为边作菱形防若

ZBEF=150°,求WAABC的面积.

3、如图，等腰△力比'中，AB=AC,ZBAC=90°,BE平分NABC交AC于E,过C作切，幽于〃,

(1)如图1,求证：CD=\BE

(2)如图2,过点4作/d应；写出/EBD,切之间的数量关系并说明理由.

图1

4、如图，在平行四边形ABC。中，6是A3上一点.

(1)用尺规完成以下基本操作：在AD下方作ND4F,使得ZDAF=/BCE,AF交。C于点尸.(保留作

图痕迹，不写作法)

（2）在（1）所作的图形中，已知NBCE=17。,ZB=58。，求NE/S的度数.

5、如图，四边形4比7?是平行四边形，/物。=90°.

（1）尺规作图：在a'上截取幽惶CE=CD,连接应与〃'交于点E过点6作线段4〃的垂线交力。

于点法（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，猜想线段局/和〃的数量关系，并证明你的结论.

---------参考答案-----------

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

当ACEF为直角三角形时，有两种情况：①当点尸落在矩形内部时连接AC,先利用勾股定理计算出

AC=1O,根据折叠的性质得WE=4=90。，而当/XCEF为直角三角形时，只能得至IJ/EFC=9O。，所以

点4F、C共线，即沿AE折叠，使点6落在对角线AC上的点尸处，则EB=EF,AB=AF=6,可

计算出C厂然后利用勾股定理求解即可；②当点6落在AD边上时.此时ME尸为正方形，由此即可得到

答案.

【详解】

解：当△CM为直角三角形时，有两种情况：

①当点尸落在矩形内部时，如图所示.

连接AC,

在用AABC中，A5=6,BC=8,

AC^y]AB2+BC2=10»

•••△//沿AE折叠，使点6落在点6处，

ZAFE=ZB=90。，BE=EF,

当为直角三角形时，只能得到NEFC=90。，

ZAFE+ZEFC=180°

点儿F、C共线，即△4次沿AE折叠，使点6落在对角线AC上的点6处,

AB=AF=6,

CF=10-6=4,

设B印E户x,则EOBJBgR-X,

CE2=EF2+CF2,

：.（8-X）2=X2+42,

解得x=3,

:.BE=3；

②当点尸落在A。边上时，如图所示，

由折叠的性质可知［生火尸，B&EF,NAE户/B=90°,N庄田90°,

ABEF为正方形,

BE=AB=6,

综上所述，班'的长为3或6.

故选D.

【点睛】

本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等.也考查了矩形的性质，正

方形的性质与判定以及勾股定理.解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.

2、B

【解析】

【分析】

根据平行四边形对角相等，即可求出NC的度数.

【详解】

解：如图所示，

♦.•四边形ABCD是平行四边形,

，ZA=ZC,

/.ZA=60°,

"=60°.

故：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质.

3、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质，可得/代切，BC=AD,然后设A8=3xcm,BC=5xcm,可得到2（3x+5x）=32,

即可求解.

【详解】

解：•.•四边形48（力是平行四边形，

:.AM）,BOAD,

,：AB-.除3：5,

可设AB-3xcm,BC=5xcm,

oABCZ）的周长为32cm,

2（AB+3C）=32,即2（3x+5x）=32,

解得：x=2,

AB=6cm,BC=10cm.

故选：c

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等是解题的关键.

4、D

【解析】

【分析】

根据题意分两种情况讨论若△加匡△。仍贝1J於CO,B芹CP；若△如能△OQ则於华5厘米，

止&=6厘米进行求解即可.

【详解】

解：当。=2,即点0的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若丛BP曜XCQP,则於8,

B&CP,

•.3比叱10厘米，力层4厘米，

屿上6厘米，

.•.昭=10-6=4厘米，

.••运动时间仁4+2=2（秒）；

当。工2,即点0的运动速度与点P的运动速度不相等，

：.BP^CQ,

•；N庐/年90°,

:.要惶丛BPE与丛OQP全等,只要小心5厘米，8路6厘米，即可.

.••点R0运动的时间t=BP^2=5^2=2.5（秒）.

综上t的值为2.5或2.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等,

四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.同时要注意分类思想的运用.

5、B

【解析】

【分析】

根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求

解.

