人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案

第第页人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点正多边形与圆1.定义：正多边形的圆的圆心叫做这个正多边形的中心圆的半径叫做正多边形的半径正多边形每一边所对的角叫做正多边形的中心角到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。2.公式：正多边形的有关概念：边长（a）中心（O）中心角（∠AOB）半径（R））边心距（r）如图所示①．边心距中心角关键点:三角形的内切圆与外接圆关系定义圆心实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为3则该圆的内接正六边形的边心距是(

)A.2 B.1 C.3 D.2.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：A.1:2:3 B.3:2:1 C.1：2：3.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为(

)

A.10 B.9 C.8 D.74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是(

)

A.3 B.2 C.225.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于CD两点③连接CODO并延长分别交⊙O于点EF④顺次连接BCCFFAAEEDDB得到六边形AFCBDE.再连接ADEFADEF交于点G.则下列结论不正确的是(

)

A.GF=GD B.∠FGA=60° C.EFAE=6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是(

)A.22 B.32 C.7.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7AA.60° B.65° C.70° D.75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为(

)

A.6 B.7 C.8 D.99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点ABCD都在⊙O上则⊙O的半径为(

)．

A.3 B.6 C.32 10.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为(

)cm．

A.3 B.2 C.23二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。11.(2024·江苏省·同步练习)正六边形的边长为8cm则它的面积为______cm2。12.(2024·广东省·月考试卷)已知一个正六边形的边心距为3则它的半径为

。13.(2024·山东省烟台市·期末考试)如图正五边形ABCDE内接于⊙O点P为DE上一点(点P与点D点E不重合)连接PCPDDG⊥PC垂足为G∠PDG等于

度．

14.(2024·宁夏回族自治区银川市·模拟题)如图ABCD为一个正多边形的顶点O为正多边形的中心若∠ADB=20°则这个正多边形的边数为______。

15.(2024·西藏自治区日喀则地区·模拟题)如图已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm则正六边形的边心距是______cm。

16.(2024·广东省湛江市·其他类型)正方形ABCD的边长为4若剪去4个角后恰好是正八边形则这个正八边形的边长为_________．

三解答题：本题共9小题共72分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。17.(2024·全国·同步练习)(本小题8分)

如图已知⊙O的周长等于6πcm求圆内接正六边形ABCDEF的面积。

18.(2024·澳门特别行政区·单元测试)(本小题8分)如图正六边形ABCDEF内接于⊙O⊙O半径为4。

(1)求点O到CD的距离(2)求正六边形ABCDEF的面积。19.(2024·江苏省·同步练习)(本小题8分)如图等边三角形ABC内接于⊙OBD为⊙O内接正十二边形的一边CD=52 cm求

20.(2024·新疆维吾尔自治区·单元测试)(本小题8分)如图图①图②图③…图分别是⊙O的内接正三角形ABC正四边形ABCD正五边形ABCDE…正n边形ABCD…点MN分别从点BC开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。

(1)图①中∠APN的度数是

图②中∠APN的度数是

图③中∠APN的度数是

。(2)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写出答案)。21.(2024·江苏省·同步练习)(1)如图①△ABC是⊙O的内接正三角形P为BC⌢上一动点连接PAPBPC.求证：PA=PB+PC．

(2)如图②四边形ABCD是⊙O的内接正方形P为BC⌢上一动点连接PAPBPC.求证：PA=PC+2(3)如图③六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形P为BC⌢上一动点连接PAPBPC.请探究PAPBPC三者之间的数量关系直接写出答案不必证明．

22.(2024·江苏省·同步练习)(本小题8分)如图24.3−4有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)。

23.(2024·江苏省·同步练习)(本小题8分)请用无刻度直尺按要求画图不写画法保留画图痕迹。

(1)如图1已知⊙O的内接等边三角形ABC画一个⊙O的内接正六边形(2)如图2已知⊙O的内接正五边形ABCDE先在⊙O上画点P使∠PAB=126°再在⊙O内部画一个点H使∠CHE=108°。24.(2024·安徽省蚌埠市·模拟题)(本小题8分)

如图是正方形正五边形正六边形．

(1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角a4a5a6则a4=

°a5(2)按此规律记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为an请用含n的式子表示an=

(其中n为不小于4(3)若an=150∘25.(2024·浙江省·同步练习)(本小题8分)如图1正五边形ABCDE内接于⊙O阅读以下作图过程并回答下列问题：作法

如图2。1.作直径AF。2.以点F为圆心FO长为半径作圆弧与⊙O相交于点MN。3.连结AMMNNA．

(1)求∠ABC的度数。(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由。(3)从点A开始以DN长为半径在⊙O上依次截取点再依次连结这些分点得到正n边形求n的值。参考答案1.【答案】B

