统考版2025届高考数学全程一轮复习第八章立体几何初步第六节空间向量及其运算学生用书

第六节空间向量及其运算·最新考纲·1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示．2．驾驭空间向量的线性运算及其坐标表示．3．驾驭空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积推断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．·考向预料·考情分析：本节主要考查空间向量的线性运算、数量积及其坐标运算，利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系，多出现在解答题中的第一小问．学科素养：通过空间向量的运算及数量积运算考查逻辑推理、数学运算的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线相互________共面对量平行于________的向量共线向量定理对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________共面对量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝________空间向量基本定理定理：假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝________推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝12.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②a⊥b⇔____________(a，b为非零向量)．③|a|2＝a2，|a|＝x2(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝____________向量差a－b＝____________数量积a·b＝____________共线a∥b⇒____________(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔____________夹角公式cos〈a，b〉＝____________________3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：假如表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l________或________，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的______向量a，则向量a叫做平面α的法向量．二、必明3个常用结论1．向量法推断空间中平行与垂直(1)平行关系线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R.(2)垂直关系线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.2．证明空间随意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线．(1)PA＝λPB(λ∈R)；(2)对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)；(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．3．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．(1)MP＝xMA＋yMB；(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；(3)对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．三、必练3类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)空间中随意两非零向量a，b共面．()(2)对于向量a，b，若a·b＝0，则肯定有a＝0或b＝0.()(3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(5)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是平行．()(6)已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13(7)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1⊥n2⇔α⊥β.()(二)教材改编2．[选修2－1·P98习题T7改编]已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对3.[选修2－1·P97习题T2改编]如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AA1＝b，AA1A．－12a＋12b＋cB．12a＋1C．－12a－12b＋cD．12a－1(三)易错易混4．(二面角的范围出错)已知两个平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则这两个平面所成的二面角的大小为________．5．(线面角的范围出错)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一空间向量的线性运算[基础性]1．在空间四边形ABCD中，若AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为()A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)2．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA3.在三棱锥O­ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA，(1)MG；(2)OG.反思感悟用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，肯定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要敏捷应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍旧成立．考点二共线、共面对量定理的应用[综合性][例1]如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满意AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤(1)向量MN是否与向量AB，(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？听课笔记：反思感悟证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPBMP＝xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝OA＋tAB对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB【对点训练】1．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满意OM＝13(1)推断MA，(2)推断点M是否在平面ABC内．考点三空间向量的数量积及应用[综合性][例2]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．(1)求EF·BA；(2)求EG·BD.听课笔记：一题多变1．(变问题)若例2中条件不变，求证：EG⊥AB.2．(变问题)若例2中条件不变，求EG的长．3．(变问题)若例2中条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值．反思感悟1．空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.2．空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a，b夹角为θ，则cosθ＝a·求长度(距离)利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【对点训练】1．在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则AE·CD＝()A．0B．1C．－12D．－2．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设向量a＝AB，b＝AC，(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b相互垂直，求实数k的值．

考点四利用空间向量证明平行或垂直[综合性][例3]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，设E，F分别为PC，BD(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.听课笔记：反思感悟1．用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)②转化为线面平行、线线平行问题2.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量相互垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直【对点训练】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC.(2)求证：B1F⊥平面AEF.第六节空间向量及其运算积累必备学问一、1．平行或重合同一平面a＝λbxa＋ybxa＋yb＋zc2．(1)a·b＝0(2)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a3．(1)平行重合(2)方向三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√(7)√2．解析：因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c，又a·b＝0，故a⊥b.答案：C3．解析：BM＝BB1＋B1M＝AA1＋12(AD-AB)＝c＋12(答案：A4．解析：cos〈m，n〉＝m·nmn＝11×2＝22答案：45°或135°5．解析：∵cos〈m，n〉＝－12且〈m，n∴〈m，n〉＝120°即直线l和平面α的法向量所在直线的夹角为180°－120°＝60°.则l与α所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°提升关键实力考点一1．解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以EF＝OF-OE，OF＝12(所以EF＝12(OA+OD＝12＝12答案：B2．解析：∵OC＝12AC＝1∴OC1＝OC+C答案：13．解析：(1)MG＝MA＝12OA+＝1＝－16(2)OG＝OM＝1＝13考点二例1解析：(1)因为AM＝kAC1，BN＝所以MN＝MA＝kC1A＋AB＋＝k(C1A＋BC＝k(C1＝kB1A＝AB-kAB1＝＝1-kAB所以由共面对量定理知向量MN与向量AB，(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN与AB，AA1共面，所以MN∥平面ABB对点训练1．解析：∵AB＝(3，－1，1)，AC＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AC＝λAB.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，∴m+1=3λ，n-2=-λ，-2=λ，解得λ＝－2，m＝－7，∴m＋n＝－3.答案：－32．解析：(1)由已知得OA+OB+所以OA-OM＝(OM-OB即MA＝BM+CM＝－所以MA，(2)由(1)知MA，MB，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．考点三例2解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.(1)EF＝12BD＝12c－12a，BA＝－a，EF·BA＝12c-12a·(－a)＝1(2)EG·BD＝(EA+AD+DG)＝-12AB+＝-12AB+＝-12a+1＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×一题多变1．证明：由本例知EG＝12(AC+AD-AB)＝1所以EG·AB＝12(a·b＋a·c－a2＝12故EG⊥AB，即EG⊥AB.2．解析：由本例知EG＝－12a＋12b＋12c，|EG|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝13．解析：由本例知AG＝12b＋12c，CE＝CA+AE＝－b得cos〈AG，CE〉＝AG·由于异面直线所成角的范围是0，π所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23对点训练1．解析：AE·CD＝12(AB+AC)·(AD-AC)＝12(AB·AD+答案：D2．解析：(1)∵c∥BC，∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．于是|c|＝-2m＝3|m|＝3，即m＝±1.故c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝12+1|b|＝-12+0∴cos〈a，b〉＝a·bab＝即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010解析：(3)方法一∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b相互垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.解之，可得k＝2或k＝－52故当ka＋b与ka－2b相互垂直时，实数k的值为2或－52方法二∵由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，从而可解