【详解】

解：•.•直角三角形两直角边长为5和12,

斜边=疹我=13，

13

...此直角三角形斜边上的中线的长=£=6.5.

故选：B.

【点

本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是

解题的关键.

6、C

【解析】

【分析】

先证明以△如丝心△颂；故小。汽，根据△呼的面积计算四，根据正方形/比力的面积计算比1，根

据勾股定理计算BE.

【详解】

解：•.•/比户90°,/比左90°,

ABCE^ADCF,

ZBCE=ZDCF

：.\BC=DC,

ZCDF=ZCBE

:.XCD恒XCBE,也gCE.

因为A力■的面积是200,即

3•四•层200,故®20,

正方形4版的面积=6代256,得除16.

根据勾股定理得：BICE—BC”⑵

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形，等腰直角三角形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证

层四是解题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

连接由平行四边形的性质可得5小g=54℃=35平行四边肠时。=4,再由昆尸分别是比；切的中点，即

可得到SMBE=3S^BC=2，SgpD=5SMDF=2,SAECF=[SAABC=1，由此求解即可.

【详解】

解：如图所示，连接

•.•四边形力6切是平行四边形，

：.AD//BC,AD-BC,AB=CD,AB//CD,

,,$414&;=54«>€=55平行四边形.8=4

,:E、尸分别是比；口?的中点，

,,S加BE=5%48C=2,S/SAFD=万5«次=2,S&ECF~T=，

S&A£F=S平行四边形ABC。-S&ABE~SgCF—fXAFD，

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，与三角形中线有关的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握平

行四边形的性质.

8、B

【解析】

【分析】

根据易得法力，由平行四边形的性质即可对①作出判断；延长外交切延长线于必可证明

△457担△〃圾可得上FM,由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△457N△〃2可

得这两个三角形的面积相等，再由MOBE易得SABEC<2SAEFC,从而③是错误的；设/也ex,由已

知及三角形内角和可分别计算出N〃电'及N45E从而可判断④正确与否.

【详解】

①•.•尸是42的中点，

:.A户FD,

二•在口4%为中，AD=2AB,

:.A户F2CD,

：./DFO乙DCF,

'JAD//BC,

：.ADFOZFCB,

.../DC户4BCF,

.,.N仇力=2N〃。',故①正确；

②延长能交切延长线于

四边形4%力是平行四边形，

：.AB//CD,

：./A=/MDF,

•.•尸为49中点，

:.A2FD,

在△/斯和△加狎中,

ZA=ZFDM

■AF=DF,

NAFE=NDFM

：.HAEF^/\DMFCASA),

:.吩MF,

,：CEVAB,

除90°,

AAAE(=AECD=^°,

,:F行EF,

J.FOFE,

：.4EC24CEF,故②正确；

③•：E氏FM,

：.SAEF(=SACFM,

■:MABE,S.ECM=；CMXCE=2S,KFC，"=-BExCE

2

：.SABEC<2SAEFC,

故.SABE0SACEF,故③错误；

④设N阳俏x,则/我上x,

:./DC产/DFO9G-x,

.•./厮信180°-2x,

:.NEFD=9Q°-x+180°-2A=270°-3X,

•；N幽邑90°-x,

：.4DF&34AEF,故④正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的

面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点.

9、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质求得8。的长，进而根据菱形的面积等于=即可求得BE的长

【详解】

解：如图，设AC,8。的交点为O,

••・四边形ABC。是菱形

/.ACA-BD,AO=CO」AC=4,DO=BO,CD=AB=5

2

在WAAOB中，AB=5,AO=4

/.BO=yjAB2-AO2=3

:.BD=2BO=6

•••菱形的面积等于=

,8E=小竺」,幽3

CD255

故选B

【点睛】

本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得50的长是解题的关键.

10、C

【解析】

【分析】

利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

【详解】

解：由勾股定理得，斜边=71汨于=13,

所以，斜边上的中线长=gxl3=6.5.

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，解题的关键是熟记性质.

二、填空题

1、2710-2+2713

【解析】

【分析】

连接4c交价'于G,连接HG,此时△CG/'的周长最小，最小值

=A'G+GOCA1=GA+GC+CA'=A&CA'.当CA'最小时，XCGA'的周长最小，求出CA'的最小值即可

解决问题.