【解析】

本题考查正多边形和圆解答本题的关键是明确题意求出相应的图形的边心距．

根据题意可以求得半径进而解答即可．

【解答】

解：如图(1)O为△ABC的外心

AD为△ABC的边BC上的高

则OD为边心距

∴∠BAD=30°

又∵AO=BO

∴∠ABO=∠BAD=30°

∴∠OBD=60°−30°=30°．

在Rt△OBD中BO=2DO

即AO=2DO

∴OD∶OA∶AD=1∶2∶3．

在正三角形ABC中AD是高设BD=x

则AD=3BD=3x.

∵正三角形ABC面积为3

∴12BC⋅AD=3

∴12×2x⋅3x=3

∴x=1．

即BD=12.【答案】A

【解析】解：设圆的半径为R则正三角形的边心距为R四边形的边心距为R正六边形的边心距为R∴r3：r4：r6等于1故选：A经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC垂足是C.连接OA则在直角△OAC中∠O=180∘n解决本题的关键是构造直角三角形得到用半径表示的边心距注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决。3.【答案】D

【解析】

本题考查了多边形的内角和公式延长正五边形的两边相交于一点并求出这个角的度数是解题的关键注意需要减去已有的3个正五边形．

先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正五边形的每一个内角的度数再延长五边形的两边相交于一点并根据四边形的内角和求出这个角的度数然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数然后减去3【解答】

解：∵五边形的内角和为(5−2)∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°如图延长正五边形的两边相交于点O则∠1=360°−108°×3=360°−324°=36°360°÷36°=10。∵已经有3个五边形∴10−3=7即完成这一圆环还需7个五边形。故选D．

4.【答案】B

【解析】解：连接OBOC

∵多边形ABCDEF是正六边形

∴∠BOC=60°

∵OB=OC

∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC

∵正六边形的周长是12

∴BC=2

∴⊙O的半径是2

故选B．

连接OAOB根据等边三角形的性质可得⊙O的半径进而可得出结论．

本题考查正多边形和圆的关系。5.【答案】C

【解析】

本题考查作图−复杂作图：画正多边形等边三角形的判定和性质菱形的判定和性质圆周角定理正多边形与圆的关系等知识解题的关键是证明四边形AEOF四边形AODE都是菱形属于中考常考题型．

根据圆周角定理和等腰三角形判定即可判断A证明∠AGF=∠AOF=60°可判断B证明EF=3AE可判断C证明∠FAD=90°即可判定D．

【解答】

解：在正六边形AEDBCF中∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°AF=DE

∴AF=DE

∴∠ADF=∠EFD

∴GF=GD故A正确

∵OF=OA=OE=OD

∴△AOF△AOE△EOD都是等边三角形

∴AF=AE=OE=OFOA=AE=ED=OD

∴四边形AEOF四边形AODE都是菱形

∴AD⊥OEEF⊥OA∠AFE=∠EAD=30°

∴∠FAD=90°

∴AF⊥AD∠FGA=60°故BD正确

∵AF=AE∠FAE=120°

∴EF=36.【答案】A

【解析】略7.【答案】D

【解析】略8.【答案】B

【解析】略9.【答案】C

【解析】此题考查了正多边形和圆连接BDABCD是正方形则∠BAD=90∘利用圆周角定理可得BD是⊙O的直径再用勾股定理即可求解解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用。【详解】如图连接BD。∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90∘∴BD是⊙O的直径。在Rt▵ABD中由勾股定理得BD=∴⊙O的半径为3故选：C。10.【答案】B

【解析】解：∵BC为⊙O的内接正六边形的边长

∵∠BOC=360°6=60°OB=OC

∴△OBC为等边三角形

∵⊙O的周长等于4πcm

∴⊙O的半径等于2cm

∴BC=OB=2cm

故选B．

首先求出∠BOC=60°结合OB=OC得到△OBC为等边三角形即可解决问题．

该题考查了正多边形和圆的位置关系及其应用问题灵活运用正多边形和圆的位置关系判断△OBC为等边三角形11.【答案】96【解析】

此题考查了正多边形的有关计算.解答此题的关键是根据题意画出图形把正六边形的面积化为求三角形的面积解答.先根据题意画出图形作出辅助线根据∠COD的度数判断出其形状求出小三角形的面积即可解答．

