安徽省马鞍山市2024-2025学年高一数学下学期2月月考试题含解析

Page13安徽省马鞍山市2024-2025学年高一数学下学期2月月考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义可求得集合.【详解】因为集合，，因此，.故选：D.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式干脆求解.【详解】由诱导公式：.故选：D3.下列函数中，值域是的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A：的值域为；对于B：的值域为；对于C：的值域为；对于D：，，，的值域为；故选：D4.若的解集是，则等于（）A.-14 B.-6 C.6 D.14【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得.【详解】∵的解集为，∴-5和2为方程的两根，∴有，解得，∴.故选：A.5.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用协助角公式可得，，后由周期计算公式可得答案.【详解】，则函数的最小正周期为.故选：B6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可.【详解】，，，所以.故选：B7.“环境就是民生，青山就是漂亮，蓝天也是华蜜”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增加．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会削减，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前须要过滤的次数至少为参考数据：，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在依据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量削减，则为；过滤第两次污染物的含量削减，则为；过滤第三次污染物的含量削减，则为；过滤第n次污染物的含量削减，则为；要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，故排放前须要过滤的次数至少为次．故选：A．8.已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，将方程恰有三个不同的实数根转化为函数与有3个不同的交点即可.【详解】若方程恰有三个不同的实数根，则函数与有3个不同的交点如图与的图像由图可得函数与有3个不同的交点，则故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一推断选项的正误即可.【详解】由知，，，即，故，所以，A错误，B错误；由知，，，则，故C正确；由知，，则，故，即，D正确.故选：CD.10.下列推断正确的是（）A.，B.命题“，”的否定是“，”C.函数是由函数向右平移得到的D.“”是“是第一象限角”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】对四个选项一一验证：对于A、B：干脆推断；对于C：利用相位变换干脆求解；对于D：利用定义法推断.【详解】对于A：当时，；当时，.所以恒成立.故A正确；对于B：命题“，”的否定是“，”.故B错误；对于C：函数向右平移得到.故C错误；对于D：充分性：因为，所以，所以.所以.所以充分性不成立；必要性：因为是第一象限角，所以，所以.所以必要性满意.故“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.故D正确.故选：AD11.函数在区间上单调递增，则的取值可能为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由且，可得出，依据正弦函数的单调性可得出，其中，确定的可能取值，即可得出的取值范围.【详解】因为且，则，因为函数在区间上单调递增，则，其中，所以，，其中，解得，其中，所以，，可得，，因为，当时，；当时，，所以，实数的取值范围是.故选：ACD.12.对于函数，则下列推断正确的是（）A.在定义域内是奇函数B.，，有C.函数的值域为D.对随意且，有【答案】AB【解析】【分析】依据双勾函数的性质可推断A，B，C；作差法比较与即可推断D.【详解】对于A,，且定义域为，故为奇函数，故A正确；对于B,在单调递减，故B正确；对于C，当时，当且仅当时取得等号，当时，当且仅当时取得等号，所以的值域为，故C错误；对于D，已知随意且，，，而，故，故D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形所在圆的半径为________．【答案】2.【解析】【分析】利用扇形的面积公式干脆求得.【详解】设扇形的半径为,圆心角为.由扇形的面积公式可得：，解得：.故答案为：214.已知是定义在上的奇函数，当时，，则的值为________．【答案】【解析】【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值可得答案．【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，.故答案为：．15.已知角的终边过点，则的值为________．【答案】【解析】【分析】由题可得，后由二倍角公式可得答案.【详解】因角的终边过点，则，故.故答案为：.16.我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发觉可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．已知函数，则该函数图象的对称轴为________．【答案】1【解析】【分析】依据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可.【详解】已知函数，,是一个偶函数.的图象关于轴对称.故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设，已知集合，．（1）当时，求实数的范围；（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由题可得是的真子集，分类探讨为空集和不为空集合两种状况，即可求得m的取值范围.【小问1详解】由题可得，则；【小问2详解】由题可得是真子集，当，则；当，，则（等号不同时成立），解得综上：.18.已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解即可；（2）由同角三角函数的基本关系得出，再由求解.【小问1详解】【小问2详解】因为为锐角，且，所以.所以，.，所以.19.已知点在指数函数的图像上（1）求，的值；（2）判定函数在上的单调性并证明．【答案】（1），.（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依据指数函数的性质，可得，代入点进行计算可得；（2）依据指数函数的单调性，可推断函数的单调性，利用定义法可证明的单调性.【小问1详解】由已知得，为指数函数，，解得，故点在指数函数的图像上，得，解得，，得到.【小问2详解】，因为为单调增函数，且也为单调递增函数，故在上为单调递增函数，证明如下：设，且，有，得，故在上为单调递增函数.20.已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．（1）求这个函数的解析式；（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用图像分别求出；（2）利用分别常数法得到，求出在区间上的值域，即可求解.【小问1详解】由图知：.，所以，所以.所以.由，且，所以.所以.【小问2详解】令得：.对于，，则.由的图像和性质可得：在区间上的值域为.所以函数在区间上存在零点，有.21已知函数．（1）求关于的不等式的解集；（2）若，求函数在上最小值．【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及对参数分类探讨即可求解；（2）依据已知条件及基本不等式即可求解.【小问1详解】由可得，即，当时，不等式，解得，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.【小问2详解】由，得，解得，所以，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，函数在上的最小值为.22.诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成份，嘉奖给分别在项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为．资料显示：年诺贝尔奖发放后基金总额约为万美元．设表示第年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为，年记为，，依次类推）．（参考数据：，，）（1）分别求出、与的关系式；（2）依据（1）所求的结果归纳出函数的解析式（无需证明）．（3）若，试求出年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．