【详解】

解：如图，连接4C交旗于G,连接/G,连接比；由折叠的性质可知，G=GA,

此时GC的周长最小，最小值=/G^G&CA'=GA+GC+CA'=AC+CA'.

•.•四边形/物是矩形，

/.ZZ?=90°,AD=BC=4,CD=AB=6,

AC=[G+4)=2y/\3,

CG的周长的最小值=2如+。'，

当。'最小时，的周长最小，

'：AE=DE=EA'=2,

CE=+2?=2V10,

'：CA'?EC-EA',

：.CA'，2加-2,

：.CA'的最小值为2M-2,

：.ACGA'的周长的最小值为2痴-2+29，

故答案为：2M-2+2屈.

【点睛】

本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想

思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

2、18

【解析】

【分析】

作于M,交BC千M根据矩形的性质可得S△小左SzJT”即可求解.

【详解】

解：作阴"于M,交BC于N.

则有四边形4原区四边形即M四边形C77兆四边形跳/界都是矩形,

,,=S’ABC，S.AMP=S,AEP，SdPBE=S“PRN>cPDM，S«PFC~„PCN>

S矩£>FHM=S知_BEPN，

•1'S.DFP=S,PBE~-X2X4=4,

.".5^9+9=18,

故答案为：18.

【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明

7

3、1或2或二

4

【解析】

【分析】

分三种情况：当PC=EC时，当PE=CE时，当尸E=PC时，利用等腰三角形的性质和正方形的性质进

行求解即可.

【详解】

解：如图1,当PC=EC时，

•••四边形是正方形，

.•./斤/炉90°,BODC,

：.RNBEC冬RNDPC(HL),

贝

是4?的中点，

DP=BE=-AB=\

2

AP=AD-DP=\；

如图2.当点P与点〃重合时，

•.•四边形45(力是正方形，

:.AD-BC,ZA=Z^0°,

•••万是48的中点，

：.AE=BE,

：.^ADE^/\BCE(SAS),

DE=CE即PE^CE,VPEC是等腰三角形.

AP=AD=2；

如图3.当PE=PC时，设AP=x,则P£>=2-x,

在直角△如C中，PC2=PD2+CD2,

在直角△?!"中，PE2=AP2+AE2,

贝ljd+i=(2—X『+22.解得X即AP=；

'/44

7

综上所述，力户的长可能是1或2或一.

4

7

故答案为：1或2或一.

4

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关

键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质和正方形的性质.

4、6和8##8和6

【解析】

【分析】

根据比例设两条对角线分别为3x、4x,再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值即

可.

【详解】

解：设两条对角线分别为3x、4x,

根据题意得，^X3r4产24,

解得尸2（负值舍去），

•••菱形的两对角线的长分别为3x2=6,4x2=8.

故答案为：6和8.

【点睛】

本题考查了菱形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积的求法，需熟

记.

5、取

【解析】

【分析】

由△力〃"与△呢V全等，得出NBV-NZW,从而得到/以物=90°,由此/初归90°,再由直角三角

形斜边的中线的性质求出PQ.

【详解】

解：在正方形46（6中，

AD=CD,AADC=ADCN=^a,

在△火〃）/与中，

'：AD=CD,DM=CN,AADC=ADCN,

.•.△4〃侬△〃&V（S4S）,

:.乙DAM=/CDN,

：.ADMA=ACND,

在△勿涉中，/PD用/PMD=9G",

:./DPM=9Q°,

：/DPM=NAPN,

...△4W为直角三角形，

加，为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ=\AN,

在△ANB中，AN=­JAB2+NB2=2衣，

:.PQ=5,

故答案为：V34.

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，解

题的关键是熟练掌握正方形的性质.

三、解答题

1>（1）见解析；（2）内的长不变，见解析；（3）AB+BF=V2PB

【分析】

（1）连接/T,由正方形的性质得到A8=3C,ZABP=NCBP,然后依据全等三角形的判定定理证明

△APBRCPB,由全等三角形的性质可知PA=PC,NPCB=NW,接下来利用四边形的内角和为

360°可证明NPPC=NPCF,于是得到PF=PC,故此可证明尸F=P4；

（2）连接〃1交劭于点。，依据正方形的性质可知“03为等腰直角三角形，于是可求得40的长，接

下来，证明AAP。丝APFQ,依据全等三角形的性质可得到「。=AO；

（3）过点尸作PMJ.AB,PNLBC，垂足分别为弘N,首先证明为等腰直角三角形于是得到

BN+PN=6PB,由角平分线的性质可得到PM=PN,然后再依据直角三角形全等的证明方法证明

△PAM丝/硒可得到FN=AM,PM=PN,于是将"可转化为3N+PN的长.