【解答】

解：如图所示

正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD

∵此多边形是正六边形

∴∠COD=360°6=60°

∵OC=OD

∴△COD是等边三角形

∵CD=8cm

∴CE=DE=4cm

∴OE=CE⋅tan60°=4×3=43cm12.【答案】2

【解析】

本题主要考查正多边形的计算问题常用的思路是转化为直角三角形根据勾股定理计算属于常规题．

设正六边形的中心是O一边是AB过O作OG⊥AB与G在直角△OAG中根据勾股定理即可求得OA．

【解答】

解：如图在Rt△AOG中OG=3∠AOG=30°

∴OA=2AG

∵OG2+AG2=OA2

∴(13.【答案】54

【解析】

连接OCOD.求出∠COD的度数再根据圆周角定理得出∠CPD的度数由三角形内角和定理即可得出结果．

本题考查正多边形和圆圆周角定理等知识解题的关键是熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理属于中考常考题型．

【解答】

解：连接OCOD如图所示：

∵ABCDE是正五边形

∴∠COD=360°5=72°

∴∠CPD=12∠COD=36°

∵DG⊥PC

∴∠PGD=90°

∴∠PDG=90°−∠CPD=90°−36°=54°14.【答案】九

【解析】解：如图设正多边形的外接圆为⊙O连接OAOB

∵∠ADB=20°

∴∠AOB=2∠ADB=40°

而360°÷40°=9

∴这个正多边形为正九边形

故答案为：九．

根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB=40°再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．

本题考查正多边形与圆圆周角掌握圆周角定理是解决问题的关键理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提。15.【答案】3【解析】解：已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm连接OA作OM⊥AB得到∠AOM=30°因而AM=12OA=1cm

∴OM=3AM=3cm．

正六边形的边心距是3cm．

故答案为：3．16.【答案】4【解析】解：设正八边形的边长为x则剪掉的等腰直角三角形的直角边为22x

∵正方形的边长为4cm

∴22x+x+22x=4

解得x=42+1=42−4

∴正八边形的边长为4217.【答案】解：过点O作OH⊥AB于点H连接OAOB

∴AH=12AB

∵⊙O的周长等于6πcm

∴⊙O的半径为：3cm

∵∠AOB=16×360°=60°OA=OB

∴△OAB是等边三角形

∴AB=OA=3cm

∴AH=32【解析】首先过点O作OH⊥AB于点H连接OAOB由⊙O的周长等于6πcm可得⊙O的半径又由圆的内接多边形的性质即可求得答案．

此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中注意掌握数形结合思想的应用。18.【答案】【小题1】解：连接OCOD作OH⊥CD于H

∵半径OC=4∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠COD=∴∠COH=30∘∴圆心O到CD的距离OH=【小题2】正六边形ABCDEF的面积=1

【解析】1.

本题考查的是正多边形与圆锐角三角函数的应用掌握正六边形的性质垂径定理是解题的关键。连接连接OCOD作OH⊥CD于H根据余弦的定义计算即可2.

根据正六边形的性质三角形的面积公式计算。19.【答案】连接OBOCOD.∵等边三角形ABC内接于⊙OBD为⊙O内接正十二边形的一边∴∠BOC=13×360∘=120∘∠BOD=112×【解析】见答案20.【答案】【小题1】60°

90°108°【小题2】∠APN=(n−2)⋅

【解析】1.

略

2.

略21.【答案】【小题1】如图①延长BP至点E使PE=PC连接CE.∵ABPC四点在同一个圆上∴∠BAC+∠BPC=180°.∵∠BPC+∠CPE=180°∴∠BAC=∠CPE.∵△ABC为正三角形∴∠BAC=∠ACB=60°.∴∠CPE=60°.又∵PE=PC∴△PCE是正三角形．∴∠PCE=60°.∵∠BCE=60°+∠BCP∠ACP=60°+∠BCP∴∠BCE=∠ACP.∵△ABC△PCE为正三角形∴CE=CPBC=AC.∴△BEC≌△APC.∴PA=EB=PB+PC【小题2】如图②过点B作BE⊥PB交PA于点E连接AC.∵∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBP=90°∴∠ABE=∠CBP.∵四边形ABCD是正方形∴AB=CB∠ACB=45°.∴∠APB=∠ACB=45°.∴在Rt△EBP中∠BEP=∠APB=45°.∴BE=BP.∴根据勾股定理易得PE=2PB.又∵AB=CB【小题3】PA=PC+