【详解】

解：（1）证明：连接/T,如图所示:

•；ABCD为正方形,

：.AB=BC,ZABP=NCBP,

在△APB和△CM中，

AB=BC

,NABP=ZCBP,

BP=BP

:・AAPB'CPB,

APA=PC9ZPCB=ZPAB,

•?ZABF=ZAPF=90°f

：.Z^4B+ZPFB=180°.

*/ZPFC+ZPFB=\80°,

；・ZPFC=ZPAB.

：./PFC=/PCF.

：.PF=PC,

：.PF=PA；

(2)的长不变.

理由：连接力。交劭于点。，如图所示:

「PF-LAE,

：.AAPO+ZFPQ=90°.

「FQ1BD,

.../PFQ+NFPQ=90°.

：.ZAPO=ZPFQ.

又•.,四边形4BCD为正方形,

Q

AZAOP=APQF=909AO=—a.

2

在△APO和APFQ中,

/AOP=/PQF

ZAPO=ZPFQ,

AP=PF

.•・4ApO'PFQ.

••PQ=AO=a；

（3）如图所示：过点〃作PNLBC,垂足分别为胴N.

・・,四边形力时为正方形，

，/PBN=45。.

,?PNIBN,

：.BN=PN=—BP，

2

，BN+PN=y/2PB.

•即平分ZA8C,PMYAB,PNIBC,

：.PM=PN.

在^PAM和APFN中，

PA=PF

\PM=PN'

：.4PAM知PFN.

:.AM=FN.

'：ZMBN=ZBNP=ZBMP=90°,

MB=PN.

AB+BF=AM+MB+BF=FN+BF+PN=BN+PN=>/2PB.

【点睛】

题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，

理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键.

2、4

【分析】

分别过点氏C作EH、位垂直46,垂足为点〃、G,则〃是斜边46上的高；在菱形力颇中，AB//EF

利用平行线的性质不难得到CG=EH;菱形的对角相等，四条边相等，联系含30°角的直角三角形的性质

求出EH,问题即可解答。

【详解】

解：如图，分别过E,C作由_14氏。6,48垂足为点〃，G

-：四边形/废尸为菱形，

：.AB=BE^4,AB//EF,

•.•ZBEF=150。

：.ZABE=180°-乙BEF=30°,

在RfABEH中,EH=；BE=gx4=2,

根据题意，AB//CF,根据平行线间的距离处处相等，

:.HE=CG=2

SABC=lAB.CG=1x4x2=4.

答：RhABC的面积为4.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线间的距离及三角形面积的计算，正确利用菱形的

四边相等及直角三角形中，30。角所对直角边是斜边的一半是解题的关键.

3、（1）证明见解析；（2）BAC讣2AF,理由见解析

【分析】

(1)延长为与切的延长线交于点G,先证明△4?匡△4CG得到此CG,由劭是N45C的角平分线,

得到NGBD=/CBD,即可证明△物侬△6%得到63,则。=gcG=gBE；

(2)如图所示，连接力。，取眼中点〃，连接力〃，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

AH=BH=^BD,AD=CD=gcG=gBE,则A£>=AW==CD,再由/胡玲90°,AB=AC,得到

ZAB(=45°,根据劭平分N48G即可推出N4/N4即/物代45°,从而得到/后小；则〃照2",

由此即可推出BAB卅盼B小2A六CMAF.

【详解】

解：(1)如图所示，延长为与"的延长线交于点G,

劭俏90°,

AZ016^90°,

,：CDVBE,

:/EDe/GDF/BA片袂。,

又,：/AEB-/DEC,

：./ABE=/DCE,

在班'和中，

NBAE=ZCAG

<AB=AC,

ZABE=ZACG

:NBE^XACG(ASA),

:.B&CG,

•••6〃是N/l6c的角平分线，

：.4GB24CBD,

在△切G和△胸中,

ZBDG=/BDC

<BD=BD,

NGBD=ZCBD

・・・△劭侬△劭C(ASA)f

：.